必修 第二册第七章 复数7.2 复数的四则运算优质教学设计

这是一份必修 第二册第七章 复数7.2 复数的四则运算优质教学设计，共8页。


课题
7.2复数的四则运算
单元
第七单元
学科
数学
年级
高一
教材分析
本节内容是建立在复数的概念的基础上展开的，学习复数的四则运算，掌握复数的四则运算，以便解决更多的实际问题。
教学目标与核心素养
1.数学抽象：利用坐标系和平面向量将复数具体刻画出来，便于更好的理解复数的四则运算；2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力；
3.数学建模：通过复数的四则运算解决更多在实数范围内无法解决的问题；
4.直观想象：利用数形结合法探究复数的四则运算；
5.数学运算:能够正确理解复数的四则运算及其运算律；
6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点
数系扩充、复数概念及复数的几何意义
难点
复数概念及复数的几何意义
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
旧知导入：
思考1：你还记得复数的概念是什么吗？
思考2：复数怎样表示？
思考3：复数的几何意义是什么？
复数第一种几何意义：

复数的第二种几何意义：

学生思考问题，引出本节新课内容。
设置问题，回顾旧知，激发学生学习兴趣，并引出本节新课。
讲授新课
知识探究（一）：复数的加、减运算
复数的加法运算
我们规定，复数的加法法则如下：
思考1：复数的加法满足交换律、结合律吗？
复数加法的交换律
复数加法的结合律
思考2：我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，而我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？
复数加法的几何意义：
思考3：我们知道，实数的减法是加法的逆运算。类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？
复数的减法运算
这就是复数的减法法则。
由此可见，两个复数的差是一个确定的复数。
可以看出，两个复数相减，类似于两个多项相减。
思考4：类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？
复数减法的几何意义：
这就是复平面内的两点的距离公式。显然，这个公式和平面直角坐标系中两点的距离公式是一样的。
小试牛刀
1、计算下列各式
（1）(2+4i)+(3-4i)=(2+3)+(4-4)i=5
（2）5-(3+2i)=(5-3)+(0-2)i=2-2i
（3）(-3-4i)+(2+i)-(1-5i)=(-3+2-1)+(-4+1+5)i= -2+2i
（4）(2-i)-(2+3i)+4i=(2-2+0)+(-1-3+4)i=0
2、已知四边形ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，求点D对应的复数．
解：设点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)．
则eq \(AD,\s\up16(→))对应的复数为(x＋yi)－(1＋3i)＝(x－1)＋(y－3)i，
又eq \(BC,\s\up16(→))对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i.
由已知得eq \(AD,\s\up16(→))＝eq \(BC,\s\up16(→))，∴(x－1)＋(y－3)i＝2＋2i，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＝2，,y－3＝2，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝5，))
即点D对应的复数为3＋5i.
3. 已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.
解：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①(a－c)2＋(b－d)2＝1.②
由①②得2ac＋2bd＝1.
∴|z1＋z2|＝eq \r(a＋c2＋b＋d2)
＝eq \r(a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd)＝eq \r(3).
知识探究（二）：复数的乘、除运算
复数的乘法运算
我们规定，复数的乘法法则如下：
思考1：复数的乘法满足交换律、结合律吗？乘法对加法满足分配律吗？
复数乘法的交换律
复数乘法的结合律
复数乘法的分配律
思考2：
以上这个结论在做题时可以直接使用。
思考3： 类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算。试着来探求复数除法的运算法则？
复数的除法运算
知识扩展
【探究】 i 的指数变化规律
你能发现规律吗？有怎样的规律？
例题讲解
例7、计算：(1)eq \f(2＋2i,1－i2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),1＋i)))2020；
(2)1＋i＋i2＋i3＋…＋i2019.
解：(1)eq \f(2＋2i,1－i2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),1＋i)))2020＝eq \f(2＋2i,－2i)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,2i)))1010＝i(1＋i)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,i)))1010＝－1＋i＋(－i)1010＝－1＋i－1＝i－2.
(2)解法一：∵in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0，n∈N*，
∴1＋i＋i2＋i3＋…＋i2019＝1＋i＋i2＋i3＋(i4＋i5＋i6＋i7)＋(i8＋i9＋i10＋i11)＋…＋(i2016＋i2017＋i2018＋i2019)＝1＋i＋i2＋i3＝0.
解法二：1＋i＋i2＋…＋i2019＝eq \f(1－i2020,1－i)＝eq \f(1－i505×4,1－i)＝eq \f(1－1,1－i)＝0.
提升训练
1、已知平行四边形OABC，顶点O,A,C分别表示0，3+2i,-2+4i,试求：
解：如图所示：
（1）根据复数的几何意义,满足条件的复数z 在复平面上对应的点的轨迹是
以（1，1）为圆心，半径为1的圆.
（2）满足条件的复数z 在复平面上对应的点的轨迹是以（2，3）为圆心，半径为2的圆.
结论：
满足条件 的复数z在复平面上对应的点的轨迹是以（a，b）为圆心，半径为r的圆.
3、
解：
4、求值：
5、若是关于的方程
的一个根，求a,b的值。
解：
规定复数的加法和减法运算法则，再由学生探究加法和减法的运算律。
学生根据环环相扣的思考题，探究得出复数加法和减法的几何意义。
学生通过例题和练习题，巩固复数加法运算法则和运算律，并能够灵活运用.
规定复数的乘法和除法运算法则，再由学生探究乘法的运算律。
学生通过例题和练习题，巩固复数乘法和除法运算法则和运算律，并能够灵活运用.
学生和教师共同探究完成5个提升训练。
理解掌握加法和减法的运算法则，并探究得出加法和减法的运算律,培养学生探索的精神.
通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.
利用例题和练习题，化抽象为具体，提高学生的抽象能力和逻辑思维能力。
理解掌握乘法和除法的运算法则，并探究得出乘法的运算律,培养学生探索的精神.
利用例题和练习题，化抽象为具体，提高学生的抽象能力和逻辑思维能力。
通过提升训练，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神。
课堂小结
复数的加减运算及其几何意义；
复数的乘除运算；
学生回顾本节课知识点，教师补充。
让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用。
板书

教学反思