高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）综合训练题

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一、单调性定义的等价形式
（1）函数在区间上是增函数:
任取，且，都有；
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，.
（2）函数在区间上是减函数:
任取，且，都有；
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，.
二、定义法判断函数奇偶性
判断与的关系时，也可以使用如下结论：
如果或，则函数为偶函数；
如果或，则函数为奇函数．
三、利用单调性、奇偶性解不等式原理
1、解型不等式
（1）利用函数的单调性，去掉函数符号“”，将“抽象”的不等式问题转化为“具体”的不等式问题求解；
（2）若不等式一边没有函数符号“”，而是常数（如），那么我们应该将常数转化带有函数符号“”的函数值再解。
2、为奇函数，形如的不等式的解法
第一步：将移到不等式的右边，得到；
第二步：根据为奇函数，得到；
第三步：利用函数的单调性，去掉函数符号“”，列出不等式求解。
题型一 根据简单抽象函数的单调性解不等式
【例1】设函数是R上的减函数，若，则实数m的取值范围是____.
【答案】
【解析】因为函数是上的减函数，
则等价于，
即，即，解得，即；
【变式1-1】已知在定义域（–2，2）上是增函数，且，求的取值范围__________.
【答案】
【解析】因为是定义在的增函数，，
所以，解得，
所以的取值范围为.
【变式1-2】已知f(x)是定义在上的单调递增函数，且，则满足的x的取值范围是_______.
【答案】x＜
【解析】因为，所以和化为，
又因为f(x)是定义在上的单调递增函数，
所以，解得.
【变式1-3】已知函数的定义域，，且，．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得是定义在上的增函数，
由，得解得．
所以的取值范围为，选项A正确，故选：A.
【变式1-4】已知定义在上的函数，对，且，总有，且函数的图像经过点，若，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】因为对，且总有，
所以在上是增函数．
又的图像经过点，即，
所以等价于，
所以即，即的取值范围
【变式1-5】已知函数定义域为R，满足，且对任意，均有，则不等式解集为______．
【答案】
【解析】因为函数满足，
所以函数关于直线对称，
因为对任意，均有成立，
所以函数在上单调递增．
由对称性可知在上单调递减．
因为，即，
所以，即，
解得或．
故答案为：
【变式1-6】已知函数是定义在上的奇函数，若对任意给定的实数，，恒立，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由整理得，
时，时，所以在上单调递减，
是上的奇函数可知，，
且，或，
由得，或，
所以，
则不等式的解集是.故选：A.
题型二 根据简单抽象函数的单调性与奇偶性解不等式
【例2】定义在（-1，1）上的奇函数为减函数，且，求实数a的取值范围.
【答案】
【解析】由题即
根据奇函数定义可知原不等式为
又因为单调递减函数，故，解得或
又因为函数定义域为故，解得,
所以
综上得的范围为.
【变式2-1】偶函数在区间上单调递增，则不等式的解集为______
【答案】
【解析】因为偶函数在区间上单调递增，
所以，即，，解得.
故该不等式的解集为.
【变式2-2】已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是____．
【答案】
【解析】因为是奇函数，且，所以．
因为，所以．
因为函数在上单调递减，
所以函数在上单调递减．
因为，
所以，则．
【变式2-3】已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减．若实数满足，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】为上的偶函数，且在区间上单调递减，
在上单调递增；
，，
即，，即或，
解得：或，即实数的取值范围为.
【变式2-4】（多选）已知偶函数，有，时，成立，则对任意的恒成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】当时，成立，
则函数在为单调递减函数，又函数为偶函数，
则函数在上单调递增函数，
对任意的恒成立，
所以，
当时，不等式恒成立，
当时，，
又，
当且仅当时取等号，
则，即，解得，
由必要不充分条件的概念可知选项A、D正确，选项B、C错误.
故选：AD
【变式2-5】设偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是_____．
【答案】
【解析】因为是偶函数，所以等价于，
又在上单调递减，所以在上单调递增．
由得，或，
又，所以，
由得，由得，
故解集为.
题型三 根据复杂抽象函数的单调性解不等式
【例3】已知是定义在上的减函数，且对任意，都有，则不等式f（x-2）>的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，满足，
则，
则，
又由是定义在上的减函数，
则有，解可得，
即不等式的解集为.故选：B.
【变式3-1】已知定义在上的函数为增函数，且满足，.
（1）求和的值；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1），
又，
（2），
因为函数在上为增函数，
所以，
不等式的解集为
【变式3-2】已知是定义在上的减函数，若对于任意，均有，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令时，，
由，
因为是定义在上的减函数，
所以有，故选：D
【变式3-3】定义在上的函数满足下面三个条件：
① 对任意正数，都有；② 当时，；③
（1）求和的值；
（2）试用单调性定义证明：函数在上是减函数；
（3）求满足的的取值集合．
【答案】（1）,；（2）证明见解析；（3）
【解析】（1）令得：，则，
而，
且，则；
（2）取定义域中的任意的，，且，，
当时，，，
，
在上为减函数．
（3）由条件①及（1）的结果得，，
，
，，解得，
故的取值集合为.
题型四 根据单调性定义构造函数解不等式
【例4】定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为_________．
【答案】
【解析】设，由已知式变形为，
所以在上是减函数，
又．所
以不等式化为，
又，所以．
【变式4-1】定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，不妨设，
故，即，
令，则，
故在上单调递减，，
不等式两边同除以得：，
因为，所以，即，
根据在上单调递减，故，
综上：故选：B
【变式4-2】已知函数.若对于任意，都有，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，则，
所以，即，
因为时等价于，
即.
令，则在上单调递减，
所以或，解得或，即.故选：A
【变式4-3】设函数，对于任意正数，都．已知函数的图象关于点成中心对称，若，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数的图象关于点成中心对称，
故函数的图象关于点成中心对称，记是奇函数.
记所以是偶函数，
对于任意正数，都，即，
所以在 单调递增，且，是偶函数，
故在 单调递减，且
当时，，
当时，，
故的解集为，故选：B
【变式4-4】已知定义在上的函数满足，均有，则不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】因为定义在上的函数满足，
所以设，则，
所以为奇函数，
因为，都有，
当时，则有，即，
所以，
所以在上单调递增，
当时，则有，所以，
所以在上单调递增，
综上：在上单调递增，
因为为奇函数，则在R上单调递增，
变形为：，
即，
所以，解得：.
故答案为：
【变式4-5】设函数的定义域为，对于任意的，当，有，若，则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】因为，
所以，
即
又，所以
令，因为对于任意的，，
所以在上单调递增，
又，，由有：
即，由函数的单调性有： .
则不等式的解集为：.
题型五 根据简单具体函数的单调性解不等式
【例5】已知函数的定义域为，则不等式的解集为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，可知在上单调递减，
所以不等式成立，即
，故选：C.
【变式5-1】已知函数，若则实数的取值范围是____．
【答案】
【解析】由题意可知，函数在上单调递增，
则，
即且，即且，
解得且或，即.
【变式5-2】已知函数，若，则实数的取值范围是___.
【答案】
【解析】和在上都是单调递减，
在上单调递减，
由，可得，解得，即．
【变式5-3】已知函数，则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】因为定义域为，且，即为奇函数，
又与在定义域上单调递增，
所以函数在上单调递增，
则不等式等价为，
即，解得，即不等式的解集为.
题型六 根据复杂具体函数的单调性解不等式
【例6】已知函数，则使得成立的的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由且，
所以为偶函数，
若时，
，
而，
所以，故在上递增，则上递减，
要使成立，即，可得.
【变式6-1】已知函数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数满足，且定义域为R，
所以函数为偶函数，且当时，函数单调递增，
故可以变为，即，
当时，；
当时，可得．
又，当且仅当时取等号，
所以，解得，故选：B．
【变式6-2】已知函数，则关于不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则函数的定义域为，
，即函数为奇函数，
因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，
设，，，则，
故函数的定义域为，
且，
所以，，则函数为上的奇函数，
当时，由于内层函数为增函数，外层函数为增函数，
所以，函数在上为增函数，
由奇函数的性质可知，函数在上也为增函数，
因为函数在上连续，故函数在上为增函数，
令，则函数在上为增函数，
且，即函数为奇函数，
由可得，即，
所以，，解得.
因此，不等式的解集为，故选：C.
【变式6-3】已知是奇函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵是奇函数，∴即恒成立，
即，
则，解得，
又∵，∴，则，
所以，
，是奇函数，
因为在是单调递减函数，
在是单调递增函数，
由复合函数的单调性性判断得，函数在上单调递减，
又为奇函数，所以在上单调递减；
由恒成立得，
可得恒成立，
则，即恒成立，
所以恒成立，解得，故选：B.
【变式6-4】已知函数，若存在，使得成立，则t的取值范围为_____．
【答案】
【解析】，且定义域为，
为奇函数，易知单调递增
令，显然为增函数，
，，
存在，使得成立
，即.