数学2 30°、45°、60°角的三角函数值优秀教案设计

这是一份数学2 30°、45°、60°角的三角函数值优秀教案设计，共10页。教案主要包含了教师准备，学生准备，教师强调，师生活动，学生活动，教师点拨，教师提示，基础巩固等内容，欢迎下载使用。

2　30°,45°,60°角的三角函数值





1.经历探索30°,45°,60°角的三角函数值的过程,能够进行有关推理,进一步体会三角函数的意义.
2.能够进行含有30°,45°,60°角的三角函数值的计算.
3.能够根据30°,45°,60°角的三角函数值,说出相应的锐角的大小.

通过交流探索30°,45°,60°角的三角函数值的过程,发展学生观察、分析、发现问题的能力,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.

通过数学活动,产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯,锻炼克服困难的意志,建立学好数学的自信心.

【重点】　探索30°,45°,60°角的三角函数值,能够进行含30°,45°,60°角的三角函数值的计算.
【难点】　进一步体会三角函数的意义.

【教师准备】　教学用三角板一副和多媒体课件.
【学生准备】
1.一副三角板.
2.复习三角函数的概念.


导入一:
课件出示:

同学们,老师用我们常用的三角板拼成一棵松树,你从图片中发现了哪些锐角呢?
生很容易得出:30°角,45°角,60°角.
【引入】　前面我们已经学会了用锐角三角函数表示直角三角形的边角关系,这节课我们将利用我们常用的三角板的两个特殊的三角形探讨30°,45°,60°角的三角函数值.
[设计意图]　利用三角板组成的松树图形创设情境,引导学生发现三角板中的特殊锐角,使他们对本节课的学习目标和学习任务一目了然.
导入二:
课件出示:

动手做一做:请测量出你们手中的三角板中30°角的对边和斜边的长度.
【问题】
1.你能利用你测量的边长求出sin 30°的值吗?cos 30°和tan 30°呢?
2.类比上面的做法,你们能得出45°角和60°角的三角函数值吗?
[设计意图]　通过动手操作,既引入了课题,又初步掌握了30°,45°,60°角的三角函数值的探究方法,一举两得.

　　[过渡语]　三角板我们经常用,但是你们知道这两个三角板的边和角之间存在什么样特殊的关系吗?
探究活动(一)　30°角的三角函数值
课件出示:
一副三角板图片

有关这副三角板的边角关系的知识,你已经了解哪些?
生回忆后得出结论:
(1)直角三角形中,30°角所对的直角边是斜边的一半;
(2)45°角所在的直角三角形的两直角边相等.
师出示:除了利用测量的方法外,你能利用上面的性质得出sin 30°等于多少吗?你是怎样得到的?
生很容易得出:sin 30°=.

【教师强调】　sin 30°表示在直角三角形中,30°角的对边与斜边的比值,与直角三角形的大小无关.
【师生活动】　我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示),根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质,可得斜边等于2a,所以sin 30°==.
【思考】　类似地,你能计算出cos 30°等于多少吗?tan 30°呢?
学生思考后,独立解答,代表展示:
根据勾股定理得较长的直角边长为a,所以cos 30°==,tan 30°===.
[设计意图]　因为三角板是学生非常熟悉的学习用具,所以学生在探究30°角的三角函数值时就会有一种亲切感,为60°角和45°角的三角函数值的探究做好准备.
探究活动(二)　45°,60°角的三角函数值
　　[过渡语]　类比30°角的三角函数值,我们同样可以得出45°,60°角的三角函数值.
课件出示:
【做一做】
(1)60°角的三角函数值分别是多少?你是怎样得到的?
【学生活动】　生先独立思考,然后小组交流.
代表发言:求60°角的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形.因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边.所以很容易求得:
sin 60°==,cos 60°==,tan 60°==.
(2)45°角的三角函数值分别是多少?你是怎样得到的?
【学生活动】　生稍加思考,代表板演:

如图所示,设其中一条直角边为a,则另一条直角边也为a,根据勾股定理可得斜边为a.由此可求得:
sin 45°===,cos 45°===,tan 45°==1.
(3)完成下表.

【学生活动】　学生独立完成上表,可能会有学生出现三角函数值混淆的情况.
【教师强调】　这个表格中的30°,45°,60°角的三角函数值需熟记,另一方面,要能够根据30°,45°,60°角的三角函数值说出相应的锐角的大小.为了帮助大家记忆,我们来一起观察总结表格中三角函数值的特点.
①先看第一列30°,45°,60°角的正弦值,你能发现什么规律呢?
生观察后发现:30°,45°,60°角的正弦值分母都为2,分子从小到大分别为,,,随着角度的增大,正弦值在逐渐增大.
②再来看第二列函数值,有什么特点呢?
生观察后发现:第二列是30°,45°,60°角的余弦值,它们的分母也都是2,分子从大到小分别为,,,余弦值随角度的增大而减小.
③第三列呢?
生观察后发现:第三列是30°,45°,60°角的正切值,函数值依次扩大倍,并且随着角度的增大,正切值在逐渐增大.
【教师点拨】　第三列的函数值可以变为,,.所以第三列的规律可以总结为它们的分母都是3,而分子从小到大分别为,,.
由于30°,45°,60°三个特殊角的三角函数值的分母都可以变化成一样的,只是分子不同,所以30°,45°,60°角的三角函数值可以利用口诀“一二三,三二一,三九二十七”进行记忆.
[设计意图]　运用三角函数之间的关系,引导学生推导出了9个特殊值,并利用口诀记忆三个特殊角的三角函数值,帮助学生把枯燥无味的记忆变得生动有趣,节约了学生的时间.
(三)例题解析
　　[过渡语]　通过探究我们已经掌握了特殊角的三角函数值,下面我们就利用这些特殊角的三角函数值解决一些相关的问题,以检验我们对新知的理解能力.
课件出示:
　计算:
(1)sin 30°+cos 45°;
(2)sin260°+cos260°-tan 45°.
【教师提示】　sin260°表示(sin 60°)2,cos260°表示(cos 60°)2。
【学生活动】　生独立解答,两名学生板演,展示解题步骤:
解:(1)sin 30°+cos 45°=+=.
(2)sin260°+cos260°-tan 45°=+-1=0.
[设计意图]　通过不同类型题目的练习,帮助学生巩固特殊角的三角函数值,让学生能更加熟练地进行三角函数值的计算.
[知识拓展]　计算含三角函数值的代数式的步骤:(1)求出特殊角的三角函数值;(2)根据实数的运算顺序进行计算.
　如图(1)所示,一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5 m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边的摆动角相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01 m).

〔解析〕　让学生探讨解决实际应用问题的关键,并结合图形说出题目的已知条件和未知条件.
【学生活动】　学生以抢答的形式回答:解决实际应用问题的关键是将实际问题转化为数学问题,如图(2)所示,已知OB=OA=OD=2.5,∠BOD=60°,OA⊥BD,求AC的长.而AC=OA-OC,所以求出OC是解此题的关键.
【师生活动】　要求学生先独立解答,有困难的和同伴交流或向老师求助.
代表展示,师出示解题步骤:
解:如图(2)所示,根据题意可知:
∠AOD=×60°=30°,OD=2.5 m,
∴OC=OD·cos 30°=2.5×≈2.165(m) ,
∴AC≈2.5-2.165≈0.34(m).
∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34 m.
[设计意图]　通过对实际问题的解决,进一步帮助学生巩固特殊角的三角函数值,并培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.

1.30°,45°,60°三个特殊锐角的三角函数值.
2.运用30°,45°,60°角的三角函数值进行相关的计算.

1.计算6tan 45°-2cos 60°的结果是 (　　)
A.4 B.4 C.5 D.5
解析:原式=6×1-2×=5.故选D.
2.式子2cos 30°-tan 45°-的值是 (　　)
A.2-2 B.0 C.2 D.2
解析:原式=2×-1-(-1)=-1-+1=0.故选B.
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,现给出下列结论:①sin A=;②cos B=;

③tan A=;④tan B=.其中正确的结论是　　　　.(只需填上正确结论的序号) 
解析:如图所示,∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,∴sin A==,故①错误;∵sin A=,∴∠A=30°,∴∠B=60°,∴cos B=,故②正确;∵∠A=30°,∴tan A=tan 30°=,故③正确;∵∠B=60°,∴tan B=tan 60°=,故④正确.故填②③④.
4.如图(1)所示,以O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OM交于点A,再以A为圆心,AO长为半径画弧,两弧交于点B,画射线OB,则cos∠AOB的值等于　　　　. 

解析:如图(2)所示,连接AB,由画出图形的过程可知OA=OB,AO=AB,∴OA=AB=OB,即三角形OAB为等边三角形,∴∠AOB=60°,∴cos∠AOB=cos 60°=.故填.

5.如图所示,小明在公园里放风筝,拿风筝线的手B离地面的高度AB为1.5 m,风筝飞到C处时的线长BC为30 m,这时测得∠CBD=60°,求此时风筝离地面的高度.(结果精确到0.1 m,≈1.73)
解:在直角三角形BCD中,sin∠CBD=,
∴CD=BC·sin∠CBD=30×sin 60°=15≈25.95(m).
∴CE=CD+AB≈25.95+1.5=27.45≈27.5(m).
答:此时风筝离地面的高度约是27.5 m.

2　30°,45°,60°角的三角函数值
30°,45°,60°角的三角函数值


一、教材作业
【必做题】
1.教材第9页随堂练习第1,2题.
2.教材第10页习题1.3第1~4题.
【选做题】
教材第10页习题1.3第5,6题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(玉林中考)计算cos245°+sin245°等于 (　　)
A. B.1
C. D.
2.如果在△ABC中,sin A=cos B=,那么下列最确切的结论是 (　　)
A.△ABC是直角三角形
B.△ABC是等腰三角形
C.△ABC是等腰直角三角形
D.△ABC是锐角三角形
3.(白银中考)在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,若sin A=,cos B=,则∠C=　　　　. 
4.(武威中考)已知α,β均为锐角,且满足+(tan β-1)2=0,则α+β=　　　　. 
【能力提升】
5.点(-sin 60°,cos 60°)关于y轴对称的点的坐标是 (　　)
A. B.
C. D.
6.如图所示,在正方形网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都是格点,则cos∠BAC=　　　　. 

7.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于点D,AB=8,∠ABD=30°,∠CAD=45°,求BC的长.

8.(东营中考)如图所示,热气球的探测器显示,从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,热气球A处与高楼的水平距离为120 m,这栋高楼有多高(≈1.732,结果保留到小数点后一位)?

【拓展探究】
9.如图所示,等边三角形ABC中,D,E分别为边AB,BC上的点,AD=BE,AE与CD交于点F,AG⊥CD于点G,求的值.

【答案与解析】
1.B(解析:∵cos 45°=sin 45°=,∴cos245°+sin245°=+=+=1.故选B.)
2.C(解析:∵sin A=cos B=,∴∠A=∠B=45°,∴△ABC是等腰直角三角形.故选C.)
3.60°(解析:∵在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,sin A=,cos B=,∴∠A=∠B=60°,∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-60°=60°.故填60°.)
4.75°(解析:∵+(tan β-1)2=0,∴sin α=,tan β=1,∴α=30°,β=45°,则α+β=30°+45°=75°.故填75°.)
5.A(解析:∵sin 60°=,cos 60°=,∴(-sin 60°,cos 60°)=,易知点(-sin 60°,cos 60°)关于y轴对称的点的坐标是.故选A.)
6.(解析:由勾股定理得AB=BC==,AC==,易知AB2+BC2=5+5=10=AC2,∴△ABC为等腰直角三角形,∴∠BAC=45°,∴cos∠BAC=.故填.)
7.解:∵AD⊥BC于点D,∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ABD中,∵AB=8,∠ABD=30°,∴AD=AB=4,BD=AD=4.在Rt△ADC中,∵∠CAD=45°,∠ADC=90°,∴DC=AD=4,∴BC=BD+DC=4+4.
8.解:过A作AD⊥BC,垂足为D.在Rt△ABD中,∵∠BAD=30°,AD=120 m,∴BD=AD·tan 30°=120×=40(m).在Rt△ACD中,∵∠CAD=60°,AD=120 m,∴CD=AD·tan 60°=120×=120(m),∴BC=40+120≈277.12≈277.1(m).答:这栋楼高约为277.1 m.
9.解:在△CAD与△ABE中,AC=AB,∠CAD=∠ABE=60°,AD=BE,∴△CAD≌△ABE.∴∠ACD=∠BAE.∵∠BAE+∠CAE=60°,∴∠ACD+∠CAE=60°.∴∠AFG=∠ACD+∠CAE=60°.∴易知在直角三角形AFG中,sin∠AFG=sin 60°=,∴=.


由于本节课的知识点比较单一,就是掌握并运用30°,45°,60°角的三角函数值解决相关问题,所以让学生通过自主探究基本上可以掌握所学的知识点.通过引导学生利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”“45°角所在的直角三角形的两直角边相等”的性质以及勾股定理探究三个特殊角的三角函数值,并利用口诀法帮助记忆,使学生感觉在轻松愉快的学习气氛中熟记了9个三角函数值.接下来的例1由于学生已经熟练掌握了三个特殊角的三角函数值,所以学生只要掌握运算顺序,圆满完成任务就是水到渠成的事情了.对于例2的教学,要让学生把握实际应用问题的关键:把实际问题转化成数学问题,让学生在图中找出对应的已知条件和所求条件,这是解决问题的前提条件.

没有绝对从学生的角度去考虑设计,会有一点美中不足的感觉,有待改善.

关于例2的教学想做以下尝试:题目出示之后,让学生独立完成画图,这样可以使学生的印象更加深刻.但是这样就加大了题目的难度,可能会让部分学生感觉很吃力,所以可以根据学生的程度进行选择.

随堂练习(教材第9页)
1.解:(1).　(2).　(3).
2.解:扶梯的长度为==14(m).
习题1.3(教材第10页)
1.解:(1)原式=1-=.　(2)原式=+-=.　(3)原式=6×-×-2×=2--=.
2.解:在Rt△ABC中,∵∠BCA=60°,tan∠BCA=,∴BC====4≈7(m).
3.解:∵∠ASB=120°,∴∠ASO=∠ASB=60°.∵AB=54,∴AO=27.在Rt△ASO中,tan 60°=,∴SO==9.
4.树高约4.6 m.[提示:树高=5tan 30°+1.75≈4.6(m).]
5.最多蓄水2400 m3.[提示:水渠蓄水量=×[1.2+(0.8+1.2+0.8)]×0.8×1500=2400(m3).]
6.至少有13个台阶.[提示:BD=AD=1.5 m,CE=BC=AB= m,≈13.]


本节课的知识比较简单,学生通过自主学习完全可以领会,重点是对30°,45°,60°角的三角函数值的探究,学生可以利用学过的直角三角形的边和角之间的关系再结合勾股定理进行探究.而三个特殊角的9个三角函数值的记忆是本节课的难点,要突破这一难点,学生可以采用适合自己的方法进行记忆,如:口诀记忆法、形象记忆法等.而最好的记忆方法是通过大量的练习题进行巩固,这样的记忆更加深刻.

　(凉山中考)在△ABC中,若+(1-tan B)2=0,则∠C的度数是 (　　)
A.45° B.60°
C.75° D.105°
解析:由题意,得cos A=,tan B=1,∴∠A=60°,∠B=45°,∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°.故选C.
[解题策略]　此题考查了特殊角的三角函数值及绝对值、偶次方的非负性,属于基础题,关键是熟记一些特殊角的三角函数值,也要注意运用三角形的内角和定理.

混淆特殊角的三角函数值
　在△ABC中,若∠A,∠B满足+=0,则∠C=　　　　. 
【错解】　90°
【错解分析】　往往会因为对特殊角的三角函数值记忆不牢固,而出现由cos A=得到∠A=30°的错误结论.
【正解】　60°
【正解分析】　根据绝对值及偶次方的非负性,可得cos A=,sin B=,∴∠A=60°,∠B=60°.∴∠C=180°-60°-60°=60°.