初中数学苏科版九年级上册第2章 对称图形——圆2.1 圆优秀一课一练

专题2.1 圆及相关概念（知识梳理与考点分类讲解）

【知识点1】圆的定义

(1)  动态定义：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋    

转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

特别提醒：
　  ①圆心确定位置，半径确定大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
  　②圆是一条封闭曲线.

(2)    静态定义：平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.定长为半径，定点叫圆心。
    特别提醒：
　  ①定点为圆心，定长为半径；
　　②圆指的是圆周，而不是圆面；
　　③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.

【知识点2】与圆有关的基本概念

1. 弦

弦：连结圆上任意两点的线段叫作弦；
　　直径：经过圆心的弦叫做直径.直径是圆中最长的弦，直径是弦，但弦不一定是直径；

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
2. 弧
   弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；半圆是弧，而弧不一定是半圆；
　优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.无特殊说明时，弧指的是劣弧.
3.同心圆与等圆
　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.
4.等弧
　　在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
特别提示：
　　①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；
    ②圆中两平行弦所夹的弧相等.

【知识点3】点和圆的位置关系

点和圆的三种位置关系：

如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：

点在圆上d=r；　　点在圆内d<r；　　点在圆外d>r.

即：“数”“形”

【考点一】与圆相关的概念

【例1】下列命题中，正确的是（ ）

①顶点在圆心的角是圆心角；②相等的圆心角，所对的弧也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．

A．①和②      B．①和③

C．①和④      D．①、②、③、④

【答案】C

【分析】根据所学定理和推论可知．

解：①根据圆心角的定义知，顶点在圆心的角是圆心角；故①正确．

②缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等；故错误．

③在圆中，一条弦对着两条弧，所以两条弦相等，它们所对的弧不一定相等；故错误．

④根据圆心角、弦、弧之间的关系定理，在等圆中，若圆心角相等，则弦相等，所以圆心角不等，弦也不等；故④正确．

故选C．

【点拨】本题考查了与圆有关的定理和推论，对于圆中的一些易混易错定理和推论应重点记忆和掌握．

【变式1】下列三个命题：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等．其中真命题的是（    ）

A．①②      B．②③      C．①③      D．①②③

【答案】A

【分析】必须是同圆或等圆中，相等圆心角所对的弧相等．

解：正确的是①②必须是同圆或等圆中，相等圆心角所对的弧相等，因而③是错误的．

故选A．

【考点二】圆的概念的理解与认识

【例2】如图，，在射线上顺次截取，，以为直径作交射线于、两点．求：

（1）圆心O到的距离．

（2）求的长．

【答案】(1)；(2)

【分析】（1）过点作于，如图，根据含度的直角三角形三边的关系求出即可；

（2）连接，如图，利用勾股定理计算出 和即可得答案．

（1）解：过点作于，如图，

，

，

，

在中，，

，

即圆心到的距离为；

（2）解：连接，如图，

，

∴在中，，

在中，，

．

【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形、勾股定理及圆的概念，解本题的关键在熟练掌握度角所对的直角边等于斜边的一半的性质．

【变式】如图，为的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E，若，试求的度数．

【答案】．

【分析】利用半径相等和等腰三角形的性质求得，从而利用三角形的外角的性质即可得答案．

解：∵，，

∴，

∵，

∴，

∴．

【点拨】本题考查了圆的认识、等腰三角形的性质及三角形外角性质，属于基础题，熟练掌握相关性质是解题关键．

【考点三】最值➼➻直径是圆中最长的弦

【例3】如图，平面直角坐标系xOy中，M点的坐标为(3，0)，⊙M的半径为2，过M点的直线与⊙M的交点分别为A，B，则△AOB的面积的最大值为     ，此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于     °．

【答案】     6     90

【分析】由于AB为⊙M的直径，则AB为定值4，要使△AOB的面积的最值，则O点到AB的距离最大，而O点到AB的距离最大为OM的长，根据三角形面积公式可得到△AOB的面积的最大值=×4×3=6，同时得到此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于90°．

解：∵AB为⊙M的直径，

∴AB＝4，

当O点到AB的距离最大时，△AOB的面积的最大值，即AB⊥x轴于M点，

而O点到AB的距离最大为OM的长，

∴△AOB的面积的最大值＝×4×3＝6，

∠AMO＝90°，即此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于90°．

故答案为：6，90．

【点拨】本题考查了圆的认识：过圆心的弦叫圆的直径．也考查了坐标与图形的性质．

【变式1】如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是     ．

【答案】

【分析】根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．

解：点M，N分别是AB，BC的中点，

，

当AC取得最大值时，MN就取得最大值，

当AC时直径时，最大，

如图，

，，

，

，

故答案为：．

【点拨】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是利用中位线性质将MN的值最大问题转化为AC的最大值问题，难度不大．

【变式2】如图所示，为的一条弦，点为上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为7，求的最大值.

【答案】的最大值为.

【分析】由和组成的弦，在中，弦最长为直径14，而可求，所以 的最大值可求.

解：连结，，

∵    ∴

∴为等边三角形，

∵点，分别是，的中点

∴，∵ 为的一条弦

∴最大值为直径14    ∴的最大值为.

【点拨】利用直径是圆中最长的弦，可以解决圆中一些最值问题.

【考点四】最值➼➻一点到圆上距离的最值

【例4】若☉O的半径是12cm，OP=8cm，求点P到圆上各点的距离中最短距离和最长距离．

【答案】4cm，20cm

【分析】依据题意画出图形，则到圆上点的最短距离和最长距离即可确定．

解：如图，∵点P到圆心的距离OP＜r，

∴点P在圆内，

点P到圆上各点的距离中最短距离为：12-8=4(cm)；

最长距离为：12+8=20(cm)．

【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，正确进行讨论是关键．

【变式1】已知的半径是．

（1）若，则点P到圆上各点的距离中，最短距离为___，最长距离为___．

（2）若，则点P到圆上各点的距离中，最短距离为___，最长距离为___．

（3）若P到圆上各点的距离中，最短距离为，则最长距离为___．

【答案】（1），；（2），；（3）或．

【分析】（1）首先确定P与圆的位置关系，则到圆上点的最短距离和最长距离即可确定；

（2）首先确定P与圆的位置关系，则到圆上点的最短距离和最长距离即可确定；

（3）分成P在圆内部和外部两种情况进行讨论即可求解．

解：（1），则P在圆内部，点P到圆上各点的距离中，最短距离是，最长距离是．

故答案是：，；

（2），则点P在圆的外部，到圆上各点的距离中，最短距离为，最长距离是．

故答案是：，；

（3）当P在圆内部时，最长距离是，

当P在圆外时，最长距离是．

故答案是或．

【点拨】本题考查了点和圆的位置关系，正确进行讨论是关键．

【变式2】如图，⊙A的半径为2，圆心A的坐标为（﹣3，4），点P是⊙A上的运动点，则点P到点O的最大距离    ．

【答案】7

【分析】连接OA，并延长交⊙A于点P’，则OP’即使点P到点O的最大距离，利用勾股定理求出OA的值，进而即可求解．

解：连接OA，并延长交⊙A于点P’，则OP’即使点P到点O的最大距离，

∵A的坐标为（﹣3，4），

∴OA=，

∴OP’=5+2=7．

故答案为：7

【点拨】本题主要考查圆的基本性质和勾股定理，找到使点P到点O的最大距离的位置，是解题的关键．

【考点五】点与圆的位置关系

【例5】如图，在ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，点D是AB的中点，若以点D为圆心，r为半径作⊙D，使点B在⊙D内，点C在⊙D外，试求r的取值范围．

【答案】

【分析】连接，过点作于点．过点作于点，显然，解直角三角形求出，即可判断．

解：连接，过点作于点．过点作于点，

∴，

，，

，

，

点是中点，即是中位线

，，

，

，

又∵，

∴的取值范围是．

【点拨】本题考查等腰三角形的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

【变式1】已知的半径是，若，则点（    ）

A．在上      B．在内      C．在外      D．无法判定

【答案】C

【分析】点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，即点到圆心的距离，即圆的半径．

解：，

点在外，

故选：C．

【点拨】考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握判断点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系．

【变式2】在矩形中，，．

(1)  若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？

(2) 若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ．

【答案】(1)点在内，点在外，点在上；(2)

【分析】（1）根据点到圆的位置关系，比较与圆的半径之间的大小关系，即可得解；

（2）根据题意，和点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，即可得解．

（1）解：连接，

，，

，

的半径为8，

点在内，点在外，点在上；

（2）解：，，，

又以点为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，

的半径的取值范围是．

故答案为：．

【点拨】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，判断点与圆的位置关系，是解题的关键．