初中数学北师大版九年级下册2 30°、45°、60°角的三角函数值获奖教学设计

第一章  直角三角形的边角关系

2  30°，45°，60°角的三角函数值

1.经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理．进一步体会三角函数的意义．

2.能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算．

3.能够根据30°，45°，60°角的三角函数值说明相应的锐角的大小．

4.积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；通过“试验—猜想—证明—应用”的数学活动提升科学素养．

能够进行含30°，45°，60°角的三角函数值的计算．

进一步体会三角函数的意义．

为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺．请你设计一个测量方案，测出这棵大树的高度．(用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法)

①给学生时间，让学生去思考讨论如何测量大树的高度，让学生感受到数学在生活中的实际应用．

②学生展示自己的想法．让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢点C，30°角的邻边和水平方向平行，用卷尺测量出AB的长度，BE的长度．因为DE＝AB，所以只需在Rt△ACD中求出CD的长度即可．

③在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AD＝BE，BE是已知的，设BE＝a米，则AD＝a米，如何求CD呢？

④含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，即AC＝2CD.根据勾股定理，得(2CD)2＝CD2＋a2，解得CD＝a.

则树的高度即可求出．

⑤我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°角的正切值，在图1－2－10中，tan30°＝＝，则CD＝atan30°，岂不简单？

2．在刚刚过去的双十一(11月11日)活动中，中国人创造了网购的奇迹，书写了世界的传奇．今天是双十二(12月12日)，网上称之为“年末促销全民疯抢购物节”，必将续写网购的传奇．本课老师也准备了几件物美价廉的宝贝，投放进几家商铺进行出售，你们有没有信心抢到呢？

很好，我们先看看商铺里面有些什么宝贝吧，看谁能抢到它们！(利用多媒体投影)   商铺：

图1－2－11

生：(积极“抢购订单”)

订单1：sinA＝，cosA＝，tanA＝.

订单2：sinA的值越大，梯子越陡；tanA的值越大，梯子越陡；cosA 的值越小，梯子越陡.

订单3：一副三角尺含有30°，60°和45°三种锐角．

【探究1】 探究特殊角的三角函数值

看样子大家都是网购高手！但刚才大家购得的都是过时的产品，现在老师想研发一些新产品并投放到商铺出售，大家帮助老师研发如何？

老师想研发以下几种新产品(利用多媒体投影)：

图1－2－12

“产品”1：

  sin30°表示在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的比值，与直角三角形的大小无关．如图1－2－13，我们不妨设30°角所对的边为a，根据“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，得斜边等于2a，所以sin30°＝＝.       

图1－2－13

“产品”2：

在图1－2－13的直角三角形中，由勾股定理得30°角的邻边为＝a，所以cos30°＝＝，tan30°＝＝＝.

“产品”3：

求60°角的三角函数值，可以利用求30°角的三角函数值的三角形．因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边，所以

sin60°＝＝，cos60°＝＝，tan60°＝＝＝.

“产品”4：

求45°角的三角函数值，可以利用另外那个等腰直角三角尺，如图1－2－14.不妨设直角边为a，则斜边长为＝a.所以cos45°＝＝，sin45°＝＝，tan45°＝＝1.

图1－2－14

【探究2】 熟记特殊角的三角函数值

仿照上面解决问题的过程，共同求一下30°，45°，60°角的三角函数值，然后填写下表.

学生分组求值：

例1　计算：

(1)sin30°＋cos45°；

(2)sin260°＋cos260°－tan45°.

解：(1)sin30°＋cos45°＝＋＝.

(2)sin260°＋cos260°－tan45°

＝＋－1

＝＋－1

＝0.

例2　一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差．(结果精确到0.01 m)

[解析] 引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.

解：根据题意画出如图1－2－15所示的示意图.

图1－2－15

可知∠BOD＝60°，OB＝OA＝OD＝2.5 m，∠AOD＝×60°＝30°，

∴OC＝OD·cos30°＝2.5×≈2.165(m).

∴AC＝2.5－2.165≈0.34(m).

所以，最高位置与最低位置的高度差约为0.34 m．

例3　计算：

(1)sin60°－tan45°；  (2)cos60°＋tan60°；

(3)sin45°＋sin60°－2cos45°.

答：(1)－1　(2)＋　(3)＋－]

例4　求适合下列条件的锐角α：

(1)sinα－1＝0；(2)＝1；(3)3tanα＝.

分析：这里α是未知数，可以仿照解方程的步骤：去分母、移项.

解：(1)由sinα－1＝0，得sinα＝.所以，锐角α＝45°.

(2)由＝1，得cosα＝.所以，锐角α＝60°.

(3)由3tanα＝，得tanα＝.所以，锐角α＝30°.

例5　图1－2－16为住宅区内的两幢楼，它们的高AE＝CF＝30 m，两楼间的距离AC＝24 m，现需了解甲楼对乙楼采光的影响情况．当太阳光线与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高(精确到0.1 m，≈1.41，≈1.73).

图1－2－16

[解析] 根据题意，可将实际问题转化为数学问题．当光线从楼顶E直射到乙楼的点D时，点D以下便接受不到光线，过点D作DB⊥AE(甲楼)．在Rt△BDE中，BD＝AC＝24 m，∠EDB＝30°，由此可求出BE.由于甲、乙两楼一样高，所以DF＝BE.

解：当光线从楼顶E直射到乙楼上的点D时，点D以下便接受不到光线，过点D作DB⊥AE.在Rt△BDE中，BE＝DB·tan30°＝24×＝8(m).

∵DF＝BE，

∴DF＝8≈8×1.73＝13.84(m)，CD＝CF－DF≈30－13.84≈16.2(m).

答：甲楼的影子在乙楼上的高约为16.2 m．

本节课应掌握：

1.能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算．

2.能够根据30°，45°，60°角的三角函数值说明相应的锐角的大小．