高中人教A版 (2019)5.3 诱导公式精品一课一练

5.3 诱导公式

一、诱导公式

1、诱导公式（一~六）

诱导公式一：，，，其中

诱导公式二： ，，，其中

诱导公式三： ，，，其中

诱导公式四：，，，其中

诱导公式五：，，其中

诱导公式六：，，其中

2、诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，

意思是说角(为常整数)的三角函数值：

当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；

当为偶数时，函数名不变，

然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号.

3、用诱导公式进行化简时的注意点：

（1）化简后项数尽可能的少；

（2）函数的种类尽可能的少；

（3）分母不含三角函数的符号；

（4）能求值的一定要求值；

（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．

二、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤

1、“负化正”：用公式一或三来转化．

2、“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．

3、“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．

4、“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．

三、利用诱导公式求值与求解解题策略

1、条件求值问题的策略

（1）条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．

（2）将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．

2、给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．

3、观察互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．

题型一 利用诱导公式给角求值

【例1】的值等于（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】.故选:C.

【变式1-1】（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】故选：B．

【变式1-2】计算：______.

【答案】

【解析】原式.

故答案为：.

【变式1-3】计算：___________.

【答案】0

【解析】

故答案为：0

题型二 利用诱导公式给值求值

【例2】若且是第二象限角，则（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】由，得，

又由为第二象限角，所以．故选：B.

【变式2-1】设，若则（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】因为，，

所以.故选：C.

【变式2-2】若，则（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】A

【解析】∵，∴，

∴.故选：A.

【变式2-3】设，则（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】因为，，

，

所以.故选：C.

【变式2-4】已知，则（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】.故选：B.

题型三 利用互余互补关系求值

【例3】已知，则（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】∵，

∴.故选:D．

【变式3-1】已知，则的值为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】A

【解析】，故选：A.

【变式3-2】若则（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】因为，

所以，故选：B.

【变式3-3】已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin的值是________.

【答案】0

【解析】∵，

，

.

故答案为：0.

【变式3-4】已知函数.

（1）化简；

（2）若，求的值.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）

（2）因为，

所以，

，

故.

题型四 利用诱导公式化简求值

【例4】化简的结果为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】，，故选：C

【变式4-1】（多选）已知角满足，则的取值可能为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】AC

【解析】因为，则且，

当为奇数时，原式；

当为偶数时，原式.

故原式的取值可能为、.故选：AC.

【变式4-2】已知是第四象限角，且，则___________.

【答案】

【解析】由题设，，

.

故答案为：

【变式4-3】（1）化简：

（2）已知（n∈Z），求＋＋＋…＋的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）原式；

（2）因为，所以函数的周期为6，

，，，

，，；

由于，

所以＋＋＋…＋.

【变式4-4】已知.

（1）化简；

（2）若，求的值.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）由题意得：

（2）∵，∴.

∴为第一或第二象限角，

∴，

∴

题型五 三角恒等式的证明

【例5】已知、、为的三个内角，求证：

【答案】证明见解析

【解析】证明：在中，，则.

所以，，

故原等式得证.

【变式5-1】（1）求证：；

（2）设，求证.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）左边=

=右边，

所以原等式成立.

（2）方法1：左边==

==右边，

所以原等式成立.

方法2：由，得，

所以，等式左边==

==右边，等式成立.

【变式5-2】求证：＝．

【答案】证明见解析

【解析】左边

.

右边.

∴左边＝右边，故原等式成立．

【变式5-3】证明：，．

【答案】证明见解析

【解析】证明：当n为偶数时，令，，

左边．

右边，∴左边=右边．

当n为奇数时，令，，

左边

．

右边，∴左边=右边．

综上所述，，成立．