初中数学北师大版九年级下册2 30°、45°、60°角的三角函数值课时作业

（北师大版）2022-2023学年九年级数学下册1.2 30°、45°、60°角的三角函数值 同步测试

一、单选题（每题3分，共30分）

1．实数 ， ， ， ， ， ， （相邻两个3之间依次多一个 1） ，其中无理数的个数是（　　）

A．4 B．2 C．1 D．3

2．已知α是锐角，若sinα= ，则α的度数是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°

3．计算sin 45°+cos45°的值为（　　）

A．1 B．2

C． D．2

4．如图，在△ABC中，点D是AB中点，BE⊥AC垂足为E，连接DE，若∠ABE＝30°，∠C＝45°，DE＝2，则BC的长为（　　）

A．2 B．3 C．2  D．2

5．在△ABC中，(2cosA－ )2＋| －tanB|＝0，则△ABC一定是（　　）  

A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形

6．若规定 ，则sin15°=（　　）  

A． B． C． D．

7．已知 为锐角，且 ，则 等于（　　）  

A． B． C． D．

8．计算2cos60° -sin245°+cot60°的结果是（　　）

A． B． C． D．

9．如图是一个 的方阵，其中每行，每列的两数和相等，则a可以是（　　） 

A． B． C．0 D．

10．如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东 方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市的北偏东 方向，测绘员由A处沿主输气管道步行1000米到达点C处，测得M小区位于点C的北偏西 方向，试在主输气管道上寻找支管道连接点N，使点N到该小区铺设的管道最短，此时铺设的管道的最短距离约是（　　）． 

（参考数据： ， ）

A．366米 B．650米 C．634米 D．700米

二、填空题（每题3分，共15分）

11．　     　.

12．计算tan 45°的正确结果是　     　．

13．如图，在菱形 中， 为 边上的高，将 沿 所在的直线翻折，得到 ，若 ，则菱形的边长为　     　． 

14．在△ABC中，∠B＝45°，cosA＝ ，则∠C的度数是　     　.

15．如图，半圆的直径 点C在半圆上， ，则阴影部分的面积为　        　（结果保留 ）． 

三、解答题（共8题，共55分）

16．先化简，再求值：，其中.

17．先化简，然后再从sin30°，1，这三个数中选取一个你认为合适的数作为a的值代入求值.

18．先化简，再求值：，其中.

19．如图，两幢楼高AB=CD=30m，两楼间的距离AC=24m，当太阳光线与水平线的夹角为30°时，求甲楼投在乙楼上的影子的高度．（结果精确到0.01， ≈1.732， ≈1.414） 

20．如图，已知△ABC中，∠C=90°，且sinA= ，BC=1.5，求AC． 

21．在一次暑假旅游中，小亮在仙岛湖的游船上（A处），测得湖西岸的山峰太婆尖（C处）和湖东岸的山峰老君岭（D处）的仰角都是45°．游船向东航行100米后（B处），测得太婆尖，老君岭的仰角分别为30°，60°．试问太婆尖、老君岭的高度为多少米？

22．（1）计算：；

（2）先化简，再求值：（a﹣2）（a+2）﹣a（a﹣2），其中a=﹣1．

23．小明在某次作业中得到如下结果： 

sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，

sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，

sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，

sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，

sin245°+sin245°=（ ）2+（ ）2=1．

据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）=1．

（Ⅰ）当α=30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）=1是否成立；

（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．

答案解析部分

1．【答案】B

2．【答案】A

3．【答案】C

4．【答案】D

5．【答案】D

6．【答案】D

7．【答案】B

8．【答案】B

9．【答案】D

10．【答案】A

11．【答案】

12．【答案】1

13．【答案】1

14．【答案】105°

15．【答案】

16．【答案】解：

=

=

=.

∵=2×+1=+1，

∴原式===.

17．【答案】解：原式===a-1

∵a-1≠0，a+1≠0且a≠0

∴a≠1，a≠-1且a≠0

又sin30°=，=-2

∴a可取或-2

当a=时，原式=-1=-（当a=-2时，原式=-2-1=-3）

18．【答案】解：

＝

＝

＝

＝

＝

＝

当＝ 时，

原式＝

＝

＝

19．【答案】解：如图，延长MB交CD于E，连接BD，

由于AB=CD=30m，AB⊥AC，CD⊥AC,

∴四边形ACDB是矩形，

∴NB和BD在同一直线上，∠DBE=∠MBN=30°

∴AC=BD=24m，∠BDE=90°，

在Rt△BED中tan30°= ，

DE=BD•tan30°=24× ，

∴CE=30﹣8 ≈16.14(m)，

答：甲楼投到乙楼影子高度是16.14m．

20．【答案】解：∵∠C=90°，且sinA= ， 

∴∠A=60°，

∴tanA= = ，

∴ = ，

解得：AC=

21．【答案】解：过点C作CE⊥AB于E和过点D作DF⊥AB于F，

设太婆尖高h1米，老君岭高h2米，

则根据BE﹣AE=AB和AF﹣BF=AB得：

∴h1= =50（ +1）=50（1.732+1）=136.6≈137（米）

h2= = = =50 （ +1）=50（3+1.732）=236.6≈237（米）

答：太婆尖高度为137米，老君岭高度为237米．

22．【答案】解：（1）原式=4+2×﹣8×﹣3=4+﹣﹣3=1；

（2）原式=（a﹣2）（a+2﹣2）=（a﹣2）a=a2﹣2a=（﹣1）2﹣2×（﹣1）=1+2=3．

23．【答案】解1：（Ⅰ）当α=30°时， 

sin2α+sin2（90°﹣α）

=sin230°+sin260°

=（ ）2+（ ）2

= +

=1；

（Ⅱ）小明的猜想成立，证明如下：

如图，在△ABC中，∠C=90°，

设∠A=α，则∠B=90°﹣α，

∴sin2α+sin2（90°﹣α）

=（ ）2+（ ）2

=

=

=1