高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.2 复数的四则运算精品一课一练

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1．复数的加法运算及其几何意义
(1)复数的加法法则
设 SKIPIF 1 < 0 =a+bi， SKIPIF 1 < 0 =c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数，那么 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 =(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(2)复数的加法满足的运算律
对任意 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ∈C，有
①交换律： SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ；
②结合律：( SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 )+ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 +( SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ).
(3)复数加法的几何意义
在复平面内，设 SKIPIF 1 < 0 =a+bi， SKIPIF 1 < 0 =c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 =(a,b)， SKIPIF 1 < 0 =(c,d).以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 对应的线段为邻边作平行四边形 SKIPIF 1 < 0 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 =(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.
2．复数的减法运算及其几何意义
(1)复数的减法法则
类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数
x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).
根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di)
=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.
(2)复数减法的几何意义
两个复数 SKIPIF 1 < 0 =a+bi， SKIPIF 1 < 0 =c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么这两个复数的差
SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 对应的向量是 SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 ，即向量 SKIPIF 1 < 0 .
如果作 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，那么点Z对应的复数就是 SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 (如图所示).
这说明两个向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的差 SKIPIF 1 < 0 就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向
量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.
3．复数的乘法运算
(1)复数的乘法法则
设 SKIPIF 1 < 0 =a+bi， SKIPIF 1 < 0 =c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+ SKIPIF 1 < 0
=(ac-bd)+(ad+bc)i.
可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把 SKIPIF 1 < 0 换成-1，并且把实部与
虚部分别合并即可.
(2)复数乘法的运算律
对于任意 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ∈C，有
①交换律： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
②结合律：( SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ) SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 )；
③分配律： SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 )= SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 和正整数m,n，有 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 .
4．复数的除法
(1)定义
我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除
以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或 SKIPIF 1 < 0 (a,b,c,d∈R，且c+di≠0).
(1)复数的除法法则
(a+bi)÷(c+di)= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 i(a,b,c,d∈R，且
c+di≠0).
由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.
5．|z-z0| (z, z0∈C ) 的几何意义
设复数 SKIPIF 1 < 0 =a+bi， SKIPIF 1 < 0 =c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是 SKIPIF 1 < 0 (a,b)， SKIPIF 1 < 0 (c,d)，
则| SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 |= SKIPIF 1 < 0 ，又复数 SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 =(a-c)+(b-d)i，则| SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 |= SKIPIF 1 < 0 .
故| SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 |=| SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 |，即| SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 |表示复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点之间的距离.
6．复数范围内实数系一元二次方程的根
若一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 +bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当 SKIPIF 1 < 0 >0时，方程有两个不相等的实根 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 =0时，方程有两个相等的实根 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 =- SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 <0时，方程有两个虚根 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，且两个虚数根互为共轭复
数.
7．复数运算的常用技巧
(1)复数常见运算小结论
① SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 ；
③ SKIPIF 1 < 0 ；
④ SKIPIF 1 < 0 ；
⑤ SKIPIF 1 < 0 .
(2)常用公式
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 .
【题型1 复数的加、减运算】
【方法点拨】
两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算，两个复数
相减，也可以看成是加上这个复数的相反数.当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所
有虚部相加(减).
【例1】（2022秋·贵州毕节·高三阶段练习）已知，，则（ ）
A．4B．C．D．
【解题思路】根据复数加法法则，实部和虚部分别相加即可得出结果.
【解答过程】由，得，，故选：D.
【变式1-1】（2022秋·陕西延安·高三阶段练习）若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】设复数 ，利用复数的加减运算法则，解出a，b，即可得z.
【解答过程】设 ，则，
所以，得，所以.故选：B.
【变式1-2】（2022春·广西桂林·高一期末）（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用复数的加法运算直接计算作答.
【解答过程】.故选：A.
【变式1-3】（2023·山西大同·大同市模拟预测）若复数满足，则=（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由复数的运算法则与复数相等的概念求解即可
【解答过程】设，则，所以，
，所以，所以.
故选：A.
【题型2 复数加、减法的几何意义的应用】
【方法点拨】
(1)向量加、减运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加、减法几何意义的依据.
(2)利用向量的加法“首尾相接”和减法“指向被减向量”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复
数.
【例2】（2022春·北京西城·高一阶段练习）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（ ）
A．1+iB．1－iC．－1+iD．－1－i
【解题思路】根据复数加法的几何意义及法则即可求解.
【解答过程】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，
又因为，所以由复数加法的几何意义可得，.
故选：C.
【变式2-1】（2022·高一课时练习）在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为（ ）
A．B．5C．2D．10
【解题思路】根据复数减法的几何意义求出向量对应的复数，再根据复数的模的计算公式即可求出．
【解答过程】依题意，对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5.
故选：B．
【变式2-2】（2022·全国·高一专题练习）如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（ ）．
A．B．C．D．
【解题思路】利用复数的几何意义、向量的平行四边形法则即可得出．
【解答过程】∵ ，∴ 对应的复数为：，
∴点对应的复数为．故选D．
【变式2-3】（2022春·高一课时练习）如图，设向量，，所对应的复数为z1，z2，z3，那么（ ）
A．z1－z2－z3＝0 B．z1＋z2＋z3＝0 C．z2－z1－z3＝0 D．z1＋z2－z3＝0
【解题思路】由向量，结合向量减法运算得，再由复数的几何意义即可求解.
【解答过程】由题图可知，，，∴z1＋z2－z3＝0.故选：D.
【题型3 复数的乘除运算】
【方法点拨】
(1)复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将 SKIPIF 1 < 0 换成-1，并将实部、虚部分别合并.
(2)复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即
将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算.
【例3】（2023·辽宁·辽宁模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据复数的四则运算和共轭复数的概念即可求解.
【解答过程】因为，所以.故选：B.
【变式3-1】（2023·湖北·校联考模拟预测）在复平面内，复数对应的点为，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由复数对应的点的坐标得到，利用复数除法法则计算出答案.
【解答过程】由题意可知，所以.故选：C.
【变式3-2】（2022春·陕西榆林·高二期中）已知复数（i为虚数单位）的共轭复数为，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】先得到，从而利用复数乘法法则计算出答案.
【解答过程】由题意得：，故.故选：C.
【变式3-3】（2022秋·河北唐山·高三阶段练习）已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据复数的运算法则，以及共轭复数的定义进行求解即可.
【解答过程】因为，所以，则.故选：A.
【题型4 虚数单位i的幂运算的周期性】
【方法点拨】
根据虚数单位i的幂运算的周期性，进行求解即可.
【例4】（2022·云南红河·校考模拟预测）已知i为虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用复数的除法运算和乘方运算，进行化简、整理，即可得答案．
【解答过程】．故选：B．
【变式4-1】（2022春·湖北十堰·高一阶段练习）（ ）
A．B．1C．D．
【解题思路】根据的周期性，计算即可得到结果.
【解答过程】因为,则故选:A.
【变式4-2】（2022·全国·高一假期作业）设是虚数单位，则的值为（ ）
A．B．C．D．0
【解题思路】利用的周期性求解，连续4项的和为0.
【解答过程】，的取值周期为4，连续4项的和为0，所以，
故选:B.
【变式4-3】（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】先利用复数除法化简，再结合的乘方的周期性，可得解.
【解答过程】.故选：A.
【题型5 解复数方程】
【方法点拨】
实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a+bi(a,b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的根，则
其共轭复数a-bi是该方程的另一根，据此进行求解即可.
【例5】（2022·重庆江北·校考一模）已知复数是关于的方程的一个根，则实数的值为（ ）
A．B．2C．D．4
【解题思路】根据是关于的方程的一个根，代入计算即可求解.
【解答过程】因为是关于的方程的一个根，
所以，即，所以，解得：，故选：.
【变式5-1】（2022秋·宁夏石嘴山·高三期中）已知复数（为虚数单位）为实系数方程的一根，则（ ）
A．4B．2C．0D．
【解题思路】将代入方程中，根据复数相等的充要条件即可求解.
【解答过程】因为是方程的根，所以，
，且，故选：C.
【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习）已知是方程的虚数根，则（ ）
A．0B．C．D．
【解题思路】由题设有且，将目标式化简为，即可得结果.
【解答过程】由题设，且，
而 ，
所以原式等于.故选：C.
【变式5-3】（2022秋·上海宝山·高二阶段练习）若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【解题思路】由一元二次方程求根公式即可建立方程组求解
【解答过程】方程的根为，为其中一个复数根，
则有，解得.故选：D.
【题型6 四则运算下的复数概念】
【方法点拨】
先根据复数的四则运算法则进行化简复数，再结合复数的有关概念，进行求解即可.
【例6】（2022·江苏常州·校考模拟预测）已知复数是纯虚数，是实数，则（ ）
A．－B．C．－2D．2
【解题思路】由题意设，代入中化简，使其虚部为零，可求出的值，从而可求出复数，进而可求得其共轭复数.
【解答过程】由题意设，则，
因为是实数，所以，得，所以，所以，故选：A.
【变式6-1】（2023秋·江西抚州·高三期末）已知复数满足，则复数（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据题意，由复数的运算即可得到，再由共轭复数的定义即可得到结果.
【解答过程】因为复数满足，则，所以，故选:B.
【变式6-2】（2023秋·江苏扬州·高三期末）若i为虚数单位，复数z满足，则z的实部为（ ）．
A．B．3C．D．2
【解题思路】通过条件计算出复数z的代数形式，即可得实部.
【解答过程】，则，
则z的实部为.故选：D.
【变式6-3】在复平面内，复数（ ）
A．位于第一象限 B．对应的点为 C． D．是纯虚数
【解题思路】根据复数的除法运算化简，根据复数的相关概念一一判断各选项，即得答案.
【解答过程】由题意可得，故复数对应的点为，位于y轴正半轴上，故错误；，C错误；为纯虚数，D正确，故选：D.
专题7.2 复数的四则运算（重难点题型检测）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2023·高一课时练习）在复数范围内，有下列命题：①的平方根只有i；②i是1的平方根；③若复数是某一元二次方程的根，则一定是方程的另一个根；④若z为纯虚数i，则z的平方根为虚数．上述命题中真命题的个数为（ ）
A．3B．2C．0D．1
【解题思路】对于①②，根据平方根的定义即可判断；对于③，举反例即可排除；对于④，利用平方根的定义与复数相等的性质求得的平方根，从而得以判断.
【解答过程】对于①，的平方根有两个，分别为和，故①错误；
对于②，1的平方根是和1，故②错误；
对于③，令，则是方程的一个根，但方程的另一个根是，并非，实际上，只有实系数方程的虚根才是共轭复数，故③错误；
对于④，设的平方根为，则，即，
故，解得或，
所以的平方根为或，显然z的平方根是虚数，故④正确；
综上：①②③错误，④正确，故真命题的个数为.故选：D.
2．（3分）（2022秋·云南·高三阶段练习）已知复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由复数的坐标表示，共轭复数定义可得答案.
【解答过程】由题意知，则.故选：A.
3．（3分）已知复数是纯虚数，则（ ）
A．3B．1C．D．
【解题思路】求出复数的代数形式，再根据纯虚数的概念列式计算.
【解答过程】,因为复数是纯虚数，则，解得，
故选：B.
4．（3分）若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义以及复数的运算可得出，再利用复数的模长公式可求得结果.
【解答过程】因为，则，则，
所以，，因此，.故选：D.
5．（3分）（2022秋·江苏南通·高三阶段练习）已知，则在复平面内，其共轭复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【解题思路】利用复数的运算化简复数，可得其共轭复数，利用复数的几何意义可得出结论.
【解答过程】因为，则，则，
所以，，因此，复数所对应的点位于第四象限.故选：D.
6．（3分）（2023春·福建泉州·高三阶段练习）已知复数是关于的方程的一个根，则（ ）
A．4B．C．D．
【解题思路】将代入方程，利用复数相等得到方程组解出，再利用模长公式求解即可.
【解答过程】由题意可得，即，
所以，所以，解得，
所以，故选：C.
7．（3分）（2022春·北京西城·高一阶段练习）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（ ）
A．1+iB．1－iC．－1+iD．－1－i
【解题思路】根据复数加法的几何意义及法则即可求解.
【解答过程】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，又因为，
所以由复数加法的几何意义可得，.,故选：C.
8．（3分）（2023秋·上海·高二期末）设（、、）.已知关于的方程有纯虚数根，则关于的方程的解的情况，下列描述正确的是（ ）
A．方程只有虚根解，其中两个是纯虚根
B．可能方程有四个实数根的解
C．可能有两个实数根，两个纯虚数根
D．可能方程没有纯虚数根的解
【解题思路】根据给定条件，设，再利用方程根的意义结合复数相等，推理计算判断作答.
【解答过程】，，关于的方程有纯虚数根，设纯虚数根为，则有，即，即有，，，方程化为，方程有两个纯虚数根为，
方程化为：，
整理得，于是得或，
因此方程有两个纯虚数根，
而方程中，，
因此方程无实数根，有两个虚数根，不是纯虚数根，
所以选项A正确，选项B，C，D均不正确.故选：A.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022秋·湖南长沙·高三阶段练习）已知复数，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．的虚部为1
C．D．
【解题思路】先化简复数，然后求出的共轭复数即可验证选项AB，
求出复数的模验证选项C，化简选项D即可
【解答过程】因为，所以，故A正确；
的虚部为，故选项B错误；由，故选项C正确，
由，所以，故选项D错误，故选：AC.
10．（4分）（2022春·安徽合肥·高一期中）在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（ ）
A．点位于第二象限B．C．D．
【解题思路】由题意画出图形，求出的坐标，得到，然后逐一分析四个选项得答案．
【解答过程】解：如图，
由题意，，，，为平行四边形，则，，点位于虚轴上，故错误；
，故正确；，故正确；
，故错误．故选：．
11．（4分）（2023秋·河北唐山·高三期末）已知为虚数单位，复数，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【解题思路】根据复数运算、共轭复数、复数相等等知识确定正确答案.
【解答过程】A选项，，A选项正确.B选项，，B选项错误.
C选项，，，
若，则，解得，所以C选项正确.
D选项，当时，，所以D选项错误.故选：AC.
12．（4分）（2023秋·重庆·高三学业考试）已知复数是关于x的方程的两根，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．C．D．若，则
【解题思路】在复数范围内解方程得，然后根据复数的概念、运算判断各选项．
【解答过程】，∴，不妨设，，
，A正确；，C正确；
，∴，时，，B错；
时，，，计算得，
，，同理，D正确．故选：ACD．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·全国·高三专题练习）已知复数，则复数 .
【解题思路】先利用等比数列的前n项和求出，利用的周期性即可求解.
【解答过程】.
因为，而，
所以，所以.故答案为：.
14．（4分）（2023·高一课时练习）在平行四边形中，对角线与相交于点O，若向量，对应的复数分别是，，则向量对应的复数是 .
【解题思路】利用复数的几何意义，由求解.
【解答过程】因为向量，对应的复数分别是，，
所以故答案为：.
15．（4分）（2022·吉林长春·长春模拟预测）已知是实数，关于的方程的两个虚数根为.若，则的值为 .
【解题思路】根据求出参数的取值范围，再由韦达定理及虚根成对原理求出，，再由得到方程，解得即可.
【解答过程】解：因为关于的方程的两个虚数根为，（是实数），
则，解得或，
所以，，
根据虚根成对原理可得，又因为，所以或，
于是，得到，于是（符合题意）．
故答案为：.
16．（4分）（2022春·上海浦东新·高一期末）以下四个命题中所有真命题的序号是 （1） ．
（1）若、，则；
（2）若、，则；
（3）若、，，则，；
（4）若、，，，则．
【解题思路】设出复数、，由共轭复数及复数的运算即可判断（1）、（2）；取特殊的复数、，由复数的运算即可判断（3）、（4）.
【解答过程】设，对于（1），，则
，（1）正确；
对于（2），，
，则，（2）错误；
对于（3），取，显然满足、，又，但，故（3）错误；
对于（4），取，显然满足、，又，但，故（4）错误.故答案为：（1）.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022春·高一课时练习）计算：
(1)； (2)； (3).
【解题思路】（1）（2）（3）根据复数的加减运算法则即可求解；
【解答过程】(1)解：；
(2)解：；
(3)解：.
18．（6分）（2022·高一课时练习）如图，向量对应的复数是z，分别作出下列运算的结果对应的向量：
（1）； （2）； （3）.
【解题思路】复数与以原点为起点的向量是一一对应的，根据平行四边形法则作出相应向量即可.
【解答过程】（1）复数1与复平面内点一一对应，利用平行四边形法则作出所求向量，如图所示：
（2）复数与复平面内点一一对应，利用平行四边形法则作出所求向量，如图所示：
（3）复数与复平面内点一一对应，利用平行四边形法则作出所求向量如图所示：
19．（8分）（2023·高三课时练习）已知复数满足，且是关于的实系数一元二次方程的一个根，求的值．
【解题思路】设,根据条件求出，由和为实系数一元二次方程的两个根，可解得.
【解答过程】设，则，
得解得所以，，满足．所以．
20．（8分）（2022·高一单元测试）复数满足为纯虚数；
(1)求复数；
(2)求.
【解题思路】（1）由复数的乘法运算，纯虚数的概念，复数的模长公式求解即可；
（2）有复数的除法与乘方运算求解即可
【解答过程】（1）因为，所以，
则由题意可得：，解得，所以；
（2）.
21．（8分）（2023·高一课时练习）已知复数，，，分别记作，，，即，，，求证：
(1)；
(2)；
(3)．
【解题思路】利用复数四则运算规则即可证明（1）（2）（3）
【解答过程】（1），
，则.
（2）
，
，则.
（3）
，
，则.
22．（8分）（2022·高一单元测试）已知z为复数，为实数.
(1)当时，求复数z在复平面内对应的点Z的集合；
(2)当时，若（）为纯虚数，求的值和的取值范围.
【解题思路】（1）设，x，，将用x，y表示.由复数满足题中所给的不等式可知，复数必为实数（虚数不能比较大小）.可求出x，y所满足的关系式，再结合它们的范围，即可得到复数z在复平面内对应的点的集合；
（2）在（1）的基础上，结合本小问所给的不等式，求出实数x的范围.因为，且u为纯虚数，所以且.从而求出实数 的值为3.再结合，可以将写成关于实数x的函数，求出该函数的值域即可.
【解答过程】（1）设，x，，
则为实数，
∴，∴或.
当时，.∵，∴，
当时，解得；当时，不等式的解集为空集.
∴点Z的集合为.
当时，.∵，∴，解得.
又，∴.∴点Z的集合为.
综上，复数z在复平面内对应的点Z的集合为或.
（2）由（1）可得当时，.∵，∴，
∵当时，；当时，，
∴不等式的解集为空集.故不存在满足条件的.
当时，.∵，∴，解得.
∵为纯虚数，
∴且，∵，∴，，∴.
∵，∴.
∴，.