初中数学人教版八年级上册13.3.1 等腰三角形同步练习题

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第6讲 等腰三角形

知识点1 等腰三角形的相关概念---分类讨论求边角的值
1.等腰三角形的两个腰相等，两个底角也相等.
2.直角三角形30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
【典例】
1.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，求此三角形的底角.
【解析】解：①如下图，当高在三角形内部时，，
∴∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，

②如下图，当高在三角形外部时，，
则∠BAD=30°，
∴∠BAC=150°，
∴∠ABC=∠ACB=15°，
所以此三角形的底角等于75°或15°．

【方法总结】
本题考查了等腰三角形的性质，以及含特殊角的直角三角形，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系（三角形内部，三角形的外部，三角形的边上），解题时注意需要分类讨论．

2.如果一等腰三角形的周长为27，且两边的差为12，求这个等腰三角形的腰长.
【解析】解：设等腰三角形的腰长为x，则底边长为x﹣12或x+12，
当底边长为x﹣12时，
根据题意，得2x+x﹣12=27，
解得x=13，
∴腰长为13，
此时底边长为13-12=1，
满足三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
当底边长为x+12时，
根据题意，得2x+x+12=27，
解得x=5，
此时底边长为5+12=17，
因为5+5＜17，所以构不成三角形，
故这个等腰三角形的腰的长为13.
【方法总结】
已知等腰三角形的周长和两边之差来求等腰三角形的底或腰时，我们需要分类讨论，分为两种情况：一种是“腰-底=某个值”，第二种是“底-腰=某个值”，可将底或腰设为未知数，再根据等腰三角形的周长列出方程，求出三边以后根据三角形的三边关系进行验证，选择合理的数值.
【随堂练习】
1．（2017秋•北京期末）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，求此等腰三角形的顶角为______．
【解答】解：当为锐角时，如图
∵∠ADE=40°，∠AED=90°，
∴∠A=50°，
当为钝角时，如图
∠ADE=40°，∠DAE=50°，
∴顶角∠BAC=180°﹣50°=130°．
故答案为：50°或130°．



　
2．（2017秋•吴中区期末）已知等腰三角形周长为12，一边长为5，则它另外两边差的绝对值是______．
【解答】解：∵等腰三角形的一边长为5，周长为12，
∴当5为底时，其它两边都为3.5、3.5；
当5为腰时，其它两边为5和2；
∴另外两边差的绝对值是0或3．
故答案为：0或3．
　
3．（2017秋•浉河区期末）如图，在△ABC中，AB=AC=24厘米，BC=16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为_____厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．

【解答】解：设经过x秒后，使△BPD与△CQP全等，
∵AB=AC=24厘米，点D为AB的中点，
∴BD=12厘米，
∵∠ABC=∠ACB，
∴要使△BPD与△CQP全等，必须BD=CP或BP=CP，
即12=16﹣4x或4x=16﹣4x，
解得：x=1或x=2，
x=1时，BP=CQ=4，4÷1=4；
x=2时，BD=CQ=12，12÷2=6；
即点Q的运动速度是4或6，
故答案为：4或6
　
4．（2018春•鼓楼区期末）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和5，那么这个等腰三角形的周长为____．
【解答】解：分情况讨论：
①当三边是2，2，5时，2+2＜5，不符合三角形的三边关系，应舍去；
②当三角形的三边是2，5，5时，符合三角形的三边关系，此时周长是12．
故填12．
　
5．（2017秋•杭州期末）等腰三角形的一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为40°，则这个三角形的底角为______．
【解答】解：解：有两种情况；
（1）如图，当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，

则∠ADB=90°，
已知∠ABD=40°，
∴∠A=90°﹣40°=50°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=×（180°﹣50°）=65°；

（2）如图，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，

则∠FHE=90°，
已知∠HFE=40°，
∴∠HEF=90°﹣40°=50°，
∴∠FEG=180°﹣50°=130°，
∵EF=EG，
∴∠EFG=∠G=×（180°﹣130°）=25°，
故答案为65°或25°；
知识点2 等腰三角形的性质---边角关系
等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”），
即在△ABC，AB=AC，可得∠B=∠C.
【典例】
1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，BE=BC，求∠DCE的大小.

【解析】解：设∠ACE=，∠ECD=，∠DCB=，
∵BC=BE，
∴∠CED=∠ECB=，
∵AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD=，
在△CDB中，∠B= ，
在△ACE中，∠A=，

在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，即=90°，
∴2=90°，
解得=45°．
于是∠DCE=45°．
【方法总结】
本题考查了等腰三角形的性质，解答此题的关键是建立起各角之间的关系，结合图形列出方程进行解答．
2.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40，24，求AB的长.

【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，
∴△ABC的周长﹣△EBC的周长
=（AB+AC+BC）-（AC+BC）
=AB，
∴AB=40﹣24=16．
【方法总结】
本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线上的性质，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得出相等的线段，把三角形的周长表示出来，再利用相等的线段进行转化求解.
【随堂练习】
一．填空题（共1小题）
1．（2017秋•西乡塘区校级月考）如图，△ABC中，AB=AC=CD，BD=AD，求△ABC中各角的度数．

【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵BD=AD，
∴∠B=∠DAB，
∵AC=DC，
∴∠DAC=∠ADC=2∠B，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠B+2∠B=3∠B，
又∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，∠C=36°，∠BAC=108°．
　
2．（2017•长安区校级模拟）如图，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，求∠B的度数．

【解答】解：∵AC=DC=DB，∠ACD=100°，
∴∠CAD=（180°﹣100°）÷2=40°，
∵∠CDB是△ACD的外角，
∴∠CDB=∠A+∠ACD=100°=40°+100°=140°，
∵DC=DB，
∴∠B=（180°﹣140°）÷2=20°．
　
3．（2016秋•岳池县期末）如图所示，在△ABC中，D为AB边上一点，且AD=CD=BC，∠ACB=75°，求∠DCB的度数．

【解答】解：∵AD=CD=BC，
∴∠DCA=∠A，∠B=∠CDB，
设∠DCA=∠A=x，
则∠B=∠CDB=∠A+∠DCA=2x，∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴x+2x+75°=180°，
∴x=35°，
∴∠DCB=∠ACB﹣∠DCB=40°．
　
知识点3 等腰三角形的性质---三线合一
等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.
例：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，

①AD⊥BC ②BD=CD ③AD平分∠BAC,
上述三个条件，任意满足一个，可得到另外两个.
即①②，③；②①，③；③①，②.
【典例】
1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE=∠CAD．
求证：BE⊥AC．

【解析】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠CAD+∠C=90°，
又∵∠CBE=∠CAD，
∴∠CBE+∠C=90°，
∴∠BEC=90°，
即BE⊥AC．
【方法总结】
本题主要是利用等腰三角形的三线合一，根据三线合一的性质可知，等腰三角形底边上的中线也是底边的高线.
注：等腰三角形常作的辅助线是，过顶角的顶点向底边作垂线，再利用三线合一得到一些相等的关系式，当题目中给出等腰三角形底边上的中点时，常常将等腰三角形的顶角顶点和它直接相连.
【随堂练习】
1．（2019春•浦东新区期末）如图在中，，点在上，且，求的度数．

【解答】解：设．
，
，
，
，
，
，
，
在中，
解得：，
．
2．（2018秋•市北区期末）如图，在中，，于点，是的外角的平分线．
（1）求证：；
（2）若平分交于点，判断的形状并说明理由．

【解答】证明：（1），，
．
平分，
．
．



．
（2）是等腰直角三角形，
理由是：，
，
平分，
．
，
是等腰直角三角形．
3．（2018秋•南开区期末）如图所示，中，，在上，在的延长线上，且，连接．求证：．

【解答】证明：如图，过作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．

4．（2018秋•昭通期末）一个等腰三角形的周长为．
（1）已知腰长是底边长的2倍，求各边的长；
（2）已知其中一边的长为．求其它两边的长．
【解答】（1）解：设底边，则，
三角形的周长是，
，
，，
，；
（2）解：①底边长为，则腰长为：，所以另两边的长为，，能构成三角形；
②腰长为，则底边长为：，不能构成三角形．
因此另两边长为，．

5．（2019春•浦东新区期末）已知如图，在中，，是内一点，且，求证：．

【解答】证明：延长交于点，
在和中，
，
，
，
，
．

6．（2018秋•颍上县期末）如图，是等腰三角形，，分别是腰及延长线上的一点，且，连接交底于．求证．

【解答】证明：过作交延长线于．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在与中，，
，
．


知识点4 等腰三角形的判定与性质
1.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.
2.等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.
3. 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.
【典例】
1.如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有_______ 个．

【答案】9
【解析】解：①以AB作为等腰三角形的底边，则符合条件的C一定在线段AB的垂直平分线上，且处于格点上，图中红线上的点，共5个；
②以AB作为等腰三角形的一个腰，
当点A是等腰三角形的顶角顶点时，符合条件的点在紫色线上，共有2个，
当点B是等腰三角形的顶角顶点时，符合条件的点在蓝色线上，共有2个，
综合①②可知，符合条件的点C共有9个.


故答案是：9.
【方法总结】
本题考查的等腰三角形的判定，利用的是数形结合思想，当已知两个格点找寻第三个格点时，需要分类讨论，将这条边作为底和作为腰时可以构建的等腰三角形的个数之和，即为所求的点的个数.
2.如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=_____________s时，△POQ是等腰三角形．

【答案】或10
【解析】解：当PO=QO时，△POQ是等腰三角形；
如图1所示：当P点在O的左侧时，

∵PO=AO﹣AP=10﹣2t，OQ=1t
∴当PO=QO时，
10﹣2t=t
解得t=；
即当t=时，△POQ是等腰三角形；
如图2所示：当P点在O的右侧，△POQ是等腰三角形 ，
∵∠BOC=60° ，
∴△POQ是等边三角形，
∴ PO=QO=PQ


∵PO=AP﹣AO=2t﹣10，OQ=1t；
∴2t﹣10=t；
解得t=10；
故答案为：或10．
【方法总结】
本题主要考查了等腰三角形的性质，由等腰三角形的两个腰相等得出方程是解决问题的关键，注意本题分类讨论时，由于∠POQ=60°，可得出△POQ是等边三角形，再根据PO=QO进行求解．
3.如图，在△ABC中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．
（1）求证：DE=CE．
（2）若∠CDE=35°，求∠A的度数．

【解析】证明：（1）∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD=∠ECD．
∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠BCD，
∴∠EDC=∠ECD，
∴DE=CE．
（2）解：∵∠ECD=∠EDC=35°，
∴∠ACB=2∠ECD=70°．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠A=180°﹣70°﹣70°=40°．

【方法总结】
本题主要考查的是 “平行+角分线” 模型，在之后学习菱形证明题时也会用到，需记牢.
模型如下：如图所示，①∠1=∠2；②AC∥BD;③AB=AC（△ABC是等腰三角形）

上述条件任意两个成立则第三个也成立.
即①②③；①③②；②③①.
【随堂练习】
1．（2019春•兰州期末）如图，在中，与的角平分线相交于点，过点作的平行线，分别交、于点、．若，，，则的周长是　　

A．14 B．15 C．17
【解答】解：平分，
，
又，
，
，
．
同理．
的周长，
故选：．
二．填空题（共4小题）
2．（2019春•渠县期末）如图，在中，平分交于点，过作交于点，若刚好平分，且，则　　．

【解答】解：平分，
，
，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
3．（2019•松北区二模）如图，在中，于，点为边中点，交边于点，，若，，则　5　．

【解答】解：取的中点，连接，如图所示：
则，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
点为边中点，
，
设，则，，，
，
，
，
解得：，
，
；
故答案为：5．

4．（2019•九江模拟）如图，已知中，，，若沿射线方向平移个单位得到，顶点，，分别与，，对应，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则的值是　5或8或　．

【解答】解：分3种情况讨论：
①当时，如图1，过作于，
，，
，
由平移得：，，
四边形是平行四边形，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
②当时，如图2，
同理得：四边形是平行四边形，
，
即；
③当时，如图3，此时与重合，
；
综上所述：当或5或8时，是等腰三角形．
故答案为：或5或8．



5．（2019•市中区一模）在一次夏令营活动中，小明同学从营地出发，要到地的北偏东方向的处，他先沿正东方向走了到达地，再沿北偏东方向走，恰能到达目的地（如图），那么，由此可知，、两地相距　200　 ．

【解答】解：在的正东方，在地的北偏东方向，
，
在地的北偏东方向，
，
，
，
．
故答案为：200．
三．解答题（共6小题）
6．（2018秋•牡丹江期末）如图，在中，，，是的垂直平分线．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）的周长是，，求的周长（用含，的代数式表示）

【解答】（1）证明：，，
，
是的垂直平分线，
，
，
是的外角，
，
，
，
是等腰三角形；
（2），的周长是，
，
，
，
的周长．
7．（2019春•潜江期末）如图，已知，，平分，平分，．求证：．

【解答】证明：，
． 两直线平行，同位角相等）
平分，平分，
，． 角平分线的定义）
．
． 同位角相等，两直线平行）
．（两直线平行，内错角相等）
，
，即． 垂直的定义）

8．（2019春•杭州期末）如图，在三角形中，，，分别是，，上的点，且．
（1）若，试判断与是否垂直，并说明理由；
（2）若平分，，求的度数．

【解答】解：（1）结论：．
理由：，
，
，
，
，
，
．

（2）平分，
，
，
，
，
，
，
，
．
9．（2019•攀枝花）如图，在中，是边上的高，是边上的中线，且．求证：
（1）点在的垂直平分线上；
（2）．

【解答】解：（1）连接，
是边上的高，
，
是边上的中线，
，
，
，
，
点在的垂直平分线上；
（2），
，
，
，
，
，
，
．

10．（2018秋•简阳市 期末）如图，中，为的中点，平分，平分，，，为与的交点，证明：．

【解答】证明：平分，平分，
，
，，
，
，，
，
，
是中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，同法可证：，
．
11．（2018秋•顺义区期末）已知：如图，在中，平分，于点，交于点．求证：是等腰三角形．

【解答】证明：如图，

平分，
，
，
，
，
于点，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．

综合运用
1. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC=1.5，则满足条件的格点C有________个.

【答案】2
【解析】解：如上图：分情况讨论．

①AB为等腰△ABC底边时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个．
因为S△ABC=1.5，
所以满足条件的格点C只有两个，如图中蓝色的点．
故答案为：2．
2.如图，C是△ABE的BE边上一点，F在AE上，D是BC的中点，且AB=AC=CE，下列结论：
①AD⊥BC；②CF⊥AE；③∠1=∠2；④AB+BD=DE
其中正确的结论有_________．

【答案】①④
【解析】解：①∵D是BC的中点，AB=AC，
∴AD⊥BC，故①正确；
②∵虽然AC=CE，F在AE上，但F点不一定是AE的中点，
∴无法证明CF⊥AE，故②错误；
③由②可知，CF不一定垂直于AE，则无法证明∠1=∠2，故③错误；
④∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
∵AB=CE，
∴AB+BD=CE+DC=DE，故④正确．
故其中正确的结论有①④．
故答案为：①④．
3.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE=AF，求证：DE=DF．

【解析】证明：连接AD，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠EAD=∠FAD，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED△AFD（SAS），
∴DE=DF．


4.如图，AD∥BC，∠BAC=70°，DE⊥AC于点E，∠D=20°．
（1）求∠B的度数，并判断△ABC的形状；
（2）若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是∠ABC的平分线．

【解析】解：（1）∵DE⊥AC于点E，
∴∠AED=90°，
∵∠D=20°，
∴∠CAD=90°-∠D =90°-20°=70°，
∵AD∥BC，
∴∠C=∠CAD=70°，
∵∠BAC=70°，
∴∠BAC=∠C，∠B=180°-∠BAC- ∠C =40°，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形.
（2）∵延长线段DE恰好过点B，DE⊥AC，
∴BD⊥AC，
∵△ABC是等腰三角形，
∴DB是∠ABC的平分线．
5.已知等腰三角形△ABC，AB=AC，一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和15两部分，求这个三角形的三边长．

【解析】解：如图，在△ABC中，AB=AC，且AD=BD．设AB=AC=x，BC=y，

（1）当AC+AD=15，BD+BC=12时，
根据题意得，，，
解得x=10，y=7．
（2）当AC+AD=12，BC+BD=15时，
根据题意得，，，
解得x=8，y=11，
故得这个三角形的三边长分别为10，10，7或8，8，11．
6.如图，O是△ABC的∠ABC，∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC=16，求△ODE的周长.

【解析】解：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠DBO，
又OD∥AB，
∴∠ABO=∠DOB，
∴∠DBO=∠DOB，
∴OD=BD，
同理OE=CE，
∵BC=16，
则△ODE的周长为： OD+DE+OE=BD+DE+EC=BC=16．