数学必修 第二册7.3* 复数的三角表示精练

7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 (精练）

A学业基础

1.复数的三角形式是 (　　)

A.              B.

C.              D.

解析:(sin 10°+icos 10°)(sin 10°+icos 10°)=(cos 80°+isin 80°)╳

(cos 80°+isin 80°)=cos 160°+isin 160°.

答案:B

2．（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

.故选：C.

3．复数是方程的一个根，那么的值等于（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【解析】由题意得，，故选:B.

4.将复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是（    ）

A．2i  B．

C．  D．

【答案】B

【解析】复数的三角形式是，向量对应的复数

,故选:B

5.计算=             

解析:(cos 40°+isin 40°)÷(cos 10°+isin 10°)=cos 30°+isin 30°=+i.

6.将复数对应的向量顺时针旋转,则所得向量对应的复数为              

解析:1+i=(cos 45° +isin 45°),由题意知,所求复数为(1+i)[cos(-45°)+isin(-45°)]=(cos 45°+isin 45°)·[cos(-45°)+isin(-45°)]=

(cos 0°+isin 0°)=.

答案:C

7．（2022·全国·高一课时练习）一般的，复数都可以表示为的形式，这也叫做复数的三角表示，17世纪的法国数学家棣莫弗结合复数的三角表示发现并证明了这样一个关系：如果，，那么，这也称为棣莫弗定理.结合以上定理计算：______.（结果表示为，的形式）

【答案】

【详解】

．

故答案为：．

8．计算下列各式：

（1）；

（2）；

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）

.

（2）

.

9．如图，向量对应的复数为，把绕点O按逆时针方向旋转120°，得到.求向量对应的复数（用代数形式表示）.

【答案】

【解析】 向量对应的复数为

.

B应考能力

10．（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

先将2化为三角形式，再用除法法则计算即可.

【详解】

.

故选：B.

11．（    ）

A．1 B．-1 C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据复数的乘法法则，进行整理化简即可.

【详解】

故选：C.

12．计算的结果是（    ）

A．-9 B．9 C．-1 D．1

【答案】B

【分析】

直接根据复数三角形式的运算法则化简求值．

【详解】

解：

，

故选：B．

13．把复数与对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知，求复数的代数式和它的辐角主值.

【答案】,

【解析】由复数乘法的几何意义得,

又

的辐角主值为

C新素养 新题型

14．(多选)（2022·广东中山·高二期末）在复平面内，复数对应向量(为坐标原点)，设，以射线为始边，为终边逆时针旋转的角为，那么复数都可以表示为的形式，这也叫做复数的三角表示，17世纪的法国数学家棣莫弗结合复数的三角表示发现并证明了这样一个关系：如果，，那么，这也称为棣莫弗定理，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：.根据以上信息，下列说法正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．当，时，若为偶数，则复数为纯虚数

【答案】ABC

【详解】

解：对于A选项，由题知，所以，，所以，故A选项正确；

对于B选项，，故B选项正确；

对于C选项，由题知对应的三角形式为，所以，故C选项正确；

对于D选项，当，时，，，当为偶数时，不妨设，则，故当为偶数时，不是纯虚数，故D选项错误.

故选：ABC

15．如图，复平面内的是△ABC等边三角形，它的两个顶点A，B的坐标分别为，求点C的坐标.

【答案】C坐标为

【解析】将原点0平移至A点，建立平面直角坐标系，则

，

将绕点A顺时针方向旋转得

，

∴在原平面直角坐标系xOy中，

点C坐标为，即.