高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.2 直线与圆锥曲线的综合问题当堂达标检测题

【优质】4.2 直线与圆锥曲线的综合问题优选练习

一．填空题

1．设，若直线上存在一点满足，且的内心到轴的距离为，则___________.

2．已知m为实数，直线与椭圆的交点个数为________.

3．已知直线经过抛物线:的焦点，与交于，两点，其中点在第四象限，若，则直线的斜率为______.

4．过点的直线与抛物线：交于，两点（在，之间），是抛物线的焦点，点满足：，则与的面积之和的最小值是______.

5．过点（0，2）与抛物线只有一个交点的直线有______条．

6．已知直线与曲线．当直线被曲线截得的线段长为时，直线方程是__________．

7．已知直线和抛物线，若与有且只有一个公共点，则实数的值为_________．

8．已知直线与椭圆交于M，N两点，且，则_________.

9．已知双曲线的左？右顶点为？，焦点在轴上的椭圆以？为顶点，且离心率为，过作斜率为的直线交双曲线于另一点，交椭圆于另一点，若，则的值为______.

10．已知点为抛物线的焦点，经过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于，点，（为坐标原点）的面积为，线段的垂直平分线与轴相交于点.则的值为______.

11．过点的直线交双曲线的两支于两点，已知，求的取值范围.

12．过抛物线上一点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于，(异于点)两点，则直线恒过定点_______．

13．如图，已知直线与椭圆相交于，两点，若直线分别与轴的负半轴，轴的正半轴相交于点，，且，则直线的斜率为______.

14．已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，.若的面积为9，则=_________.

15．过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，为坐标原点. 若，则的面积为___________.

16．曲线上的点到直线的距离的最大值是________．

17．经过抛物线的焦点，倾斜角为的直线与交于，两点，若线段的中点的横坐标为7，那么__________．

18．在直角坐标系xOy中.直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该抛物线相交于A．B两点.其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60o.则△OAF的面积为                      

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】由题意可得点为直线与椭圆的交点,直线方程与椭圆方程联立可得，由的内心到轴的距离为，即的内切圆的半径，由等面积法可求出参数的值.

详解：点满足,则点在椭圆上.

由题意可得点为直线与椭圆的交点.

联立与，消去得，则.

因为的内心到轴的距离为，所以的内切圆的半径.

所以的面积为，

即，解得，又，则.

【点睛】

本题考查考查直线与椭圆的位置关系，根据椭圆的焦点三角形的相关性质求参数，属于中档题.

2．【答案】2个

【解析】根据直线的方程，易得直线过定点，又因为定点在椭圆上，且，则直线与x轴不平行，所以直线和椭圆相交.

【详解】

因为直线方程为

所以直线过定点，定点在椭圆上，

又因为，所以直线与x轴不平行，

所以直线和椭圆相交，所以交点为2个.

故答案为：2个

【点睛】

本题主要考查了点与椭圆，直线与椭圆的位置关系，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

3．【答案】

【解析】根据题中所给条件，设出直线方程为，联立直线方程与抛物线方程，依据条件，得出交点横坐标之间的数量关系，然后再根据韦达定理，求出交点横坐标，从而求得结果．

详解：依题意，抛物线的焦点

设直线的方程为

由得，设，

，，

，且，

即

，，

解得或

或

又，所以，，得

解得：，结合图象得.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了韦达定理的应用，考查了学生的运算求解能力.

4．【答案】8

【解析】根据直线过点,设出直线的方程.联立抛物线后可表示出．两点的纵坐标,利用可表示出点的纵坐标.由三角形面积公式可表示出与的面积之和.对表达式求导,根据导数即可求得面积和的最小值.

【详解】

根据题意,画出抛物线及直线方程如下图所示:

因为直线过点

设直线的方程为

则,化简可得

因为有两个不同交点,则,解得或

不妨设,

则解方程可得

因为,则

所以

所以

则

,()

令

则

令

解得

当时, ,所以在内单调递减

当时, ,所以在内单调递增

即当时取得最小值.

所以

故答案为:

【点睛】

本题考查了直线与抛物线的位置关系,抛物线中三角形面积的求法,利用导数求函数的最值的应用,综合性强,属于难题.

5．【答案】3

【解析】分当直线的斜率不存在和当直线的斜率存在时，两种情况讨论求解.

详解：当直线的斜率不存在时，该直线方程为与抛物线相切，只有一个交点，

当直线的斜率存在时，设直线方程为，代入抛物线，

消去y得：，

当时，直线方程为，与抛物线只有一个交点，

当时，，解得，此时直线与抛物线相切，只有一个交点，

所以过点（0，2）与抛物线只有一个交点的直线有3条

故答案为：3

【点睛】

本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.

6．【答案】或

【解析】联立直线与曲线方程，利用韦达定理以及弦长公式列方程，解得，即得结果.

详解：将直线代入曲线得

因此直线被曲线截得的线段长为

因为直线被曲线截得的线段长为，所以

，（负值舍去），满足，

从而直线方程是或

故答案为：或

【点睛】

本题考查直线与曲线弦长问题，考查基本分析求解能力，属基础题.

7．【答案】0或

【解析】当斜率 时，直线平行于轴，与抛物线仅有一个公共点，当斜率不等于0时，把代入抛物线的方程化简，由判别式求得实数的值．

详解：解：当斜率 时，直线平行于轴，与抛物线仅有一个公共点．

当斜率不等于0时，把代入抛物线得  ，

由题意可得，此方程有唯一解，

故判别式，，

故答案为：0或．

【点睛】

本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，一元二次方程有唯一解的条件，体现了分类讨论的数学思想．

8．【答案】

【解析】设，联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，利用弦长公式可以求出.

详解：设，

由消去y并化简得，

所以,

由，得，

所以，所以，

即，

化简得，所以，所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式的应用，属于基础题.

9．【答案】

【解析】首先由已知求得椭圆方程，设，利用中点坐标公式表示，将两点坐标分别代入椭圆和双曲线方程，求得的值，并表示斜率.

详解：对于椭圆，显然，，所以椭圆方程为，设，则由得.因为点在双曲线上，点在椭圆上，所以，，解得，，，

所以 ,

故直线的斜率.

故答案为：

【点睛】

本题考查椭圆，双曲线方程，直线与椭圆和双曲线的位置关系，点与椭圆和双曲线的位置关系，属于基础题型.

10．【答案】2

【解析】依题可设直线的方程为，将直线方程与抛物线方程联立可求出弦的中点坐标以及弦长，再由点到直线的距离公式可求出点到直线的距离，列式可求出与的关系，然后求出线段的垂直平分线方程，即可得到点的坐标以及的值．

详解：设直线的方程为，，

由可得，，

∴，即有．

∴，．

又点到直线的距离为，

所以，解得．

因为线段的垂直平分线方程为，

令，解得．

所以．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查直线与抛物线的位置关系的应用，以及弦长的求法，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．

11．【答案】

试题分析：分析可设直线方程，与双曲线方程联立，由分别位于不同的两支得，再利用向量垂直坐标表示转化条件，结合韦达定理化简可得，最后综合双曲线方程隐含条件解得结果.

详解：因为双曲线，所以

由题意可知，直线不可能与轴垂直，因此，可设直线的方程为，并代入双曲线方程，得.①

设点两点的坐标分别为.

因为分别位于不同的两支，

.②

又，即.

，即，并代入②式，得

，即.

.

则②式必成立.，

.

【点睛】

对于直线与曲线的关系的问题，一般要根据题意作出相关的图像，然后设出适当的直线方程的形式；针对两条直线垂直的条件，最好的处理方法是向量的数量积为零；对于题设所给出的条件，要把它转化为数学表达式.

【解析】

12．【答案】(，)

【解析】设AP：与抛物线C：联立，由根与系数的关系求得P(()2，)，和Q(，)，得直线PQ：．进而可判定，得到答案.

详解：由题意可得，这两条直线的斜率均存在，且不为0，设AP：，

与抛物线C：联立，消去x，得，

由根与系数的关系可得，，即P(()2，)，

同理可得Q(，)，所以直线PQ的斜率，

所以直线PQ：．

通过对比可知，， 满足条件，即直线PQ恒过定点(，)．

【点睛】

本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，以及直线过定点问题，其中解答中设出的方程与抛物线方程联立方程组，确定出点的坐标，得到的直线方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

13．【答案】

【解析】作轴，轴，设，，由三角形全等可得；由平行线分线段成比例可得，将代入椭圆方程可求得，进而得到坐标，利用两点连线斜率公式求得结果.

【详解】

过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点

设，，，

    ≌，则

又    ，则，

将两点代入椭圆方程，得到，解得：，

则

故答案为：

【点睛】

本题考查直线与椭圆综合应用问题，考查了直线与椭圆交点的求解问题；关键是能够通过待定系数法得到交点坐标，根据交点在椭圆上构造方程组求得交点坐标，进而得到直线斜率.

14．【答案】3

【解析】因本题为选择题，故可直接根据焦点三角形的面积公式，代值计算，即可容易求得结果.

详解：由题可知，

由椭圆焦点三角形面积公式：，

.

故答案为：3.

【点睛】

本题考查椭圆中焦点三角形面积的求解，作为选择题和填空题，可直接套用二级结论进行求解即可.属基础题.

15．【答案】

【解析】设出直线的方程，再与抛物线的方程联立，由抛物线的定义可得答案.

详解：易知直线的斜率存在，设为，由得，

∴，

又∵，∴，∴或

则.

故答案为：.

【点睛】

本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.

16．【答案】

【解析】先根据绝对值的正负判断曲线方程的种类，再画出图象，数形结合分析即可.

详解：解：曲线表示的方程等价于以下方程，

，画出图象有：

故是双曲线与渐近线方程，

所以曲线上的点到直线的距离的最大值为椭圆上的点到直线的距离.

设直线与曲线相切，联立方程组，化简得：

，令，解得.

所以切线为：，

故两平行线与之间的距离为.

所以曲线上的点到直线的距离的最大值是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，曲线上的点到直线的距离问题，是中档题.

17．【答案】2

【解析】由已知条件写出直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理及，即可求得结果.

详解：根据题意可以得过焦点的倾斜角为直线方程为,设，

联立 可得：

的中点的横坐标为7，

,

计算得出: ,

故答案为:2.

【点睛】

本题考查直线和抛物线的关系，考查中点问题，考查韦达定理的应用，属于基础题.

18．【答案】

【解析】由可求得焦点坐标，因为倾角60o，所以直线的斜率为，利用点斜式，直线方程为，将直线和曲线联立，因此.

【考点定位】本题考查的是解析几何中抛物线的问题，根据交点弦问题求围成面积．此题把握住抛物线的基本概念，熟练的观察出标准方程中的焦点和准线坐标和方程是成功的关键，当然还要知道三角形面积公式．