高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.1 圆的标准方程精练

【优编】2.1 圆的标准方程-2优选练习

一．填空题

1．抛物线上在第一象限有一点在准线上的射影为，焦点为为正三角形，则的外接圆的标准方程是__________.

2．已知圆，过点M(1，1)的直线l与圆C交于A．B两点，弦长最短时直线l的方程为________.

3．古希腊数学家同波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点，动点满足（其中和是正常数，且），则的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”.若，，动点满足，则该圆的圆心坐标为_______.

4．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆，现有椭圆，．为椭圆长轴的端点，．为椭圆短轴的端点，动点满足，的面积的最大值为，的面积的最小值为，则椭圆的离心率为______.

5．已知动点P到点A(4,1)的距离是到点B(-1,-1)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为______.

6．已知中，，若边的中线为定长2，则顶点C的轨迹方程为______.

7．点与圆的位置关系为______．（填“在圆上”“在圆外”“在圆内”）

8．已知点P在直线上，点Q在圆上，则P，Q两点距离的最小值为___________．

9．到点的距离为1的点所满足的条件是__________.

10．已知圆的﹣条直径的两端点是（2，0），（2，﹣2）．则此圆方程是                ．

11．已知，直线，，若直线，将圆的周长四等分，则________．

12．已知圆，点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，记C为圆O上到点P距离最远的点，则四边形PACB的面积为________.

13．已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是__________．

14．一座圆拱（圆的一部分）桥，当拱顶距离水面时，水面宽为.当水面下降后，水面宽为______.

15．若点在圆的内部，则实数a的取值范围是______________.

16．设圆的圆心为A，点P在圆上，则线段PA的中点M的轨迹方程是__________________.

17．设为圆上的动点，是圆的切线且，则点的轨迹方程是________．

18．圆的圆心P到直线的距离是________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：利用抛物线性质及正三角形条件可求圆心和半径即可.

详解：的横坐标是中点的横坐标，到准线距离为，显然，正三角形的中线长为3，中心即圆心坐标为，半径为2，

∴圆的标准方程为.

故答案为:

2．【答案】

【解析】分析：可得当M为AB中点时，弦长最短，根据可求出直线斜率，即可得出方程.

详解：可知点M在圆内，当M为AB中点时，弦长最短，

此时，

，，

则直线l的方程为，即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查直线与圆相交问题，解题的关键是得出当M为AB中点时，弦长最短.

3．【答案】

【解析】设点为,由可得,整理后即可求解.

详解：设点为,

因为,所以,

整理可得,即,

则圆心为,

故答案为:

【点睛】

本题考查两点间距离公式的应用,考查圆的几何性质,考查运算能力.

4．【答案】

【解析】分析：设点，根据可得出点的轨迹方程，根据已知条件可得出关于．的方程组，解出．的值，求出的值，进而可得出椭圆的离心率的值.

详解：设点，设点．，

由可得，即，

整理可得，即，

所以，点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆，

点到轴的距离的最大值为，则的面积的最大值为，

解得；

点到轴距离的最小值为，则的面积的最小值为，

可得.

，因此，椭圆的离心率为.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得．的值，根据离心率的定义求解离心率的值；

（2）齐次式法：由已知条件得出关于．的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；

（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

5．【答案】

【解析】设动点，依题意得到，利用两点间距离公式列得等式，化简整理即可

详解：设，则由题意可知，即，化简整理得.

【点睛】

本题考查直接法求轨迹方程，将题干中的文字翻译为数学等式是解题关键

6．【答案】

【解析】设，求出点D的坐标，由利用两点之间的距离公式可求得轨迹方程.

详解：设，则边的中点，

因为，所以，整理得.

又因为当C点在直线上时，不能组成三角形，故，

即顶点C的轨迹方程为.

故答案为：

【点睛】

本题考查轨迹为圆的问题．两点之间的距离公式，属于基础题.

7．【答案】在圆内

【解析】分析：将点代入方程判断与的大小关系即可判断.

详解：将点代入圆，

可得，

所以点在圆内，

故答案为：在圆内

8．【答案】

【解析】分析：先求得圆心到直线的距离，结合圆的性质，即可求解.

详解：由题意，圆，可化为圆，

可得圆心，半径为

则圆心C到直线的距离为，

所以点P，Q两点距离的最小值为.

故答案为：.

9．【答案】

【解析】分析：利用点点距公式即得．

详解：由题意可知： 即 即．

故答案为：

10．【答案】（x﹣2）2+（y+1）2=1

【解析】根据条件求出圆心和半径即可得到结论．

解：∵圆的﹣条直径的两端点是（2，0），（2，﹣2）．

∴圆心坐标为（，），即（2，﹣1），

则半径r=1，

则圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=1，

故答案为（x﹣2）2+（y+1）2=1

考点：圆的一般方程．

11．【答案】2

【解析】分析：根据两平行线的位置关系，结合圆周长的计算公式．圆的对称性进行求解即可.

详解：因为，，所以直线，

设圆心到直线的距离为，则有，

设圆心到直线的距离为，则有，

所以有，圆的半径为2，所以圆的周长为，

要想直线，将圆的周长四等分，

只需直线截圆所得的弦所对的圆心角所对的弧长为，

所以，因此直线过，所以，

故答案为：2

12．【答案】

【解析】根据四边形PACB的面积为，计算，可得结果.

【详解】

由平面几何知识可知：，

，，

四边形PACB的面积为

.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查圆的应用，属基础题.

13．【答案】x2＋y2＝2

【解析】圆心是AB的中点坐标为(0，0)，直径是AB两点之间距离是2，

∴ 圆的方程为x2＋y2＝2.

14．【答案】16

【解析】以圆拱拱顶为直角坐标系原点，以过圆拱拱顶的竖直直线为纵轴，建立如图所示的坐标系，根据题意求出圆的方程，然后再根据题意设点代入圆方程求解即可.

详解：以圆拱拱顶为直角坐标系原点，以过圆拱拱顶的竖直直线为纵轴，建立如图所示的坐标系，所以圆的方程为：，拱顶距离水面时，水面宽为，因此，把点的坐标代入圆方程中得：

（舍去），所以圆的方程为：，

当水面下降时，设，代入圆方程得：，所以，该点关于纵轴的对称点的坐标为，因此此时水面宽为.

故答案为：16

【点睛】

本题考查了圆的方程的应用，考查了直线与圆的位置关系，考查了数学运算能力.

15．【答案】

【解析】分析：根据点与圆的位置关系列出不等式求解即可.

详解：因为点在圆的内部，所以，即，解得

故答案为：

16．【答案】x2＋y2－4x＋2y＋1＝0

【解析】设PA的中点M的坐标为， ，圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A坐标为，由已知有 ，则，又P点在圆上，所以，所以，即．

17．【答案】．

【解析】设，由圆得到圆心和半径，再根据是圆的切线且，由求解.

详解：设，易知圆的圆心，半径，

因为是圆的切线且，

所以，

所以,即，

所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．

所以点的轨迹方程是．

【点睛】

本题考查圆的方程的应用以及定义法求轨迹方程，属于基础题.

18．【答案】

【解析】分析：化圆的方程为标准方程，求出圆心P的坐标，再由点到直线的距离公式求解.

详解：由圆，得，

则圆心，

圆心P到直线的距离.

故答案为：.