北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.1 抛物线及其标准方程同步训练题

【精挑】3.1 抛物线及其标准方程-2作业练习

一．填空题

1．已知点在抛物线上，C在点B处的切线与C的准线交于点A，F为C的焦点，则直线的斜率为_________．

2．

设是抛物线：上一点，若到的焦点的距离为10，则到轴的距离为______．

3．

已知P是抛物线y2＝4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标为（2，3），则|PA|+|PM|的最小值是_____.

4．

若为抛物线上一点，抛物线C的焦点为F，则________．

5．

抛物线的焦点坐标为_____________．

6．已知抛物线的焦点为F，点A（－4，0），点P是抛物线C上的动点，则的最小值为        ．

7．设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为________．

8．设，则的最小值为______________．

9．

设点在抛物线上，是焦点，则__________．

10．已知抛物线，圆与轴相切，斜率为的直线过抛物线的焦点与抛物线交于，两点，与圆交于，两点(，两点在轴的同一侧)，若，，则的取值范围为___________.

11．

已知抛物线的焦点为，斜率为的直线过点，且与交于，两点，若（是坐标原点），则______.

12．已知平面向量，且．若对任意的，均有的最小值为，则的最小值为________．

13．

设，则的最小值为______________．

14．

已知抛物线的准线为与圆相交所得弦长为，则抛物线的方程为__________．

15．已知点在抛物线的准线上，则_______.

16．一个动圆与定圆相外切，且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为_______．

17．

已知点是抛物线上一动点，则的最小值为________.

18．已知抛物线的焦点为，过作斜率为的直线交抛物线与．两点，若线段中点的纵坐标为，则抛物线的方程是________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：点的坐标代入抛物线方程求得得抛物线方程，求出切线方程，准线方程得的坐标，又得焦点坐标后即可得直线斜率．

详解：由题意，，抛物线方程为，抛物线在点处的方程可表示为，所以，时，，

切线方程为，即，

准线方程为，由得，即，又，

所以．

故答案为：．

【点睛】

思路点睛：本题考查求抛物线的性质，解题方法是解析几何的基本方法：计算．代入点的坐标求得抛物线方程，利用导数的几何意义求得切线方程，同时求得准线方程，由直线相交求得交点坐标，再得焦点坐标后，由斜率公式得直线斜率．考查了学生的运算求解能力．

2．【答案】7

【解析】

设抛物线的焦点为F，因为点A到C的焦点的距离为10，

所以由抛物线的定义知，解得，

所以点A到y轴的距离为7，

故答案为：7.

3．【答案】

【解析】

当x＝2时，y2＝4×2＝8，所以y＝±2，即|y|＝2，因为3＞2，

所以点A在抛物线的外侧，延长PM交直线x＝﹣1于点N，由抛物线的定义可知|PN|＝|PM|+1＝|PF|，当三点A，P，F共线时，|PA|+|PF|最小，

此时为|PA|+|PF|＝|AF|，又焦点坐标为F（1，0），所以|AF|＝＝，

即|PM|+1+|PA|的最小值为，所以|PM|+|PA|的最小值为﹣1.

故答案为：.

4．【答案】5

【解析】

由为抛物线上一点，得，可得，

则．

故答案为：5

5．【答案】

【解析】

将抛物线的方程整理为标准形式，得，

则该抛物线的焦点在y轴正半轴，坐标为．

故答案为：．

6．【答案】

【解析】点A（－4，0）在抛物线C的准线x＝－4上，设点P在准线上的射影为Q，则，当直线AP与抛物线C相切时∠PAQ最小，sin∠PAQ也最小．设PA的方程为y＝k（x＋4），与联立得0.由得，当时，．

7．【答案】

【解析】分析：设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义可知，进而把问题转化为求的最小值，进而可推断出当．．三点共线时最小，则答案可得.

详解：设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义可知，

所以，要求取得最小值，即求取得最小，

当．．三点共线时最小为．

故答案为：．

【点睛】

关键点点睛：本题考查抛物线的定义．标准方程，以及简单性质的应用，判断当．．三点共线时最小是解题的关键，考查数形结合思想的应用.

8．【答案】

【解析】分析：设点．，则表示再加上点的横坐标，利用抛物线的定义可得出（其中为抛物线的焦点），利用导数求出的最小值，即可得解.

详解：.

设点．，则表示再加上点的横坐标，

其中点为抛物线上的一点，该抛物线的焦点为，准线为.

作出函数与抛物线的图象如下图所示：

过点作抛物线的准线的垂线，垂足为点，设交轴于点，

则，

当且仅当．．三点共线时，等号成立，下面利用导数求出的最小值，

，

构造函数，其中，

，且函数单调递增，

当时，；当时，.

所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

，，因此，的最小值为.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：本题从代数式的几何意义出发，利用数形结合思想转化为折线段和的最小值问题来求解，同时又考查了抛物线定义的应用，在求解的最值时，充分利用了导数来求解.

9．【答案】215

【解析】

因为点在抛物线上，

所以，则，

则，

故

，

故答案为：215.

10．【答案】

【解析】分析：先求出，然后设出直线，让直线与抛物线联立，再根据向量之间的关系及韦达定理求出，再利用抛物线的定义及条件建立等式，再转化为不等式求解即可.

详解：由圆的方程可知，其圆心坐标为，当圆与轴相切可知，得，

所以抛物线的焦点坐标为，抛物线方程为，

设斜率为的直线方程为，设，直线与抛物线联立，

，得，

所以①，②

所以，，

而，则有，，

所以③，由①，③解得，

代入②有，变形得，

因为，所以，

所以，变形得，

解得.

故答案为：.

【点睛】

关键点睛：解决本题的关键一是先求出抛物线方程，二是运用抛物线的定义，三是解不等式.

11．【答案】2

【解析】

由题可设，，，

由得，即.

将代入，整理得，

则，解得.

故答案为：2

12．【答案】6

【解析】分析：由已知垂直且模均为2，因此把它们放到平面直角坐标系中，不妨设，，设，已知向量模的最小值说明对应动点的轨迹是抛物线，所求问题转化为求抛物线上点到定点和抛物线焦点距离之和的最小值，由抛物线的性质可得．

详解：因为，且，不妨设，，设，，，

由的最小值是，即动点到轴上点的距离的最小值等于到定点的距离，所以到轴的距离等于到定点的距离，

所以点轨迹是以为焦点，轴为准线的抛物线，

，记，过作轴，垂足为，则

，易知当三点共线时，取得最小值，此时最小值为到轴距离6.

故答案为：6.

【点睛】

关键点点睛：本题考查向量语言的直观表达，借助对称性，将距离进行有效转化，从而求得最小值．解题关键是引入平面直角坐标系，把向量用坐标表示，得出动点轨迹，然后利用抛物线的性质得出最小值．

13．【答案】

【解析】

.

设点．，则表示再加上点的横坐标，

其中点为抛物线上的一点，该抛物线的焦点为，准线为.

作出函数与抛物线的图象如下图所示：

过点作抛物线的准线的垂线，垂足为点，设交轴于点，

则，

当且仅当．．三点共线时，等号成立，下面利用导数求出的最小值，

，

构造函数，其中，

，且函数单调递增，

当时，；当时，.

所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

，，因此，的最小值为.

故答案为：.

14．【答案】

【解析】

抛物线y＝ax2（a＞0）的准线l：y，

圆圆心到l的距离为：

，

∴，解得：a．

∴抛物线的方程为.

故答案为：.

15．【答案】

【解析】分析：根据抛物线的定义写出准线方程，代入计算得.

详解：由题意，抛物线的准线方程为，所以，得.

故答案为：.

16．【答案】

【解析】分析：分析可知，动圆圆心的轨迹是以点为圆心，以直线为准线的抛物线，由此可得出动圆圆心的轨迹方程.

详解：由题意可知，圆的圆心为，半径为，

由于动圆与定圆相外切，且与直线相切，

动圆圆心到点的距离比它到直线的距离大，

所以，动圆圆心到点的距离等于它到直线的距离，

所以，动圆圆心的轨迹是以点为圆心，以直线为准线的抛物线，

设动圆圆心的轨迹方程为，则，可得，

所以，动圆圆心的轨迹方程为.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：

（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；

（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；

（3）相关点法：用动点的坐标．表示相关点的坐标．，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；

（4）参数法：当动点坐标．之间的直接关系难以找到时，往往先寻找．与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；

（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.

17．【答案】

【解析】

由，得，则的焦点为，准线为：.

的几何意义是点到与点的距离之和，

根据抛物线的定义点到的距离等于点到的距离，

所以的最小值为.

故答案为：.

18．【答案】

【解析】分析：本题首先可设．，则．，然后两式相减，可得，再然后根据．两点在斜率为的直线上得出，最后根据线段中点的纵坐标为即可求出结果.

详解：设，，则，，

两式相减得，即，

因为．两点在斜率为的直线上，

所以，即，

因为线段中点的纵坐标为，所以，

则，，抛物线的方程是，

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线相交的相关问题的求解，考查中点坐标的相关性质，考查直线斜率的应用，考查计算能力，是中档题.