高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式课时训练

函数专题：利用函数单调性与奇偶性解不等式的6种常见考法

一、单调性定义的等价形式

（1）函数在区间上是增函数:

任取，且，都有；

任取，且，；

任取，且，；

任取，且，.

（2）函数在区间上是减函数:

任取，且，都有；

任取，且，；

任取，且，；

任取，且，.

二、定义法判断函数奇偶性

判断与的关系时，也可以使用如下结论：

如果或，则函数为偶函数；

如果或，则函数为奇函数．

三、利用单调性、奇偶性解不等式原理

1、解型不等式

（1）利用函数的单调性，去掉函数符号“”，将“抽象”的不等式问题转化为“具体”的不等式问题求解；

（2）若不等式一边没有函数符号“”，而是常数（如），那么我们应该将常数转化带有函数符号“”的函数值再解。

2、为奇函数，形如的不等式的解法

第一步：将移到不等式的右边，得到；

第二步：根据为奇函数，得到；

第三步：利用函数的单调性，去掉函数符号“”，列出不等式求解。

题型一 根据简单抽象函数的单调性解不等式

【例1】设函数是R上的减函数，若，则实数m的取值范围是____.

【变式1-1】已知在定义域（–2，2）上是增函数，且，求的取值范围__________.

【变式1-2】已知f(x)是定义在上的单调递增函数，且，则满足的x的取值范围是_______.

【变式1-3】已知函数的定义域，，且，．若，则的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式1-4】已知定义在上的函数，对，且，总有，且函数的图像经过点，若，则的取值范围是______．

【变式1-5】已知函数定义域为R，满足，且对任意，均有，则不等式解集为______．

【变式1-6】已知函数是定义在上的奇函数，若对任意给定的实数，，恒立，则不等式的解集是（    ）

A．        B．        C．        D．

题型二 根据简单抽象函数的单调性与奇偶性解不等式

【例2】定义在（-1，1）上的奇函数为减函数，且，求实数a的取值范围.

【变式2-1】偶函数在区间上单调递增，则不等式的解集为______

【变式2-2】已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是____．

【变式2-3】已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减．若实数满足，则实数的取值范围是______．

【变式2-4】（多选）已知偶函数，有，时，成立，则对任意的恒成立的一个必要不充分条件是（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式2-5】设偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是_____．

题型三 根据复杂抽象函数的单调性解不等式

【例3】已知是定义在上的减函数，且对任意，都有，则不等式f（x-2）>的解集为（    ）

A．        B．      C．        D．

【变式3-1】已知定义在上的函数为增函数，且满足，.

（1）求和的值；

（2）解关于的不等式.

【变式3-2】已知是定义在上的减函数，若对于任意，均有，，则不等式的解集为（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式3-3】定义在上的函数满足下面三个条件：

① 对任意正数，都有；② 当时，；③

（1）求和的值；

（2）试用单调性定义证明：函数在上是减函数；

（3）求满足的的取值集合．

题型四 根据单调性定义构造函数解不等式

【例4】定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为_________．

【变式4-1】定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（    ）

A．        B．       C．        D．

【变式4-2】已知函数.若对于任意，都有，则a的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式4-3】设函数，对于任意正数，都．已知函数的图象关于点成中心对称，若，则的解集为（    ）

A．      B．      C．      D．

【变式4-4】已知定义在上的函数满足，均有，则不等式的解集为___________.

【变式4-5】设函数的定义域为，对于任意的，当，有，若，则不等式的解集为__________.

题型五 根据简单具体函数的单调性解不等式

【例5】已知函数的定义域为，则不等式的解集为 （    ）

A．        B．        C．        D．

【变式5-1】已知函数，若则实数的取值范围是____．

【变式5-2】已知函数，若，则实数的取值范围是___.

【变式5-3】已知函数，则不等式的解集为______.

题型六 根据复杂具体函数的单调性解不等式

【例6】已知函数，则使得成立的的取值范围是__________.

【变式6-1】已知函数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式6-2】已知函数，则关于不等式的解集为（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式6-3】已知是奇函数，若恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式6-4】已知函数，若存在，使得成立，则t的取值范围为_____．