初中数学人教版八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.1 提公因式法练习题

第11讲  因式分解（一）

 知识点1 提公因式法

如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

【典例】

1.因式分解：（2a+b）2﹣2b（2a+b）=              ．

【答案】（2a+b）（2a﹣b）．
【解析】解：通过观察，原式的公因式是2a+b，把公因式提取到括号外边，

因此（2a+b）2﹣2b（2a+b）

=（2a+b）（2a+b﹣2b）

=（2a+b）（2a﹣b）．

故答案为：（2a+b）（2a﹣b）．

【方法总结】

确定公因式的方法：

系数——取多项式各项系数的最大公约数；

字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.

2.如果x﹣y=2，xy=3，则x2y﹣xy2=   ．

【答案】6
【解析】解：对式子x2y﹣xy2分解因式，可得

x2y﹣xy2=xy（x﹣y）

∵x﹣y=2，xy=3

∴原式=3×2

=6．

故答案为：6．

【方法总结】

如果所求的式子是个多项式，先对式子进行因式分解，然后再代入题干中给出的其他条件（或对其他条件进行整理后，再代入）进行计算.

3.计算：﹣5652×0.13+4652×0.13=      ．

【答案】﹣130
【解析】解：﹣5652×0.13+4652×0.13

=0.13×（﹣5652+4652）

=0.13×（﹣1000）

=﹣130，

故答案为：﹣130．

【方法总结】

以前学习过乘法分配律，a(c+b)=ac+ab, 对于这类题而言，提公因式法更像是乘法分配律的逆运算，先找到相同的数字（有时是幂，需提取最低次幂），提取到括号的外边，然后对剩下的部分整理，再计算.

【随堂练习】

1．（2019春•龙华区期末）下列多项式能分解因式的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：、，无法分解因式，故此选项错误；

、，故此选项正确；

、，无法分解因式，故此选项错误；

、，无法分解因式，故此选项错误；

故选：．

2．（2019春•武侯区期末）下列分解因式正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、，不是分解因式，故选项错误；

、，故选项正确；

、，不是分解因式，故选项错误；

、，不是分解因式，故选项错误．

故选：．

3．（2019春•贵阳期末）把分解因式，正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：．

故选：．

4．（2019春•昌图县期末）多项式因式分解时，应提取的公因式为　　

A． B． C． D．

【解答】解：多项式因式分解时，，故应提取的公因式为：．

故选：．

5．（2019春•桂林期末）将多项式因式分解应提取的公因式是　　

A． B． C． D．

【解答】解：多项式因式分解应提取的公因式是，

故选：．

二．填空题（共2小题）

6．（2019春•简阳市 期末）因式分解：　　．

【解答】解：．

故答案为：．

7．（2019春•迁西县期末）如果，，那么　21　．

【解答】解：，，

．

故答案为：21．

知识点2 公式法—平方差公式

平方差公式：

①公式左边是一个二项式，且两项的符号相反；

②二项式中，每一项都可以化成某个数或式的平方形式；

③右边是这两个数或式的和与它们差的积

【典例】

1.分解因式：a2﹣81=            ．

【答案】（a+9）（a﹣9）．
【解析】解：原式= a2- 92

=（a+9）（a﹣9）．

故答案为：（a+9）（a﹣9）．

【方法总结】

利用平方差公式进行因式分解，一定要先判断这个多项式是否满足平方差公式因式分解的条件，即: 公式左边是一个二项式，且两项的符号相反；二项式中，每一项都可以化成某个数或式的平方形式．

2.多项式 （3a+2b）2﹣（a﹣b）2分解因式的结果是（　　）

A. （4a+b）（2a+b）   B. （4a+b）（2a+3b） C. （2a+3b）2   D. （2a+b）2

【答案】B.
【解析】解：（3a+2b）2﹣（a﹣b）2=[（3a+2b）+（a﹣b）][（3a+2b）﹣（a﹣b）]

=（4a+b）（2a+3b），

故选：B

【方法总结】

利用平方差公式：进行因式分解时，需要注意，式子里的a和b可以是数字、字母或者式子.

知识点3 公式法—完全平方公式

完全平方公式：

即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和 (或差)的平方.

【典例】

1.下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　）

A. 4x2﹣12xy+9y2 B. 2x2+4x+1     C. 2x2+4xy+y2   D. x2﹣y2+2xy

【答案】A.
【解析】解：A、4x2﹣12xy+9y2=（2x﹣3y）2，能用完全平方公式进行因式分解，故此选项正确；而B、C、D均不满足完全平方公式因式分解的条件.故选A

【方法总结】

需要注意的是，能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的 形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.

2.分解因式4+12（a﹣b）+9（a﹣b）2=            ．

【答案】（2+3a﹣3b）2
【解析】解：原式=22+12（a﹣b）+[3（a﹣b）]2

=[2+3（a﹣b）]2

=（2+3a﹣3b）2．

故答案为：（2+3a﹣3b）2．

【方法总结】

利用完全平方公式：，

进行因式分解时，需要注意，式子里的a和b可以是数字、字母或者式子.

另外，分解因式时，需要注意，因式分解一定要分解到不能再分解为止.

3.已知x=y+95，则代数式x2﹣2xy+y2﹣25=      ．

【答案】9000
【解析】解：原式=（x﹣y）2﹣25

∵x=y+95，即x﹣y=95，

∴原式=952-25

=9025﹣25

=9000，

故答案为：9000

【方法总结】

如果问题中的式子是个多项式，先对问题中的式子进行因式分解（有时是部分因式分解，目的是整理出与条件相接近或相同的式子），然后再代入题干中的条件进行运算.

【随堂练习】

1．（2018秋•沛县期末）下列多项式能用平方差公式分解因式的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：、，无法分解因式，不合题意；

、，无法分解因式，不合题意；

、，无法分解因式，不合题意；

、，正确，符合题意；

故选：．

2．（2019春•嘉兴期末）下列因式分解错误的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、，不符合因式分解的定义，故此选项正确；

、，正确，不符合题意；

、，正确，不合题意；

、，正确，不合题意；

故选：．

3．（2019春•普宁市期末）下列因式分解错误的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、，正确，不合题意；

、，原式分解因式错误，符合题意；

、，正确，不合题意；

、，正确，不合题意；

故选：．

4．（2019春•邗江区校级月考）若，，则的值为　　

A．200 B． C．100 D．

【解答】解：，，

．

故选：．

5．（2019春•滦州市期末）关于的二次三项式能用完全平方公式分解因式，则的值是　　

A． B． C．12 D．

【解答】解：依题意，得

，

解得：．

故选：．

6．（2019春•平川区期末）下列各式不能用公式法分解因式的是　　

A． B．  C． D．

【解答】解：、，可用平差公式，故能用公式法分解因式；

、 能用完全平方公式，故能用公式法分解因式；

、不能用平方差公式分解因式，故正确；

、可用平差公式，故能用公式法分解因式；

故选：．

7．（2019春•门头沟区期末）下面从左到右的变形，进行因式分解正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、，是整式的乘法运算，故此选项错误；

、，无法运用公式分解因式，故此选项错误；

、，正确；

、，无法运用公式分解因式，故此选项错误；

故选：．

8．（2019春•峄城区期末）下列各式中，能用完全平方公式分解的个数为　　

①：②；③；④；⑤

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：①，故此选项正确；

②，无法运用公式分解因式；

③，无法运用公式分解因式；

④，故此选项正确；

⑤，无法运用公式分解因式；

故选：．

9．（2019春•渠县期末）如果代数式能够分解成的形式，那么的值是　　

A．10 B． C． D．

【解答】解：，

，

故选：．

10．（2019春•杭州期末）下列多项式可以用平方差公式分解因式的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：：两个平方项的符号相同，故本选项错误；

与的符号相反，能用平方差公式分解因式，故本选项正确；

：两个平方项的符号相同，故本选项错误；

不是平方项，故本选项错误．

故选：．

知识点4 提公因式法与公式法的综合

目前，我们已经学习了两种分解因式的方法：提公因式法和公式法. 这两种方法经常需要配合使用，对于一个多项式，有公因式的，需要先提取公因式，然后再使用公式法.

【典例】

1.把多项式x3﹣4x分解因式所得的结果是（　　）

A. x（x2﹣4） B. x（x+4）（x﹣4）  C. x（x+2）（x﹣2）  D. （x+2）（x﹣2）

【答案】C.
【解析】解：观察x3﹣4x，发现公因式是x，先提取公因式x

所以，原式=x（x2﹣4）

因为x2﹣4可以用平方差公式因式分解，

所以，x（x2﹣4）=x（x+2）（x﹣2）．

故选：C

【方法总结】

对一个多项式进行因式分解，如果有公因式的，先提取公因式，再使用公式法因式分解.

2.把多项式4a2b+4ab2+b3因式分解，正确的是（　　）

A. a（2a+b）2  B. b（2a+b）2   C. b（a+2b）2   D. 4b（a+b）2

【答案】B.
【解析】解：4a2b+4ab2+b3

=b（4a2+4ab+b2）

=b（2a+b）2．

故选：B

【方法总结】

对一个多项式进行因式分解，如果有公因式的，先提取公因式，再使用公式法因式分解.

【随堂练习】

1．（2019春•苍南县期末）下列因式分解正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、原式，故本选项错误．

、原式，故本选项错误．

、因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，故本选项错误．

、原式，故本选项正确．

故选：．

2．（2019春•大丰区期末）下列各式分解因式正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、，故此选项错误；

、，正确；

、，不是完全平方公式，故此选项错误；

、，故此选项错误；

故选：．

3．（2019春•宝安区期末）下列多项式中，可以使用平方差公式进行因式分解的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：、，不能进行因式分解；

、，可以使用平方差公式进行因式分解；

、，可以使用提公因式法进行因式分解；

、，可以使用完全平方公式进行因式分解；

故选：．

4．（2019春•重庆期末）下列分解因式正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、原式，错误；

、原式，正确；

、原式，错误；

、原式不能分解，错误，

故选：．

5．（2019•南关区校级一模）把多项式分解因式，结果正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：原式，

故选：．

6．（2019•庐阳区校级一模）下列各式中，不能用公式法分解因式的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，不能用公式法分解因式，

故选：．

7．（2019•泸州）把分解因式，结果正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：原式，

故选：．

8．（2019•富顺县三模）下列分解因式正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、，不能直接运用公式分解因式，故此选项错误；

、，故此选项错误；

、，正确；

、，故此选项错误；

故选：．

9．（2019•株洲）下列各选项中因式分解正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、，故此选项错误；

、，故此选项错误；

、，故此选项错误；

、，正确．

故选：．

10．（2019•潍坊）下列因式分解正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、，故此选项错误；

、，无法分解因式，故此选项错误；

、，无法分解因式，故此选项错误；

、，正确．

故选：．

二．解答题（共2小题）

11．（2019春•海州区期末）将下列各式因式分解

（1）；

（2）．

【解答】解：（1）原式

；

（2）

．

12．（2019春•桥西区期末）因式分解

（1）

（2）

【解答】解：（1），

（2）．

   综合运用

1.因式分解：16x2y﹣xy=           ．

【答案】xy（16x﹣1）．
【解析】解：16x2y﹣xy=xy（16x﹣1）．

故答案为：xy（16x﹣1）．

2.因式分解：mn（n﹣m）﹣n（m﹣n）=             ．

【答案】n（n﹣m）（m+1）
【解析】解：mn（n﹣m）﹣n（m﹣n），

=mn（n﹣m）+n（n﹣m），

=n（n﹣m）（m+1）．

故答案为：n（n﹣m）（m+1）．

3.利用因式分解计算：（﹣2）101+（﹣2）100+299=      ．

【答案】﹣299．
【解析】解：（﹣2）101+（﹣2）100+299

=﹣2101+2100+299

=299（﹣22+2+1）

=﹣299．

故答案为：﹣299．

4.若m﹣n=3，mn=﹣2，则4m2n﹣4mn2+1的值为     ．

【答案】﹣23
【解析】解：原式=4mn（m﹣n）+1

∵m﹣n=3，mn=﹣2，

∴原式=4×（-2）×3+1

=﹣24+1

=﹣23，

故答案为：﹣23

5.分解因式：x2﹣9y2               ．

【答案】（x+3y）（x﹣3y）．
【解析】解：原式=（x+3y）（x﹣3y）．

故答案为：（x+3y）（x﹣3y）．

6.分解因式（a2+1）2﹣4a2，结果正确的是_______.

【答案】（a﹣1）2（a+1）2
【解析】解：（a2+1）2﹣4a2

=（a2+1﹣2a）（a2+1+2a）

=（a﹣1）2（a+1）2．

7.已知m=2n+1，则m2﹣4mn+4n2﹣5的值为    ．

【答案】﹣4
【解析】解：原式m2﹣4mn+4n2﹣5=（m﹣2n）2﹣5

∵m=2n+1，

∴m﹣2n=1，

∴原式=1﹣5=﹣4，

故答案为：﹣4．

8.分解因式：b2﹣12b+36=        ．

【答案】（b﹣6）2
【解析】解：原式=（b﹣6）2，

故答案为：（b﹣6）2

9.分解因式：ax4﹣9ay2=                 ．

【答案】a（x2+3y）（x2﹣3y）
【解析】解：原式=a（x4﹣9y2）

=a（x2+3y）（x2﹣3y），

故答案为：a（x2+3y）（x2﹣3y）

10.把多项式3a3﹣12a2+12a分解因式的结果是          ．

【答案】3a（a﹣2）2
【解析】解：原式=3a（a2﹣4a+4）

=3a（a﹣2）2，

故答案为：3a（a﹣2）2

11.把多项式5a3b﹣10a2b+5ab分解因式的结果是           ．

【答案】5ab（a﹣1）2
【解析】解：原式=5ab（a2﹣2a+1）=5ab（a﹣1）2，

故答案为：5ab（a﹣1）2

12.因式分解：（x2﹣6）2﹣6（x2﹣6）+9.

【答案】
【解析】解：原式=[（x2﹣6）-3] 2

=（x2﹣6﹣3）2

=（x2﹣9）2

=（x+3）2 （x﹣3）2．