数学必修 第二册7.2 复数的四则运算教案

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第七章 复数
7.2 复数的四则运算
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
教学设计
一、 教学目标
1. 能进行复数的代数形式的加、减法运算。
2. 了解复数加、减运算的几何意义，能利用数形结合的思想解题。
二、 教学重难点
1. 教学重点
复数的代数形式的加、减法运算，复数加、减运算的几何意义。
2. 教学难点
复数减法的运算法则。
三、 教学过程
1. 新课导入
在上一节，我们把实数集扩充到了复数集。引入新数集后，就要研究其中的数之间的运算。下边就来讨论复数集中的运算问题。请同学们思考实数集中的四则运算是否在复数集中仍然适用？
2. 探索新知
我们规定，复数的加法法则如下：设z1=a+bi，z2=c+di（a,b,c,d∈R）是任意两个复数，那么它们的和(a+bi)+( c+di)=(a+c)+(b+d)i。实部相加为实部，虚部相加为虚部。很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数。特别地，当z1，z2都是实数时，把它们看作复数时的和就是这两个实数的和。可以看出，两个复数相加，类似于两个多项式相加。
容易得到，对任意z1，z2 ，z3∈C，有z1+z2= z2+ z1，（z1+z2）+ z3=z1+（z2+ z3）。
如图，设OZ1，OZ2分别与复数a+bi，c+di对应，则OZ1=（a,b），OZ2=（c,d）。由平面向量的坐标运算法则，得OZ1+OZ2=（a+c，b+d）。这说明两个向量OZ1与OZ2的和就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量。因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义。
我们知道，实数的减法是加法的逆运算。类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？
我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足（c+di）+（x+yi）=a+bi的复数x+yi（x,y∈R）叫做复数a+bi（a,b∈R）减去复数c+di（c,d∈R）的差，记作(a+bi)-( c+di)。根据复数相等的含义，c+x=a,d+y=b，因此x=a-c,y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i即(a+bi)-( c+di)= (a-c)+(b-d)i。这就是复数的减法法则。由此可见，两个复数的差是一个确定的复数。可以看出，两个复数相减，类似于两个多项式相减。
类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？学生自主思考。
3. 课堂练习
1．复数z1＝a＋4i(a∈R)，z2＝－3＋bi(b∈R)，若它们的和为实数，差为纯虚数，则(　　)
A．a＝－3，b＝－4　　　　　　　 B．a＝－3，b＝4
C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4
解析：选A.由题意，可知z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i是实数，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i是纯虚数，故，解得a＝－3，b＝－4，故选A.
2．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是(　　)
A．2＋4i B．－2＋4i
C．－4＋2i D．4－2i
解析：选D.依题意有＝＝－，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，即对应的复数为4－2i.
3．若z＋3－2i＝4＋i，则z等于(　　)
A．1＋i B．1＋3i
C．－1－i D．－1－3i
解析：选B.因为z＋3－2i＝4＋i，
所以z＝4＋i－3＋2i＝1＋3i.
4．设z＝3－4i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内的对应点在第________象限．
解析：三；因为z＝3－4i，所以|z|＝5，所以z－|z|＋(1－i)＝3－4i－5＋(1－i)＝－1－5i.
5．已知|z|＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝________．
解析：因为z＋2i是实数，可设z＝a－2i(a∈R)，由|z|＝4得a2＋4＝16，
所以a2＝12，所以a＝±2，所以z＝±2－2i.
答案：±2－2i
6．复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为________．
解析：＋1；
|z1－z2|＝|(1＋icos θ)－(sin θ－i)|
＝　　＝
＝　　
≤＝＋1.
7．计算：
(1)(－i)＋＋1；
(2)－＋i；
(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．
解：(1)原式＝(－)＋i＋1＝1－i.
(2)原式＝＋i＝＋i.
(3)原式＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i＝－11i.
4. 小结作业
小结：本节课学习了复数的加、减法运算及其几何意义。
作业：完成本节课课后习题。
四、 板书设计
7.2.1复数的加、减法运算及其几何意义
复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di（a,b,c,d∈R）是任意两个复数，那么它们的和(a+bi)+( c+di)=(a+c)+(b+d)i。
复数的加法运算律：对任意z1，z2 ，z3∈C，有z1+z2= z2+ z1，（z1+z2）+ z3=z1+（z2+ z3）
复数的减法法则：(a+bi)-( c+di)= (a-c)+(b-d)i