高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.4 函数的应用（一）同步训练题

函数专题：利用函数单调性与奇偶性解不等式的6种常见考法

一、单调性定义的等价形式

（1）函数在区间上是增函数:

任取，且，都有；

任取，且，；

任取，且，；

任取，且，.

（2）函数在区间上是减函数:

任取，且，都有；

任取，且，；

任取，且，；

任取，且，.

二、定义法判断函数奇偶性

判断与的关系时，也可以使用如下结论：

如果或，则函数为偶函数；

如果或，则函数为奇函数．

三、利用单调性、奇偶性解不等式原理

1、解型不等式

（1）利用函数的单调性，去掉函数符号“”，将“抽象”的不等式问题转化为“具体”的不等式问题求解；

（2）若不等式一边没有函数符号“”，而是常数（如），那么我们应该将常数转化带有函数符号“”的函数值再解。

2、为奇函数，形如的不等式的解法

第一步：将移到不等式的右边，得到；

第二步：根据为奇函数，得到；

第三步：利用函数的单调性，去掉函数符号“”，列出不等式求解。

题型一 根据简单抽象函数的单调性解不等式

【例1】设函数是R上的减函数，若，则实数m的取值范围是____.

【答案】

【解析】因为函数是上的减函数，

则等价于，

即，即，解得，即；

【变式1-1】已知在定义域（–2，2）上是增函数，且，求的取值范围__________.

【答案】

【解析】因为是定义在的增函数，，

所以，解得，

所以的取值范围为.

【变式1-2】已知f(x)是定义在上的单调递增函数，且，则满足的x的取值范围是_______.

【答案】x＜

【解析】因为，所以和化为，

又因为f(x)是定义在上的单调递增函数，

所以，解得.

【变式1-3】已知函数的定义域，，且，．若，则的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】A

【解析】由题意得是定义在上的增函数，

由，得解得．

所以的取值范围为，选项A正确，故选：A.

【变式1-4】已知定义在上的函数，对，且，总有，且函数的图像经过点，若，则的取值范围是______．

【答案】

【解析】因为对，且总有，

所以在上是增函数．

又的图像经过点，即，

所以等价于，

所以即，即的取值范围

【变式1-5】已知函数定义域为R，满足，且对任意，均有，则不等式解集为______．

【答案】

【解析】因为函数满足，

所以函数关于直线对称，

因为对任意，均有成立，

所以函数在上单调递增．

由对称性可知在上单调递减．

因为，即，

所以，即，

解得或．

故答案为：

【变式1-6】已知函数是定义在上的奇函数，若对任意给定的实数，，恒立，则不等式的解集是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】A

【解析】由整理得，

时，时，所以在上单调递减，

是上的奇函数可知，，

且，或，

由得，或，

所以，

则不等式的解集是.故选：A.

题型二 根据简单抽象函数的单调性与奇偶性解不等式

【例2】定义在（-1，1）上的奇函数为减函数，且，求实数a的取值范围.

【答案】

【解析】由题即

根据奇函数定义可知原不等式为

又因为单调递减函数，故，解得或

又因为函数定义域为故，解得,

所以

综上得的范围为.

【变式2-1】偶函数在区间上单调递增，则不等式的解集为______

【答案】

【解析】因为偶函数在区间上单调递增，

所以，即，，解得.

故该不等式的解集为.

【变式2-2】已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是____．

【答案】

【解析】因为是奇函数，且，所以．

因为，所以．

因为函数在上单调递减，

所以函数在上单调递减．

因为，

所以，则．

【变式2-3】已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减．若实数满足，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】为上的偶函数，且在区间上单调递减，

在上单调递增；

，，

即，，即或，

解得：或，即实数的取值范围为.

【变式2-4】（多选）已知偶函数，有，时，成立，则对任意的恒成立的一个必要不充分条件是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】AD

【解析】当时，成立，

则函数在为单调递减函数，又函数为偶函数，

则函数在上单调递增函数，

对任意的恒成立，

所以，

当时，不等式恒成立，

当时，，

又，

当且仅当时取等号，

则，即，解得，

由必要不充分条件的概念可知选项A、D正确，选项B、C错误.

故选：AD

【变式2-5】设偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是_____．

【答案】

【解析】因为是偶函数，所以等价于，

又在上单调递减，所以在上单调递增．

由得，或，

又，所以，

由得，由得，

故解集为.

题型三 根据复杂抽象函数的单调性解不等式

【例3】已知是定义在上的减函数，且对任意，都有，则不等式f（x-2）>的解集为（    ）

A．        B．      C．        D．

【答案】B

【解析】根据题意，满足，

则，

则，

又由是定义在上的减函数，

则有，解可得，

即不等式的解集为.故选：B.

【变式3-1】已知定义在上的函数为增函数，且满足，.

（1）求和的值；

（2）解关于的不等式.

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1），

又，

（2），

因为函数在上为增函数，

所以，

不等式的解集为

【变式3-2】已知是定义在上的减函数，若对于任意，均有，，则不等式的解集为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】令时，，

由，

因为是定义在上的减函数，

所以有，故选：D

【变式3-3】定义在上的函数满足下面三个条件：

① 对任意正数，都有；② 当时，；③

（1）求和的值；

（2）试用单调性定义证明：函数在上是减函数；

（3）求满足的的取值集合．

【答案】（1）,；（2）证明见解析；（3）

【解析】（1）令得：，则，

而，

且，则；

（2）取定义域中的任意的，，且，，

当时，，，

，

在上为减函数．

（3）由条件①及（1）的结果得，，

，

，，解得，

故的取值集合为.

题型四 根据单调性定义构造函数解不等式

【例4】定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为_________．

【答案】

【解析】设，由已知式变形为，

所以在上是减函数，

又．所

以不等式化为，

又，所以．

【变式4-1】定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（    ）

A．        B．       C．        D．

【答案】B

【解析】，不妨设，

故，即，

令，则，

故在上单调递减，，

不等式两边同除以得：，

因为，所以，即，

根据在上单调递减，故，

综上：故选：B

【变式4-2】已知函数.若对于任意，都有，则a的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】A

【解析】令，则，

所以，即，

因为时等价于，

即.

令，则在上单调递减，

所以或，解得或，即.故选：A

【变式4-3】设函数，对于任意正数，都．已知函数的图象关于点成中心对称，若，则的解集为（    ）

A．      B．      C．      D．

【答案】B

【解析】函数的图象关于点成中心对称，

故函数的图象关于点成中心对称，记是奇函数.

记所以是偶函数，

对于任意正数，都，即，

所以在 单调递增，且，是偶函数，

故在 单调递减，且

当时，，

当时，，

故的解集为，故选：B

【变式4-4】已知定义在上的函数满足，均有，则不等式的解集为___________.

【答案】

【解析】因为定义在上的函数满足，

所以设，则，

所以为奇函数，

因为，都有，

当时，则有，即，

所以，

所以在上单调递增，

当时，则有，所以，

所以在上单调递增，

综上：在上单调递增，

因为为奇函数，则在R上单调递增，

变形为：，

即，

所以，解得：.

故答案为：

【变式4-5】设函数的定义域为，对于任意的，当，有，若，则不等式的解集为__________.

【答案】

【解析】因为，

所以，

即

又，所以

令，因为对于任意的，，

所以在上单调递增，

又，，由有：

即，由函数的单调性有： .

则不等式的解集为：.

题型五 根据简单具体函数的单调性解不等式

【例5】已知函数的定义域为，则不等式的解集为 （    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】因为，可知在上单调递减，

所以不等式成立，即

，故选：C.

【变式5-1】已知函数，若则实数的取值范围是____．

【答案】

【解析】由题意可知，函数在上单调递增，

则，

即且，即且，

解得且或，即.

【变式5-2】已知函数，若，则实数的取值范围是___.

【答案】

【解析】和在上都是单调递减，

在上单调递减，

由，可得，解得，即．

【变式5-3】已知函数，则不等式的解集为______.

【答案】

【解析】因为定义域为，且，即为奇函数，

又与在定义域上单调递增，

所以函数在上单调递增，

则不等式等价为，

即，解得，即不等式的解集为.

题型六 根据复杂具体函数的单调性解不等式

【例6】已知函数，则使得成立的的取值范围是__________.

【答案】

【解析】由且，

所以为偶函数，

若时，

，

而，

所以，故在上递增，则上递减，

要使成立，即，可得.

【变式6-1】已知函数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】因为函数满足，且定义域为R，

所以函数为偶函数，且当时，函数单调递增，

故可以变为，即，

当时，；

当时，可得．

又，当且仅当时取等号，

所以，解得，故选：B．

【变式6-2】已知函数，则关于不等式的解集为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】设，则函数的定义域为，

，即函数为奇函数，

因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，

设，，，则，

故函数的定义域为，

且，

所以，，则函数为上的奇函数，

当时，由于内层函数为增函数，外层函数为增函数，

所以，函数在上为增函数，

由奇函数的性质可知，函数在上也为增函数，

因为函数在上连续，故函数在上为增函数，

令，则函数在上为增函数，

且，即函数为奇函数，

由可得，即，

所以，，解得.

因此，不等式的解集为，故选：C.

【变式6-3】已知是奇函数，若恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】∵是奇函数，∴即恒成立，

即，

则，解得，

又∵，∴，则，

所以，

，是奇函数，

因为在是单调递减函数，

在是单调递增函数，

由复合函数的单调性性判断得，函数在上单调递减，

又为奇函数，所以在上单调递减；

由恒成立得，

可得恒成立，

则，即恒成立，

所以恒成立，解得，故选：B.

【变式6-4】已知函数，若存在，使得成立，则t的取值范围为_____．

【答案】

【解析】，且定义域为，

为奇函数，易知单调递增

令，显然为增函数，

，，

存在，使得成立

，即.