高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算学案设计

7.2 复数的四则运算7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义【学习目标】【自主学习】一．复数加、减法的运算法则及加法运算律1.加、减法的运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2＝ ，z1－z2＝ ．2.加法运算律对任意z1，z2，z3∈C，有交换律：z1＋z2＝ ．②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．二．复数加、减法的几何意义如图所示，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)对应的向量分别为eq \o(OZ1,\s\up6(→))，eq \o(OZ2,\s\up6(→))，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是eq \o(OZ,\s\up6(→))，与z1－z2对应的向量是eq \o(Z2Z1,\s\up6(→)).【小试牛刀】思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)复数与向量一一对应. (　　)(2)在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．(　　)(3)复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形．(　　)(4) 复数与复数相加减后结果只能是实数．(　　)(5)若复数z1，z2满足z1－z2＞0，则z1＞z2.(　　)(6)复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立．(　　) 【经典例题】题型一 复数的加、减法运算点拨： 两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算。 例1 计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)。【跟踪训练】1已知复数z满足z＋(1＋2i)＝5－i，则z＝____________．题型二 复数加、减法的几何意义点拨：1.复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算．2.复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．　 例2 根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点Z1 (x1 , y1) ,Z2 (x2 , y2) 间的距离。【跟踪训练】2 在复平面内，A，B，C，三点分别对应复数1，2＋i，－1＋2i.(1)求eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(AC,\s\up6(→))，eq \o(BC,\s\up6(→))对应的复数；(2)判断△ABC的形状．【当堂达标】1. (多选)设复数z满足z＋|z|＝2＋i，那么(　　)A．z的虚部为i B．z的虚部为1C．z＝－eq \f(3,4)－i D．z＝eq \f(3,4)＋i2.已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝(　 　)A．8i B．6C．6＋8i D．6－8i3.在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为(　　)A.eq \r(5) B．5C．2eq \r(5) D．104.若复数z1＝1＋3i，z2＝－2＋ai，且z1＋z2＝b＋8i，z2－z1＝－3＋ci，则实数a＝________，b＝________，c＝________．5.A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB一定是 三角形.6.已知四边形OACB是复平面内的平行四边形，O为原点，点A，B分别表示复数3＋i,2＋4i，M是OC，AB的交点，如图所示，求点C，M表示的复数．【参考答案】【自主学习】(a＋c)＋(b＋d) i (a－c)＋(b－d)i z2＋z1【小试牛刀】(1) ×　(2) √　(3) ×　(4)×　(5)× (6)×【经典例题】例1 解 原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i.【跟踪训练】1 4－3i 解析：z＝(5－i)－(1＋2i)＝4－3i.例2【跟踪训练】2 解：(1)A，B，C三点分别对应复数1，2＋i，－1＋2i.所以eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))，eq \o(OC,\s\up6(→))对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i(O为坐标原点)，所以eq \o(OA,\s\up6(→))＝(1，0)，eq \o(OB,\s\up6(→))＝(2，1)，eq \o(OC,\s\up6(→))＝(－1，2)．所以eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \o(OB,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→))＝(1，1)，eq \o(AC,\s\up6(→))＝eq \o(OC,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→))＝(－2，2)，eq \o(BC,\s\up6(→))＝eq \o(OC,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→)) ＝(－3，1)．即eq \o(AB,\s\up6(→))对应的复数为1＋i，eq \o(AC,\s\up6(→))对应的复数为－2＋2i，eq \o(BC,\s\up6(→))对应的复数为－3＋i.(2)因为|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(1＋1)＝eq \r(2)，|eq \o(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(（－2）2＋22)＝eq \r(8)，|eq \o(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(（－3）2＋1)＝eq \r(10)，因为|eq \o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \o(AC,\s\up6(→))|2＝10＝|eq \o(BC,\s\up6(→))|2.且|eq \o(AB,\s\up6(→))|≠|eq \o(AC,\s\up6(→))|，所以△ABC是以角A为直角的直角三角形．【当堂达标】1. BD 解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＋yi＋eq \r(x2＋y2)＝2＋i，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋\r(x2＋y2)＝2，,y＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,4)，,y＝1，))∴z＝eq \f(3,4)＋i.∴z的虚部为1.2.B 解析：z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.3. B 解析：依题意，eq \o(AC,\s\up6(→))对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5.4. 5　－1　2 解析：z1＋z2＝(1－2)＋(3＋a)i＝－1＋(3＋a)i＝b＋8i，z2－z1＝(－2－1)＋(a－3)i＝－3＋(a－3)i＝－3＋ci，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－1，,3＋a＝8，,a－3＝c，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－1，,a＝5，,c＝2.))5. 直角 解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB为直角三角形．6. 解：因为eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))分别表示复数3＋i,2＋4i，所以eq \o(OC,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋Oeq \o(B,\s\up6(→))表示的复数为(3＋i)＋(2＋4i)＝5＋5i，即点C表示的复数为5＋5i.又eq \o(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(OC,\s\up6(→))，所以eq \o(OM,\s\up6(→))表示的复数为eq \f(5,2)＋eq \f(5,2)i，即点M表示的复数为eq \f(5,2)＋eq \f(5,2)i.素 养 目 标学 科 素 养掌握复数代数形式的加法、减法运算法则;理解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义。1.数学运算;2.直观想象