高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.1 抛物线及其标准方程课后复习题

【精编】3.1 抛物线及其标准方程-2优选练习

一．填空题

1．已知抛物线：的焦点为，是上一点，，则________.

2．已知点在抛物线上，C在点B处的切线与C的准线交于点A，F为C的焦点，则直线的斜率为_________．

3．已知抛物线，点是抛物线上一点，则抛物线上纵坐标为3的点到准线的距离为___________．

4．已知抛物线()的焦点为，点为抛物线上的动点，点为其准线上的动点，若为边长是2的等边三角形，则此抛物线的方程为___________.

5．

已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是________．

6．设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为________．

7．

已知直线过抛物线的焦点，交抛物线于？两点，若，则直线的斜率为___________.

8．已知抛物线，圆与轴相切，斜率为的直线过抛物线的焦点与抛物线交于，两点，与圆交于，两点(，两点在轴的同一侧)，若，，则的取值范围为___________.

9．已知点在抛物线的准线上，则_______.

10．若抛物线的准线与曲线只有一个交点，则实数满足的条件是__________.

11．

抛物线()的焦点为，准线为，？是抛物线上两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是___________.

12．已知抛物线的焦点为F，P是抛物线上一点，若，则P点的横坐标为_________．

13．已知平面向量，且．若对任意的，均有的最小值为，则的最小值为________．

14．

对标准形式的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y轴上；

②焦点在x轴上；

③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；

④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1).

其中满足抛物线方程为y2=10x的是____________.(要求填写适合条件的序号)

15．若椭圆的一个焦点在抛物线的准线上，则m= __________.

16．已知拋物线（）上一点到其焦点的距离为3，则________.

17．一个动圆与定圆相外切，且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为_______．

18．

在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于．两点，若，则该双曲线的渐近线方程为___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：根据焦半径公式可得：，结合抛物线方程求解出的值.

详解：由抛物线的焦半径公式可知：，所以，

故答案为：.

【点睛】

结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）

（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；

（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；

（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；

（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.

2．【答案】

【解析】分析：点的坐标代入抛物线方程求得得抛物线方程，求出切线方程，准线方程得的坐标，又得焦点坐标后即可得直线斜率．

详解：由题意，，抛物线方程为，抛物线在点处的方程可表示为，所以，时，，

切线方程为，即，

准线方程为，由得，即，又，

所以．

故答案为：．

【点睛】

思路点睛：本题考查求抛物线的性质，解题方法是解析几何的基本方法：计算．代入点的坐标求得抛物线方程，利用导数的几何意义求得切线方程，同时求得准线方程，由直线相交求得交点坐标，再得焦点坐标后，由斜率公式得直线斜率．考查了学生的运算求解能力．

3．【答案】5

【解析】分析：根据点是抛物线上一点，求得抛物线的方程，再利用抛物线的定义求解.

详解：因为点是抛物线上一点，

所以，

解得，

故抛物线方程为.

令，得.

所以抛物线上纵坐标为3的点到准线的距离为.

故答案为：5

4．【答案】

【解析】分析：利用抛物线的定义得出垂直于抛物线的准线，设，求出的边长，写出有关点的坐标，利用两点距离公式得到，列出方程求出的值，得到抛物线方程.

详解：根据题意知，为等边三角形，，

抛物线的准线，

设，则，

所以，

，所以由，得，

解得，

抛物线方程为，

故答案为：.

5．【答案】－1

【解析】

由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，

所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.所以d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为＝，所以d＋|PF|－1的最小值为－1.

故答案为：－1.

6．【答案】

【解析】分析：设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义可知，进而把问题转化为求的最小值，进而可推断出当．．三点共线时最小，则答案可得.

详解：设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义可知，

所以，要求取得最小值，即求取得最小，

当．．三点共线时最小为．

故答案为：．

【点睛】

关键点点睛：本题考查抛物线的定义．标准方程，以及简单性质的应用，判断当．．三点共线时最小是解题的关键，考查数形结合思想的应用.

7．【答案】

【解析】

由直线过，所以，

设，，

由，可得，

直线与抛物线联立得，，

所以，可得，

所以.

故答案为：

8．【答案】

【解析】分析：先求出，然后设出直线，让直线与抛物线联立，再根据向量之间的关系及韦达定理求出，再利用抛物线的定义及条件建立等式，再转化为不等式求解即可.

详解：由圆的方程可知，其圆心坐标为，当圆与轴相切可知，得，

所以抛物线的焦点坐标为，抛物线方程为，

设斜率为的直线方程为，设，直线与抛物线联立，

，得，

所以①，②

所以，，

而，则有，，

所以③，由①，③解得，

代入②有，变形得，

因为，所以，

所以，变形得，

解得.

故答案为：.

【点睛】

关键点睛：解决本题的关键一是先求出抛物线方程，二是运用抛物线的定义，三是解不等式.

9．【答案】

【解析】分析：根据抛物线的定义写出准线方程，代入计算得.

详解：由题意，抛物线的准线方程为，所以，得.

故答案为：.

10．【答案】

【解析】分析：根据题意求出抛物线的准线方程为，分别讨论和时曲线所表示的图形，即可求解.

详解：抛物线的准线为，

当时，表示椭圆在轴上方部分以及左右顶点

所以，

若与曲线只有一个交点，

则，解得，

当时，表示双曲线的在轴上方部分即上支，

此时，

此时满足与曲线只有一个交点，所以，

综上所述：实数满足的条件是或，

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键是分和两种情况讨论，得到曲线是我们熟悉的椭圆与双曲线的一部分，数形结合可得的范围.

11．【答案】

【解析】

过A作AQ⊥于Q，过B作BP⊥于P，

设？，如图所示，根据抛物线的定义，

可知？，

在梯形中，有，

在中，，

又∵，∴，

∴，故的最大值是.

故答案为：1.

12．【答案】1

【解析】分析：由焦半径公式即可求出.

详解：由抛物线方程可得，即，

则，解得.

故答案为：1.

13．【答案】6

【解析】分析：由已知垂直且模均为2，因此把它们放到平面直角坐标系中，不妨设，，设，已知向量模的最小值说明对应动点的轨迹是抛物线，所求问题转化为求抛物线上点到定点和抛物线焦点距离之和的最小值，由抛物线的性质可得．

详解：因为，且，不妨设，，设，，，

由的最小值是，即动点到轴上点的距离的最小值等于到定点的距离，所以到轴的距离等于到定点的距离，

所以点轨迹是以为焦点，轴为准线的抛物线，

，记，过作轴，垂足为，则

，易知当三点共线时，取得最小值，此时最小值为到轴距离6.

故答案为：6.

【点睛】

关键点点睛：本题考查向量语言的直观表达，借助对称性，将距离进行有效转化，从而求得最小值．解题关键是引入平面直角坐标系，把向量用坐标表示，得出动点轨迹，然后利用抛物线的性质得出最小值．

14．【答案】②④

【解析】

解：抛物线y2=10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；

设M(1，y0)是y2=10x上一点，则|MF|=1+=1+≠6，所以③不满足；

由于抛物线y2=10x的焦点为，设过该焦点的直线方程为y=k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k=-2，所以④满足.

故答案为：②④.

15．【答案】7

【解析】分析：先求出抛物线的准线，从而可得的值，进而可求出的值

详解：解：抛物线的准线为直线，

因为椭圆的一个焦点在抛物线的准线上，

所以可得，

所以，

故答案为：7

16．【答案】4

【解析】分析：先利用抛物线的方程求得准线方程，根据点到抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义推断出点到准线的距离也为3，利用求得p．

详解：根据抛物线方程可知准线方程为，

∵抛物线（）上的点到焦点的距离为3，

∴根据抛物线的定义可知其到准线的距离为3，

∴，

∴．

故答案为：4.

【点睛】

关键点点睛：本题考查抛物线的定义；在求抛物线上的点到焦点的距离时，往往利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，但要注意抛物线是哪一种标准方程，如抛物线（）上一点到其焦点的距离为，抛物线（）上一点到其焦点的距离为，等等.

17．【答案】

【解析】分析：分析可知，动圆圆心的轨迹是以点为圆心，以直线为准线的抛物线，由此可得出动圆圆心的轨迹方程.

详解：由题意可知，圆的圆心为，半径为，

由于动圆与定圆相外切，且与直线相切，

动圆圆心到点的距离比它到直线的距离大，

所以，动圆圆心到点的距离等于它到直线的距离，

所以，动圆圆心的轨迹是以点为圆心，以直线为准线的抛物线，

设动圆圆心的轨迹方程为，则，可得，

所以，动圆圆心的轨迹方程为.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：

（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；

（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；

（3）相关点法：用动点的坐标．表示相关点的坐标．，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；

（4）参数法：当动点坐标．之间的直接关系难以找到时，往往先寻找．与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；

（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.

18．【答案】

【解析】

设点．，由抛物线的定义可得，，

，由可得，，

直线的斜率为，

由，两式作差得，

即，

所以，，，可得，

因此，该双曲线的渐近线方程为.

故答案为：.