数学选择性必修 第一册3.1 抛物线及其标准方程达标测试

【精品】3.1 抛物线及其标准方程-3优选练习

一．填空题

1．已知抛物线，圆心在上的圆过原点且与抛物线的准线相切，若该圆截直线所得弦长为，则的方程为___________.

2．抛物线上一点到焦点的距离为，则点的纵坐标为______________．

3．已知抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于A，B两点.若为直角三角形，则抛物线的准线方程为________.

4．设抛物线x2＝2py经过点（2，1），则抛物线的焦点坐标为_____.

5．已知点是抛物线上一动点，则的最小值为________.

6．抛物线的准线经过椭圆的右焦点，则______.

7．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于，两点，且，则线段的中点到轴的距离为__________.

8．已知抛物线的焦点为，准线为，过点且斜率为的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，则_____________.

9．已知抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，的延长线交抛物线于点，若，则___________

10．中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧.一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽8m.若水面下降1m，则水面宽度为______.

11．在平面直角坐标系中，若双曲线：的一条准线与抛物线：的准线重合，则正数的值是___.

12．若坐标原点到抛物线的准线距离为2，则___________.

13．设是抛物线上的一个动点，是抛物线的焦点，若，则的最小值为______．

14．若抛物线经过点，，则该抛物线的标准方程为___________.

15．已知圆C的圆心是抛物线x2＝4y的焦点，直线4x﹣3y﹣2＝0与圆C相交于A．B两点，且|AB|＝6，则圆C的标准方程为_____

16．抛物线的准线方程是，则_______________

17．已知为抛物线的焦点，为上一点，为到原点的距离，若，则_________．

18．若抛物线上的点到其焦点的距离是A到y轴距离的2倍，则等于___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：由题，得圆心坐标，所以P到的距离，又由，列出方程解得p，即可得到本题答案.

详解：

如图，设圆心为，因为，

所以，且，

则P到的距离，

又由，得，

所以抛物线的标准方程为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查抛物线与圆的综合问题，考查学生分析问题和解决问题的能力，以及运算求解能力.

2．【答案】2

【解析】分析：求出抛物线的标准方程以及抛物线的准线，根据抛物线的定义可得点到准线的距离为，从而求解.

详解：抛物线方程改写为，

根据抛物线的定义，知点到准线的距离也为，

所以的纵坐标为.

故答案为：2

3．【答案】

【解析】分析：先求出准线方程为,代入双曲线方程可得A,B的坐标,再由为直角三角形,设中点为,则,即,进而求解.

详解：由题可知准线方程为,

因为与双曲线相交于A,B,

则为,为,

因为为直角三角形,由双曲线的对称性可得,

设中点为,则,即,解得,即,

所以准线方程为,

故答案为:

【点睛】

本题考查抛物线的几何性质,考查双曲线的方程的应用,考查运算能力.

4．【答案】（0，1）

【解析】分析：由点在抛物线上，代入求出抛物线的方程，进而求出焦点坐标.

详解：因为抛物线x2＝2py经过点（2，1）

所以22＝2p1，

所以2p＝4，

即抛物线的方程为：x2＝4y，

所以焦点坐标为：（0，1），

故答案为：（0，1）.

【点睛】

本题考查抛物线方程的求法以及简单的几何性质，属于基础题.

5．【答案】

【解析】分析：由的几何意义以及抛物线的定义，转化为点到抛物线准线的距离.

详解：由，得，则的焦点为，准线为：.

的几何意义是点到与点的距离之和，

根据抛物线的定义点到的距离等于点到的距离，

所以的最小值为.

故答案为：.

6．【答案】4

【解析】分析：求得椭圆右焦点为，即可得出，求出.

详解：由椭圆方程可得其右焦点为，

抛物线的准线经过椭圆的右焦点，

，解得.

故答案为：4.

7．【答案】

【解析】分析：根据题意得到的值，过点作垂直于准线于点，过点作垂直于于点，延长交于点，再利用三角形相似得到和的关系，从而得到，，的关系，求出，即可得到答案．

详解：焦点到准线的距离为，

过点作垂直于准线于点，过点作垂直于于点，延长交于点，

则，

所以，

记，则，

因为，

所以，，

因为，为的中点，

所以，所以，

即

即线段的中点到轴的距离为．

故答案为：．

【点睛】

方法点睛：.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点的坐标．

8．【答案】

【解析】分析：由抛物线定义知，再由题意可得为等边三角形，为的中点，可得为三角形的中位线，可得为的中点，为等边角形的高，由中，可得的值，进而求出的值.

详解：如图所示

设准线与轴交于.易知，，由抛物线定义知.

由题意，，

为等边三角形，，

.

又是的中位线，

就是该等边的高，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系，属于中档题.

9．【答案】

【解析】分析：由题意得，然后作图，根据三角形相似列式，结合抛物线的定义即可求解

详解：由题意，得，，，如图，过点向准线作垂线，垂足为，设与轴的交点为，根据已知条件，结合抛物线定义，得，所以，所以.

故答案为：.

【点睛】

关于抛物线的向量比值的问题，一般利用相似三角形的相似比列式，然后结合抛物线的定义，把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离求解.

10．【答案】

【解析】分析：以拱桥顶点为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程根据题意可得答案.

详解：由题意，以拱桥顶点为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程，

由题意知，抛物线经过点和点，代入抛物线方程解得，，

所以抛物线方程，水面下降1米，即，解得，，

所以此时水面宽度.

故答案为：.

11．【答案】3

【解析】分析：由已知可得双曲线的准线方程及其抛物线的准线方程，即可得出正数．

详解：抛物线：的准线方程为，双曲线：的一条准线方程为，根据题意得，解得.

故答案为：3

【点睛】

本题考查了双曲线与抛物线的标准方程及其准线方程，属于基础题．

12．【答案】

【解析】分析：根据抛物线性质可得结果.

详解：由化为标准方程，准线方程，故由题意，

得.

故答案为：

13．【答案】4

【解析】分析：先判断点在抛物线内，过点作垂直准线于点，交抛物线于点，根据抛物线的定义，结合图形，得到，即可得出结果.

详解：因为，所以点在抛物线的内部，

如图，过点作垂直准线于点，交抛物线于点，

根据抛物线的定义可得，，

又是抛物线上的一个动点，所以，

当且仅当点与点重合时，取得最小值，

即的最小值为4.

故答案为：.

【点睛】

思路点睛：

求解抛物线上一动点到定点（定点在抛物线内部）与焦点距离和的最值问题时，通常需要过该动点向准线作垂线，利用抛物线的定义，将问题转为求抛物线上一点到准线以及定点距离的最值问题，结合图形，即可求解.

14．【答案】

【解析】分析：由所过两点坐标即可设出抛物线方程，待定系数即可求得结果.

详解：因为抛物线经过点，，即抛物线经过第一．二象限，

故设抛物线方程为，代入点，可得，即，

则抛物线方程为：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查由抛物线上一点求抛物线方程，属基础题.

15．【答案】x2+（y﹣1）2＝10

【解析】分析：由题意可知，圆心C（0，1），再利用点到直线距离公式求出圆心到直线4x﹣3y﹣2＝0的距离，再利用勾股定理即可求解．

详解：解：由题意可知，圆心C（0，1），

∴圆心C（0，1）到直线4x﹣3y﹣2＝0的距离d，

又∵直线4x﹣3y﹣2＝0与圆C相交于A．B两点，且|AB|＝6，

∴圆C的半径r，

∴圆C的标准方程为：x2+（y﹣1）2＝10，

故答案为：x2+（y﹣1）2＝10.

【点睛】

本题主要考查了直线与圆相交的问题，是中档题．

16．【答案】

【解析】分析：利用抛物线的准线方程可求得实数的值.

详解：抛物线的准线方程为，则，因此，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用抛物线的准线方程求参数，考查计算能力，属于基础题.

17．【答案】或3

【解析】分析：由已知得，即，再由抛物线的定义，得，可求得答案．

详解：因为为上一点，所以，即，

由抛物线的定义，得，整理得，故或3.

故答案为：或3.

【点睛】

本题考查抛物线的定义和几何性质，属于基础题.

18．【答案】

【解析】分析：利用抛物线的定义以及抛物线的方程解出即可．

详解：由题意，得，解得，

即，代入，得，结合，解得

故答案为：