八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.2 等边三角形练习题

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第7讲 等边三角形

知识点1 等边三角形的性质
1.定义：三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形；
2.性质：等边三角形的三条边相等，三个角都等于60°；
3.等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形所具有的一切性质.
【典例】
1.如图，已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′、EB′分别交边AC于点F、G，若∠ADF=80°，则∠GEC的度数为_________．

【答案】40°
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵∠ADF=80°，
∴∠BD B′=180°-80°=100°，
由翻折可得∠B′DE=∠BDE，
∴∠B′DE=∠BDE=∠BD B′=×100°=50°
∴∠BED=180°-∠B-∠BDE=180°-60°-50°=70°，
根据翻折可知，∠BE B′=2∠BED=140°，
∴∠GEC=180°﹣∠BE B′=180°﹣140°=40°．
故答案为：40°
【方法总结】
本题主要考查了等边三角形的性质，即它的每个内角都等于60°，结合翻折变换后的对应边相等，对应角相等，得到所求角与所给角度数之间的关系．
2.如图，△ABC是等边三角形，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠A2015BC的平分线与∠A2015CD的平分线交于点A2016，则∠A2016的度数是（　　）

A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】解：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，
∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，
∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠A+∠ABC,
∴∠A1+∠A1BC=∠ACD =（∠A+∠ABC）=∠A+∠A1BC，
∴∠A1=∠A=，
同理可得∠A2=∠A1=，
…，∠An=．
所以∠A2016=．
故选：B．
【方法总结】
本题考查了等边三角形的内角等于60°，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2019春•兰州期末）如图所示，在等边三角形中，，为上一点，，则等于　　

A． B． C． D．
【解答】解：在等边三角形中，，
是的线段垂直平分线，
是上一点，
，
，
，
，
又，，
，
故选：．
2．（2019•南海区二模）如图，直线，将等边三角形如图放置若，则等于　　

A． B． C． D．
【解答】解：过点作，如图，
则．
，
，
．
是等边三角形，
，
．
故选：．

3．（2019•海口一模）如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，若，则等于　　

A． B． C． D．
【解答】解：，
是等边三角形，
，
，
直线，
，
故选：．

4．（2019春•昌平区校级月考）等边的两条角平分线和相交所夹锐角的度数为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，设等边的两条角平分线和相交于，
是等边三角形，
，
平分，平分，
，，
，
即等边的两条角平分线和相交所夹锐角的度数为；
故选：．

5．（2018秋•雨花区校级期末）如图，已知，点，，，在射线上，点，，，在射线上，△，△，△，均为等边三角形，若，则△的边长　　

A．16 B．64 C．128 D．256
【解答】解：△是等边三角形，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
△、△是等边三角形，
，，
，
，，
，，
，，
，
，
，
以此类推：．
故选：．

6．（2018秋•延边州期末）如图，在等边中，是的中点，于，于，已知，则的长为　　

A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：在等边中，是的中点，，
，，，
于，于，
，
，
，
，
，
故选：．
7．（2018秋•滨州期末）如图，是等边的中线，，则的度数为　　

A． B． C． D．
【解答】解：是等边的中线，
，，
，
，
，
．
故选：．
8．（2019•定兴县一模）如图，是等边三角形，点是三角形内的任意一点，，，，若的周长为12，则　　

A．12 B．8 C．4 D．3
【解答】解：延长、分别交、于、，
则由，，，可得，
四边形，是平行四边形，
，，
又是等边三角形，
又有，可得，是等边三角形，
，，
又的周长为12，
，
故选：．

二．填空题（共1小题）
9．（2019春•沙坪坝区校级期末）如图，已知是等边三角形，点、、、在同一直线上，，，则　15　度．

【解答】解：是等边三角形，
，，
，
，，
，
．
故答案为：15．

知识点2 等边三角形的性质与判定
判定方法：
1.三个边都相等的三角形是等边三角形；
2.三个角都相等的三角形是等边三角形；
3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
【典例】
1.已知：在△ABC中，∠A=60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：
①如果添加条件“AB=AC”，那么△ABC是等边三角形；
②如果添加条件“∠B=∠C”，那么△ABC是等边三角形；
③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．
上述说法中，正确的有（　　）
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
【答案】A.
【解析】解：①若添加的条件为AB=AC，由∠A=60°，
利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形；
②若添加条件为∠B=∠C，
又∵∠A=60°，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠A=∠B=∠C，
则△ABC为等边三角形；
③若添加的条件为边AB、BC上的高相等，如图所示：

已知：∠BAC=60°，AE⊥BC，CD⊥AB，且AE=CD，
求证：△ABC为等边三角形．
证明：∵AE⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠AEC=90°，
在Rt△ADC和Rt△CEA中，
，
∴Rt△ADCRt△CEA（HL），
∴∠ACE=∠BAC=60°，
∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°，
∴AB=AC=BC，
即△ABC为等边三角形，
综上，正确的说法有3个．
故选：A．
【方法总结】
本题考查的是等边三角形的判定，熟练掌握以下能使等边三角形成立的条件：
1.三个角都是60°或三个边都相等；
2.一个角是60°的等腰三角形.
其余叙述方式，均需要向这两条转化，然后进行判断.
2.如图，在△ABC中，∠B=60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE、DE，使EC=DE，求证：△ABC是等边三角形．

【解析】证明：如图，延长BD至F，使DF=BC，连接EF，

∵EC=ED，
∴∠ECD=∠EDC，
∴∠ECB=∠EDF，
∴△ECB△EDF（SAS），
∴BE=EF，
∵∠B=60°，
∴△BEF为等边三角形，
∴BE=BF，
∵AE=BD，
∴BE-AE=BF-BD
∴AB=DF，
∴AB=BC，
∴△ABC是等边三角形．
【方法总结】
本题主要考查了等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定等知识，作出辅助线是解决问题的关键，要证一个三角形是等边三角形，已知一个60°的角，可再证一个角等于60°或一组边相等.
3.如图，在△ABC中，∠ABC=∠C，∠EBC=∠BED=60°，AD平分∠BAC，求证：∠D=30°．

【解析】证明：如图，

延长ED、AD分别交BC与点G、F，
∵∠ABC=∠C，
∴△ABC为等腰三角形，
∵AD平分∠BAC，
∴AF⊥BC，
即∠DFG=90°，
∵∠EBC=∠BED=60°，
∴△BEG是等边三角形，
∴∠DGF=60°，
∴∠EDA=∠GDF=90°-∠DGF =90°-60°=30°．
【方法总结】
本题主要考查的是等边三角形的判定和性质，即有两个角是60°的三角形是等边三角形，还考查了等腰三角形的三线合一的性质，以及三角形的内角和定理，准确作出辅助线是解题的关键.
【随堂练习】
1．（2019春•金台区校级月考）如图，在中，，，是内两点，平分，，若，，则　12　．

【解答】解；过点作，垂足为，延长到，交于点，过点作，垂足为．

，，
，
，
，，
．
又，
，
，平分，
，且．
，，，
四边形是矩形．
．
．
故答案为：12．
二．解答题（共1小题）
2．（2018秋•邵阳县期末）如图，在等边中，与的平分线相交于点，且，
（1）试判定的形状，并说明你的理由；
（2）若，求的周长．

【解答】解：（1）是等边三角形；理由如下：
是等边三角形，
；
，，
，，
为等边三角形．
（2）平分，，
，，
，
；同理可证；
的周长．


知识点3 直角三角形的性质
1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
2.在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
【典例】
1.如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q．
（1）求证：△ABE△CAD；
（2）请问PQ与BP有何关系？并说明理由．

【解析】证明：（1）∵△ABC为等边三角形．
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
在△BAE和△ACD中，

∴△BAE△ACD
（2）答：BP=2PQ．
证明：∵△BAE△ACD，
∴∠ABE=∠CAD．
∵∠BPQ为△ABP外角，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．
∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ．
【方法总结】
本题考查了全等三角形的判定以及直角三角形的性质：直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
2.如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记a1，第2个等边三角形的长记为a2，以此类推，若OA1=3，则a2=_________，a2015=__________.

【答案】6；3×22014．
【解析】解：如图所示：

∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=3，
∴A2B1=3，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴a2=2a1=6，
a3=4a1，
a4=8a1，
a5=16a1，
以此类推：a2015=22014a1=3×22014
故答案是：6；3×22014．
【方法总结】
本题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出a2=2a1=6，a3=4a1，a4=8a1，a5=16a1…进而发现规律是解题关键．
3.如图，在锐角三角形ABC中，CM为AB边上的高，P为BC的中点，连接MP，在AC上找到一点N，使NP=MP，连接BN，试判断BN与AC的位置关系，并说明理由．

【解析】解：BN⊥AC．
理由如下：
∵CM为AB边上的高，P为BC的中点，
∴MP=BC=BP=CP，
∵NP=MP，
∴NP= BP=CP，
∴∠1=∠2，∠3=∠ACB，
∵∠1+∠2+∠3+∠ACB =180°，
∴∠2+∠3=90°，
∴BN⊥AC．

【方法总结】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟记性质并准确识图是解题的关键．
能根据该性质和已知条件证得下面这一结论，即如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，并且这条边所对的角是直角.
【随堂练习】
1．（2019春•滕州市期末）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．
【解答】解：连接，
是的垂直平分线，
，
，
，
在中，，
，
故选：．

2．（2019春•稷山县期末）如图，中，，，，点是边上的动点，则的长可能是　　

A．5 B．6.2 C．7.8 D．8
【解答】解：根据垂线段最短，可知的长不能小于3；
中，，，，
，
的长不能大于6．
故选：．
3．（2019春•沙坪坝区校级期末）如图，中，，，的垂直平分线交于点，交于点，则下列结论错误的是　　

A． B． C． D．
【解答】解：，，
，，
是的垂直平分线，
，故正确，不符合题意；
，，
，故错误，符合题意；
，
，又，，
，故正确，不符合题意；
，，
，故正确，不符合题意；
故选：．
4．（2019春•南岸区校级期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，并交于点，若，则的长为　　

A． B．3 C．6 D．9
【解答】解：是线段的垂直平分线，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
故选：．
5．（2019春•丰南区期末）如图在中，，，．将沿向右平移得到，若四边形的面积等于32，则平移距离等于　　

A．4 B．6 C．8 D．16
【解答】解：设平移的距离为，即，
，，
，
由平移的性质可知，四边形的平行四边形，
则，
解答，，
故选：．
6．（2019春•端州区期末）在中，，，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，
，
由勾股定理得，，
故选：．

知识点4 双等边三角形模型的应用
【典例】
1.如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．
（1）求证：△AOC△BOD；
（2）求∠AEB的大小；
（3）如图2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），则∠AEB的大小_________．（填“变”或“不变”）

【解析】证明：（1）如图1，
∵△ODC和△OAB都是等边三角形，
∴OD=OC=OA=OB，∠COD=∠AOB=60°，
∴∠BOD=∠AOC=120°，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC△BOD.

（2）解：∵△AOC△BOD，
∴∠CAO=∠DBO，
在△BEF和△AFO中，
∵∠BFE=∠AFO，∠CAO=∠DBO，
∴∠AEB=∠AOB=60°.
（3）解：如图2，∵△ODC和△OAB都是等边三角形，
∴OD=OC=OA=OB，∠COD=∠AOB=60°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC△BOD；
∴∠CAO=∠DBO，
在△BEF和△AFO中，
∵∠BFE=∠AFO，∠CAO=∠DBO，
∴∠AEB=∠AOB=60°，
即∠AEB的大小不变．
故答案为不变．

【方法总结】
本题考查了几何变换综合题：熟练掌握旋转的性质、等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，同时要善于利用归纳思想，能根据前一问的解题思路，来灵活解决后面的问题．
注：本题属于双等边三角形模型，要善于利用双等边带来的相等的对应边和对应角，去构造全等来解决问题.
【随堂练习】
1．已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．
（1）求证：AN=BM；
（2）求证：△CEF为等边三角形．

【解答】证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=∠NCB=60°，
∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN，即∠ACN=∠MCB，
在△ACN和△MCB中，
∵，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=BM．

（2）∵△CAN≌△CMB，
∴∠CAN=∠CMB，
又∵∠MCF=180°﹣∠ACM﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠MCF=∠ACE，
在△CAE和△CMF中，
∵，
∴△CAE≌△CMF（ASA），
∴CE=CF，
∴△CEF为等腰三角形，
又∵∠ECF=60°，
∴△CEF为等边三角形．

综合运用
1.如图，已知等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则∠EFD=_________．

【答案】45°
【解析】解：由翻折的性质可知；∠AFE=∠EFD．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，∠C=60°，∠A=∠EDF=60°．
∵ED⊥BC，
∴△EDC为直角三角形，
∴∠FDB=30°，
∴∠BFD=180°-∠FDB-∠B=90°
∴∠AFD=180°-∠BFD =90°，
∴∠EFD=∠AFE =∠AFD =45°．
故答案为：45°
2.如图所示，△ABC为等边三角形，P是△ABC内任一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为18，则PD+PE+PF=___________．

【答案】6
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，
∴△PHF为等边三角形，∴PF=PH，PD=BH，
又△AHE为等边三角形，∴HE=AH，
∴PD+PE+PF=BH+PE+PH=BH+HE=BH+AH=AB
△ABC的周长为18
∴AB=6，∴PD+PE+PF=6．
故填6
3.如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD=AE，E在AC上，求∠EDC的度数．

【解析】解：∵△ABC是等边三角形，AD为中线，
∴AD⊥BC，∠CAD=30°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED= =75°，
∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣75°=15°．
4.已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．请你说明△DEF是正三角形．

【解析】解：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF，
∴AE=BF=CD，
又∵∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADE△BEF△CFD（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是等边三角形．
5.如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，连接CD、BE．求证：CD=BE．

【解析】证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠DAE=∠CAB，
∵∠DAE﹣∠CAE=∠CAB﹣∠CAE，
∴∠DAC=∠EAB，
在△ADC和△AEB中，
，
∴△ADC△AEB． 　　　
∴CD=BE．　
6.如图，等边三角形ABD和等边三角形CBD的边长均为a，现把它们拼合起来，E是AD上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF=a．则△BEF的形状如何？

【解析】解：△BEF为正三角形
证明：∵AE+CF=a，AE+ED=a，
∴DE=CF，
∵△ABD和△CBD是等边三角形，
∴∠BDA=∠BCD=60°，
在△BDE和△BCF中，
，
∴△BDE△BCF，
∴BE=BF，∠DBE=∠CBF，
又∵∠CBF+∠FBD=60°，
∴∠FBD+∠DBE=60°，
即∠EBF=60°，
∴△BEF为等边三角形．