数学八年级上册13.3.1 等腰三角形课时练习

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第6讲 等腰三角形

知识点1 等腰三角形的相关概念---分类讨论求边角的值
1.等腰三角形的两个腰相等，两个底角也相等.
2.直角三角形30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
【典例】
1.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，求此三角形的底角.
【解析】解：①如下图，当高在三角形内部时，，
∴∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，

②如下图，当高在三角形外部时，，
则∠BAD=30°，
∴∠BAC=150°，
∴∠ABC=∠ACB=15°，
所以此三角形的底角等于75°或15°．

【方法总结】
本题考查了等腰三角形的性质，以及含特殊角的直角三角形，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系（三角形内部，三角形的外部，三角形的边上），解题时注意需要分类讨论．

2.如果一等腰三角形的周长为27，且两边的差为12，求这个等腰三角形的腰长.
【解析】解：设等腰三角形的腰长为x，则底边长为x﹣12或x+12，
当底边长为x﹣12时，
根据题意，得2x+x﹣12=27，
解得x=13，
∴腰长为13，
此时底边长为13-12=1，
满足三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
当底边长为x+12时，
根据题意，得2x+x+12=27，
解得x=5，
此时底边长为5+12=17，
因为5+5＜17，所以构不成三角形，
故这个等腰三角形的腰的长为13.
【方法总结】
已知等腰三角形的周长和两边之差来求等腰三角形的底或腰时，我们需要分类讨论，分为两种情况：一种是“腰-底=某个值”，第二种是“底-腰=某个值”，可将底或腰设为未知数，再根据等腰三角形的周长列出方程，求出三边以后根据三角形的三边关系进行验证，选择合理的数值.
【随堂练习】
1．（2018•哈尔滨）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为__________．
【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=40°，
∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形，
∴当∠BAD=90°时，则∠ADB=50°，
∴∠ADC=130°，
当∠ADB=90°时，则
∠ADC=90°，
故答案为：130°或90°．
　
2．（2018•杨浦区三模）如果等腰三角形的两内角度数相差45°，那么它的顶角度数为________．
【解答】解：设顶角为x度，则
当底角为x°﹣45°时，2（x°﹣45°）+x°=180°，
解得x=90°，
当底角为x°+45°时，2（x°+45°）+x°=180°，
解得x=30°，
∴顶角度数为90°或30°．
故答案为：90°或30°．
　
3．（2018•东莞市二模）若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为_____．
【解答】解：若2cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10﹣2﹣2=6（cm），2+2＜6，不符合三角形的三边关系；
若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10﹣2）÷2=4（cm），此时三角形的三边长分别为2cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系；
故答案为：2cm．
　
4．（2018•澄海区一模）若等腰三角形的两条边长是3和4，则它的周长为_____．
【解答】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，
能组成三角形，周长=3+3+4=10，
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，
能组成三角形，周长=3+4+4=11，
综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．
故答案为：10或11．
　
5．（2017秋•滕州市期末）一等腰三角形一个外角是110°，则它的底角的度数为　______
【解答】解：①当110°外角是底角的外角时，底角为：180°﹣110°=70°，
②当110°外角是顶角的外角时，顶角为：180°﹣110°=70°，
则底角为：（180°﹣70°）×=55°，
∴底角为70°或55°．
故答案为：70°或55°．

知识点2 等腰三角形的性质---边角关系
等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”），
即在△ABC，AB=AC，可得∠B=∠C.
【典例】
1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，BE=BC，求∠DCE的大小.

【解析】解：设∠ACE=，∠ECD=，∠DCB=，
∵BC=BE，
∴∠CED=∠ECB=，
∵AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD=，
在△CDB中，∠B= ，
在△ACE中，∠A=，

在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，即=90°，
∴2=90°，
解得=45°．
于是∠DCE=45°．
【方法总结】
本题考查了等腰三角形的性质，解答此题的关键是建立起各角之间的关系，结合图形列出方程进行解答．
2.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40，24，求AB的长.

【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，
∴△ABC的周长﹣△EBC的周长
=（AB+AC+BC）-（AC+BC）
=AB，
∴AB=40﹣24=16．
【方法总结】
本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线上的性质，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得出相等的线段，把三角形的周长表示出来，再利用相等的线段进行转化求解.
【随堂练习】
1.（2017秋•番禺区期末）如图，△ABC中∠A=∠ABC，DE垂直平分BC交BC于点D，交AC于点E
（1）若AB=5，BC=8，求△ABE的周长；
（2）若BE=BA，求∠C的度数．

【解答】解：（1）∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE=CE，
∴△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+AE+CE=AB+AC，
∵AB=5，BC=8，
∴△ABE的周长=5+8=13，
（2）∵BE=BA，
∴∠A=∠AEB，
∵BE=CE，
∴∠EBC=∠C，
∴∠A=∠AEB=∠EBC+∠C=2∠C，
∵∠A+∠ABC+∠C=5∠C=180°，
解得：∠C=36°．
　
2．（2017秋•濮阳期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．
（1）求∠ECD的度数；
（2）若CE=5，求BC的长．

【解答】解：（1）∵DE垂直平分AC，
∴AE=CE，
∴∠ECD=∠A=36°；
（2）∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°．
∵∠BEC=∠A+∠ACE=72°，
∴∠B=∠BEC，
∴BC=CE=5．
　
知识点3 等腰三角形的性质---三线合一
等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.
例：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，

①AD⊥BC ②BD=CD ③AD平分∠BAC,
上述三个条件，任意满足一个，可得到另外两个.
即①②，③；②①，③；③①，②.
【典例】
1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE=∠CAD．
求证：BE⊥AC．

【解析】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠CAD+∠C=90°，
又∵∠CBE=∠CAD，
∴∠CBE+∠C=90°，
∴∠BEC=90°，
即BE⊥AC．
【方法总结】
本题主要是利用等腰三角形的三线合一，根据三线合一的性质可知，等腰三角形底边上的中线也是底边的高线.
注：等腰三角形常作的辅助线是，过顶角的顶点向底边作垂线，再利用三线合一得到一些相等的关系式，当题目中给出等腰三角形底边上的中点时，常常将等腰三角形的顶角顶点和它直接相连.
【随堂练习】
1．（2019春•顺德区期末）等腰的两条边长分别为3和4，则其周长等于　　
A．10 B．11 C．10或11 D．不确定
【解答】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，
能组成三角形，周长，
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，
能组成三角形，周长，
综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．
故选：．
2．（2019春•九江期末）如图，在中，，以点为圆心，以长为半径画弧交于点，连接，若，则下列结论一定正确的是　　

A． B． C． D．
【解答】解：由题意得，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
3．（2019春•和平区期末）如图，等腰中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的度数为　　

A． B． C． D．
【解答】解：，，
，
线段的垂直平分线交于点，
，
，
，
故选：．
4．（2019春•锦江区期末）如图，在中，，直线，且分别与的两条边相交，若，，则的度数为　　

A． B． C． D．
【解答】解：过作，
，
，
，，
，
，
，
故选：．

5．（2019春•揭西县期末）在等腰三角形中，如果两边长分别为，，则这个等腰三角形的周长为　　
A． B． C．或 D．
【解答】解：根据题意，
①当腰长为时，周长；
②当腰长为时，周长．
故选：．
6．（2019•崇川区校级三模）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则的度数为　　

A． B． C． D．
【解答】解：，，
，
垂直平分线，
，
，
．
故选：．
7．（2019春•崂山区期末）如图，在中，，为中点．若，，则的度数为　　

A． B． C． D．
【解答】解：在中，，为中点，，
，
，
．
故选：．
8．（2019春•漳州期末）已知等腰三角形有两条边的长分别是3，7，则这个等腰三角形的周长为　　
A．17 B．13 C．17或13 D．10
【解答】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为7、3、3，
，不能组成三角形；
②3是底边长时，三角形的三边分别为7、7、3，
能组成三角形，周长，
综上所述，这个等腰三角形的周长是17，
故选：．

知识点4 等腰三角形的判定与性质
1.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.
2.等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.
3. 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.
【典例】
1.如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有_______ 个．

【答案】9
【解析】解：①以AB作为等腰三角形的底边，则符合条件的C一定在线段AB的垂直平分线上，且处于格点上，图中红线上的点，共5个；
②以AB作为等腰三角形的一个腰，
当点A是等腰三角形的顶角顶点时，符合条件的点在紫色线上，共有2个，
当点B是等腰三角形的顶角顶点时，符合条件的点在蓝色线上，共有2个，
综合①②可知，符合条件的点C共有9个.


故答案是：9.
【方法总结】
本题考查的等腰三角形的判定，利用的是数形结合思想，当已知两个格点找寻第三个格点时，需要分类讨论，将这条边作为底和作为腰时可以构建的等腰三角形的个数之和，即为所求的点的个数.
2.如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=_____________s时，△POQ是等腰三角形．

【答案】或10
【解析】解：当PO=QO时，△POQ是等腰三角形；
如图1所示：当P点在O的左侧时，

∵PO=AO﹣AP=10﹣2t，OQ=1t
∴当PO=QO时，
10﹣2t=t
解得t=；
即当t=时，△POQ是等腰三角形；
如图2所示：当P点在O的右侧，△POQ是等腰三角形 ，
∵∠BOC=60° ，
∴△POQ是等边三角形，
∴ PO=QO=PQ


∵PO=AP﹣AO=2t﹣10，OQ=1t；
∴2t﹣10=t；
解得t=10；
故答案为：或10．
【方法总结】
本题主要考查了等腰三角形的性质，由等腰三角形的两个腰相等得出方程是解决问题的关键，注意本题分类讨论时，由于∠POQ=60°，可得出△POQ是等边三角形，再根据PO=QO进行求解．
3.如图，在△ABC中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．
（1）求证：DE=CE．
（2）若∠CDE=35°，求∠A的度数．

【解析】证明：（1）∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD=∠ECD．
∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠BCD，
∴∠EDC=∠ECD，
∴DE=CE．
（2）解：∵∠ECD=∠EDC=35°，
∴∠ACB=2∠ECD=70°．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠A=180°﹣70°﹣70°=40°．

【方法总结】
本题主要考查的是 “平行+角分线” 模型，在之后学习菱形证明题时也会用到，需记牢.
模型如下：如图所示，①∠1=∠2；②AC∥BD;③AB=AC（△ABC是等腰三角形）

上述条件任意两个成立则第三个也成立.
即①②③；①③②；②③①.
【随堂练习】
1．（2018秋•昭通期末）如图，，为的中点，以下结论正确的有几个？　　
①；②；③；④是的角平分线．

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：，为的中点，
，，
为公共边，
，
，，
，
即是的角平分线．
故选：．
二．填空题（共2小题）
2．（2019春•梅县区期末）如图， 在中，，点在延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为　 7 　．

【解答】证明： 在中，
，
，
，
，，
，
又，
，
，
是等腰三角形 ．
又，，
，，
．
3．（2018•平房区三模）已知：在中，，垂足为点，若，，则　或35　．
【解答】解：当为锐角时，过点作，交于点，如图1所示．
，
，．
，，
，
，
．
当为钝角时，如图2所示．
，
，
．
故答案为：或．



综合运用
1. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC=1.5，则满足条件的格点C有________个.

【答案】2
【解析】解：如上图：分情况讨论．

①AB为等腰△ABC底边时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个．
因为S△ABC=1.5，
所以满足条件的格点C只有两个，如图中蓝色的点．
故答案为：2．
2.如图，C是△ABE的BE边上一点，F在AE上，D是BC的中点，且AB=AC=CE，下列结论：
①AD⊥BC；②CF⊥AE；③∠1=∠2；④AB+BD=DE
其中正确的结论有_________．

【答案】①④
【解析】解：①∵D是BC的中点，AB=AC，
∴AD⊥BC，故①正确；
②∵虽然AC=CE，F在AE上，但F点不一定是AE的中点，
∴无法证明CF⊥AE，故②错误；
③由②可知，CF不一定垂直于AE，则无法证明∠1=∠2，故③错误；
④∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
∵AB=CE，
∴AB+BD=CE+DC=DE，故④正确．
故其中正确的结论有①④．
故答案为：①④．
3.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE=AF，求证：DE=DF．

【解析】证明：连接AD，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠EAD=∠FAD，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED△AFD（SAS），
∴DE=DF．


4.如图，AD∥BC，∠BAC=70°，DE⊥AC于点E，∠D=20°．
（1）求∠B的度数，并判断△ABC的形状；
（2）若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是∠ABC的平分线．

【解析】解：（1）∵DE⊥AC于点E，
∴∠AED=90°，
∵∠D=20°，
∴∠CAD=90°-∠D =90°-20°=70°，
∵AD∥BC，
∴∠C=∠CAD=70°，
∵∠BAC=70°，
∴∠BAC=∠C，∠B=180°-∠BAC- ∠C =40°，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形.
（2）∵延长线段DE恰好过点B，DE⊥AC，
∴BD⊥AC，
∵△ABC是等腰三角形，
∴DB是∠ABC的平分线．
5.已知等腰三角形△ABC，AB=AC，一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和15两部分，求这个三角形的三边长．

【解析】解：如图，在△ABC中，AB=AC，且AD=BD．设AB=AC=x，BC=y，

（1）当AC+AD=15，BD+BC=12时，
根据题意得，，，
解得x=10，y=7．
（2）当AC+AD=12，BC+BD=15时，
根据题意得，，，
解得x=8，y=11，
故得这个三角形的三边长分别为10，10，7或8，8，11．
6.如图，O是△ABC的∠ABC，∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC=16，求△ODE的周长.

【解析】解：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠DBO，
又OD∥AB，
∴∠ABO=∠DOB，
∴∠DBO=∠DOB，
∴OD=BD，
同理OE=CE，
∵BC=16，
则△ODE的周长为： OD+DE+OE=BD+DE+EC=BC=16．