北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.2 抛物线的简单几何性质当堂检测题

【名师】3.2 抛物线的简单几何性质-1作业练习

一．填空题

1．设定点，点P是抛物线上任意一点，当的值最小时，点P的坐标为___________.

2．抛物线的准线方程为____________．

3．点为抛物线上的一点且在轴的上方，为抛物线的焦点，以为始边，为终边的角，则______.

4．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，为抛物线上的一点，且满足，则__________.

5．已知抛物线的焦点为F，准线与x轴交于点E，A是抛物线上一点，，则_____________.

6．已知点P在抛物线上，则点P到点的距离与点P到抛物线焦点的距离之和的最小值为__________

7．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P是抛物线C上一点，过点P作l的垂线，垂足为A，准线l与x轴的交点设为B，若，且的面积为，则以为直径的圆的标准方程为______．

8．已知抛物线的焦点为，定点.若抛物线上存在一点，使最小，则最小值是______.

9．抛物线的准线方程是_________．

10．下列说法正确的是：

①在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差；

②回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；

③在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.1个单位

④若，，则；

⑤已知正方体，为底面内一动点，到平面的距离与到直线的距离相等，则点的轨迹是抛物线的一部分．

正确的序号是：______．

11．如图所示，一隧道内设有双行线公路，其截面由一个长方形的三条边和抛物线的一段构成．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，则车辆通过隧道的限制高度为______.

12．已知抛物线在第一象限内的部分上一点到抛物线焦点的距离为4，若为抛物线准线上任意一点，则的周长最小值为______．

13．已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，又有点，求的最小值______________.

14．过抛物线的焦点且倾斜角为60的直线与抛物线在第一．四象限分别交于，两点，则的值等于______．

15．已知抛物线方程为，则其焦点坐标为_______________；

16．抛物线上点与点距离的最小值为______．

17．某桥的桥洞呈抛物线形(如图)，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面高度约为___________米（精确到0. 1米）

18．已知为坐标原点，抛物线上一点到焦点的距离为4，若点为抛物线准线上的动点，若，则______．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：过点作抛物线准线的垂线，垂足为，结合抛物线的定义，将问题转化为求的最小值，进而根据三点共线取得最小值求解即可.

详解：解：过点作抛物线准线的垂线，垂足为，

由抛物线的定义得：，

故，

所以当的值最小时，即取最小值，

由三点共线可知当三点共线时，取最小值，最小值为，

此时点的纵坐标为，故代入得，

所以当的值最小时，点的坐标为.

故答案为：

【点睛】

本题考查抛物线的定义求最值问题，解题的关键在于利用抛物线的定义，将问题转化为求的最小值，最终落实到三点共线求解即可.

2．【答案】

【解析】分析：由准线方程为可直接得到结果.

详解：由抛物线方程知：抛物线焦点在轴上，且，准线方程为.

故答案为：.

3．【答案】8

【解析】分析：根据抛物线的定义得到，再根据，由求解.

详解：由抛物线的定义得：，

因为以为始边．为终边的角，

所以，又由题知，

解得，

所以.

故答案为：8

4．【答案】

【解析】分析：过点N作准线的垂线，交准线于点P，由双曲线的定义可得，进而可得结果.

详解：

过点N作准线的垂线，交准线于点P，则，设，则

故答案为：

5．【答案】

【解析】分析：由，得到点A在以原点为圆心，2为半径的圆上，再根据A是抛物线上一点，求得点A的横坐标，然后利用抛物线的定义求解.

详解：因为，

所以点A在以原点为圆心，2为半径的圆上，

又因为A是抛物线上一点，

由，

解得，

由抛物线的定义得.

故答案为：

6．【答案】

【解析】分析：过点P作，垂足为M，利用抛物线定义，把点P到点的距离与点P到抛物线焦点的距离之和转化为，三点共线时，取得最小值.

详解：

由题意知：准线，焦点

如图所示：过点P作，垂足为M，由抛物线定义，则

故当PQ∥x轴，取得最小值.

故答案为：

【点睛】

方法点睛：

距离的计算方法有两类：

（1）几何法：利用几何图形求最值；

（2）代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值.

7．【答案】

【解析】分析：由题意结合平面几何的知识及抛物线的定义可得．，进而可得抛物线方程及点，再由点P的坐标可得圆的圆心，即可得解.

详解：由题意作出图形如图所示：

因为，故，

由抛物线的定义可知，故为等边三角形，

因为的面积为，故，

所以，所以抛物线方程为，点，

所以点P的横坐标为，代入中，解得，

所以点，所以所求圆的圆心为，半径为，

故所求圆的标准方程为．

故答案为：.

【点睛】

本题考查了抛物线性质的应用及圆的标准方程的求解，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.

8．【答案】

【解析】分析：利用抛物线的定义，的最小值为点A到准线的距离求解.

详解：如图所示：

设P为抛物线上任意一点，过P作准线的垂线，过A作准线的垂线，

由抛物线的定义得：,

所以抛物线上存在一点，使得最小，最小值是

故答案为：

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义的应用，还考查数形结合的思想方法，属于基础题.

9．【答案】

【解析】分析：将方程转化为标准方程，即可求其准线方程.

详解：由题意知：抛物线标准方程为，

∴准线方程为.

故答案为：.

10．【答案】②③④⑤

【解析】分析：根据回归分析概念及回归系数的含义，可判定①不正确；②是正确的；③是正确的；由三角恒等变换的公式，可判定④是正确的；根据正方体结构特征和抛物线的定义以⑤是正确的.

详解：对于①中，在做回归分析时，由残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，所以①不正确；

对于②中，回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好是正确的，所以②是正确的；

对于③中，在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.1个单位，所以③是正确的.

对于④中，若，，

可得，，

解得，所以，所以④是正确的；

⑤在正方体，则是点到直线的距离，过作垂直于直线，则到平面的距离为，

因为到平面的距离到直线的距离，所以，

根据抛物线的定义，可得点的轨迹是抛物线的一部分，所以⑤是正确的.

故答案为：②③④⑤.

【点睛】

本题主要考查了命题的真假判定，其中解答中涉及到回归直线分析，以及三角函数的恒等变换，以及抛物线的定义等知识点的综合应用，涉及到的知识点较多，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

11．【答案】

【解析】分析：根据图形，选择合适的抛物线的解析式，把图形中有关数据转化为相应点的坐标，代入抛物线方程得出，解出抛物线的解析式；当列车刚好距离隧道顶部时，得出列出车高度与的关系，然后得出点坐标，代入抛物线方程，解出.

详解：如图所示，设隧道上部抛物线的方程为：，

由图可知，点在抛物线上，将点代入得，得，故抛物线方程为，

当行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差为时，

设车高为，则，则点到轴的距离为：，则点，代入抛物线方程得，解得，故车辆通过隧道的限制高度为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了抛物线的实际应用，解答的关键在于要建立合适的坐标系，设出抛物线的方程，根据题目中所给数据，利用待定系数法求出抛物线的方程，然后再进行目标问题求解．

12．【答案】

【解析】分析：利用抛物线的定义由求得抛物线方程，进而得到准线方程，焦点坐标，，然后作出点A关于准线的对称点求解.

详解：因为抛物线上的点到抛物线焦点的距离为4，

由抛物线的定义得；，解得，

所以抛物线方程为，准线方程为，焦点坐标为，，

如图所示：

点A关于准线的对称点，则AP+PF的最小值为，

所以的周长最小值为

故答案为：

13．【答案】

【解析】分析：抛物线的焦点是，故，计算得到答案.

详解：抛物线的焦点是，故，

当共线时等号成立.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了抛物线中的最短距离，意在考查学生的计算能力和转化能力.

14．【答案】3

【解析】分析：设直线AB的方程：，与抛物线联立，分别求得A，B的横坐标，再利用抛物线的定义求解.

详解：设，则直线AB的方程为：，

与抛物线联立,

得，

所以，

解得，

因为直线与抛物线在第一．四象限分别交于，两点，

所以，

故答案为：3

15．【答案】

【解析】分析：先判断开口方向，再根据公式写出焦点坐标即可.

详解：抛物线，为开口向上，顶点为原点的抛物线，且2p=1

所以，所以焦点坐标为，

故答案为：

16．【答案】

【解析】分析：利用两点间距离公式，把最小值问题转化为二次函数最小值问题即可得到答案.

详解：P到的距离为

，易知当时，该距离最小为.

故答案为：.

17．【答案】

【解析】分析：首先根据题意建立直角坐标系并设出抛物线方程，根据抛物线上的点确定方程，再通过求出点的坐标，即可得到答案.

详解：如图建立空间直角坐标系：

设抛物线为，由题知：抛物线过，.

所以，解得.

即抛物线方程为.

当时，.

所以桥洞顶部距水面高度约为米.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查抛物线的应用，同时考查了待定系数法求方程，属于中档题.

18．【答案】

【解析】分析：作垂直于准线于，由抛物线的定义可得，再由相似的知识即可得解.

详解：若，作垂直于准线于，设准线与轴的交点为，如图，

由抛物线的定义可得，

因为，所以，，

由相似的性质可得即，所以，

所以；

当时，同理可得.

故答案为：.