高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第二章 圆锥曲线3 抛物线3.2 抛物线的简单几何性质同步练习题

【精挑】3.2 抛物线的简单几何性质-1作业练习

一．填空题

1．设定点，点P是抛物线上任意一点，当的值最小时，点P的坐标为___________.

2．已知动点P到定点的距离等于它到定直线的距离，则点P的轨迹方程为___.

3．已知直线l过抛物线y2＝8x的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点C．若点F是AC的中点，则线段BC的长为_____.

4．已知抛物线：的焦点为，是抛物线上一点，过点向抛物线的准线引垂线，垂足为，若为等边三角形，则______.

5．已知抛物线的焦点为，定点.若抛物线上存在一点，使最小，则最小值是______.

6．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P是抛物线C上一点，过点P作l的垂线，垂足为A，准线l与x轴的交点设为B，若，且的面积为，则以为直径的圆的标准方程为______．

7．点，点在曲线上，则的最小值为_________．

8．已知抛物线在第一象限内的部分上一点到抛物线焦点的距离为4，若为抛物线准线上任意一点，则的周长最小值为______．

9．过点，顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线的标准方程为______________．

10．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于．两点，且，若是直线上的一个动点，，则的最小值为_______.

11．抛物线上点与点距离的最小值为______．

12．已知抛物线方程为，则其焦点坐标为_______________；

13．已知点P在抛物线上，则点P到点的距离与点P到抛物线焦点的距离之和的最小值为__________

14．过抛物线的焦点且倾斜角为60的直线与抛物线在第一．四象限分别交于，两点，则的值等于______．

15．某桥的桥洞呈抛物线形(如图)，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面高度约为___________米（精确到0. 1米）

16．已知点P在拋物线上,且点P到y轴的距离6,则点P到焦点的距离为________.

17．设F为抛物线：的焦点，经过点(1，0)的直线与抛物线交于，两点，且，则______.

18．已知抛物线，则它的焦点坐标为________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：过点作抛物线准线的垂线，垂足为，结合抛物线的定义，将问题转化为求的最小值，进而根据三点共线取得最小值求解即可.

详解：解：过点作抛物线准线的垂线，垂足为，

由抛物线的定义得：，

故，

所以当的值最小时，即取最小值，

由三点共线可知当三点共线时，取最小值，最小值为，

此时点的纵坐标为，故代入得，

所以当的值最小时，点的坐标为.

故答案为：

【点睛】

本题考查抛物线的定义求最值问题，解题的关键在于利用抛物线的定义，将问题转化为求的最小值，最终落实到三点共线求解即可.

2．【答案】

【解析】分析：根据抛物线的定义，即可得出结果.

详解：因为动点到定点的距离等于它到定直线的距离，

由抛物线的定义，可得点的轨迹是以为焦点，以及为准线的抛物线，

设抛物线方程为：，则，

即所求轨迹方程为：.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查由定义求抛物线方程，属于基础题型.

3．【答案】；

【解析】分析：由抛物线的方程可得焦点的坐标及准线方程，再由是的中点可得的坐标，求出的方程，求出的坐标进而求出的长度

详解：解

由题意可得抛物线的焦点坐标为，准线方程为，

设直线的方程为，作，，垂直于准线分别于，，，

由为的中点，所以，即的横坐标，所以，代入抛物线的方程为，

所以，所以直线的方程

联立直线与抛物线的方程：，整理可得，

所以，可得，则，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的综合，属于中档题，

4．【答案】

【解析】分析：求出抛物线的焦点坐标，推出的坐标，再由抛物线的定义，结合等边三角形的性质，得出方程，求得的值.

详解：由题意，抛物线：的焦点为，准线方程，

因为是抛物线上一点，则，

由题意可得，

因为为等边三角形，则有,

即有，解得.

故答案为：.

【点睛】

与抛物线的焦点有关问题的解题策略：

5．【答案】

【解析】分析：利用抛物线的定义，的最小值为点A到准线的距离求解.

详解：如图所示：

设P为抛物线上任意一点，过P作准线的垂线，过A作准线的垂线，

由抛物线的定义得：,

所以抛物线上存在一点，使得最小，最小值是

故答案为：

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义的应用，还考查数形结合的思想方法，属于基础题.

6．【答案】

【解析】分析：由题意结合平面几何的知识及抛物线的定义可得．，进而可得抛物线方程及点，再由点P的坐标可得圆的圆心，即可得解.

详解：由题意作出图形如图所示：

因为，故，

由抛物线的定义可知，故为等边三角形，

因为的面积为，故，

所以，所以抛物线方程为，点，

所以点P的横坐标为，代入中，解得，

所以点，所以所求圆的圆心为，半径为，

故所求圆的标准方程为．

故答案为：.

【点睛】

本题考查了抛物线性质的应用及圆的标准方程的求解，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.

7．【答案】

【解析】分析：设，利用两点间的距离公式可得，，即可求解.

详解：设，，，

∴当时，，.

故答案为：

8．【答案】

【解析】分析：利用抛物线的定义由求得抛物线方程，进而得到准线方程，焦点坐标，，然后作出点A关于准线的对称点求解.

详解：因为抛物线上的点到抛物线焦点的距离为4，

由抛物线的定义得；，解得，

所以抛物线方程为，准线方程为，焦点坐标为，，

如图所示：

点A关于准线的对称点，则AP+PF的最小值为，

所以的周长最小值为

故答案为：

9．【答案】

【解析】分析：设出抛物线方程，再把代入即可获解.

详解：设过点，顶点在原点，焦点在轴上的抛物线标准方程为

把代入，得: 解得

所以抛物线的标准方程为

故答案为：.

10．【答案】

【解析】分析：本题首先可设出直线的方程为，然后联立直线方程与抛物线方程得出，再然后根据解得，取，根据垂直平分性求出点关于直线的对称点为，最后求出并根据两点间距离公式即可得出结果.

详解：因为直线过点，所以设直线的方程为，

联立方程组，得，则，

根据抛物线的定义可知，解得，

取（时所得结果一致），则直线的方程为，

设点关于直线的对称点为，

根据垂直平分性，可列出方程组，,即，

此时线段与直线的交点即为使得取得最小值的点，

因为，所以最小距离为，

故答案为：.

【点睛】

本题考查抛物线中的最值问题，考查直线与抛物线相交以及抛物线的定义，考查点关于直线的对称点的求法，考查两点间距离公式，考查计算能力，体现了综合性，是难题.

11．【答案】

【解析】分析：利用两点间距离公式，把最小值问题转化为二次函数最小值问题即可得到答案.

详解：P到的距离为

，易知当时，该距离最小为.

故答案为：.

12．【答案】

【解析】分析：先判断开口方向，再根据公式写出焦点坐标即可.

详解：抛物线，为开口向上，顶点为原点的抛物线，且2p=1

所以，所以焦点坐标为，

故答案为：

13．【答案】

【解析】分析：过点P作，垂足为M，利用抛物线定义，把点P到点的距离与点P到抛物线焦点的距离之和转化为，三点共线时，取得最小值.

详解：

由题意知：准线，焦点

如图所示：过点P作，垂足为M，由抛物线定义，则

故当PQ∥x轴，取得最小值.

故答案为：

【点睛】

方法点睛：

距离的计算方法有两类：

（1）几何法：利用几何图形求最值；

（2）代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值.

14．【答案】3

【解析】分析：设直线AB的方程：，与抛物线联立，分别求得A，B的横坐标，再利用抛物线的定义求解.

详解：设，则直线AB的方程为：，

与抛物线联立,

得，

所以，

解得，

因为直线与抛物线在第一．四象限分别交于，两点，

所以，

故答案为：3

15．【答案】

【解析】分析：首先根据题意建立直角坐标系并设出抛物线方程，根据抛物线上的点确定方程，再通过求出点的坐标，即可得到答案.

详解：如图建立空间直角坐标系：

设抛物线为，由题知：抛物线过，.

所以，解得.

即抛物线方程为.

当时，.

所以桥洞顶部距水面高度约为米.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查抛物线的应用，同时考查了待定系数法求方程，属于中档题.

16．【答案】10

【解析】分析：先求出焦点坐标，再结合抛物线第一定义即可求解

详解：

如图，由可得焦点坐标为，则抛物线准线为，，则

故答案为：10

【点睛】

本题考查抛物线的基本性质，属于基础题

17．【答案】

【解析】分析：利用题设条件，结合向量的坐标表示，求出点的坐标，再利用抛物线的定义，即可求解.

详解：设，因为，所以，

因为，所以，可得，

将代入抛物线，可得，

因为，所以，可得，即，

又因为，联立可得，

由抛物线的定义，可得

18．【答案】

【解析】分析：由抛物线方程可直接得出.

详解：由抛物线方程，

可得，

即，

且焦点在x轴正半轴，

则焦点坐标为.

故答案为：.