高中数学湘教版（2019）必修 第一册1.1 集合导学案

集合的含义与表示

【学习目标】

1．知识与技能

（1）掌握集合的概念，通过实例，正确理解集合的含义。会判断所给对象能否构成集合。知道并掌握常用数集及其专用记号。

（2）了解集合中元素的概念，掌握集合中元素的三个基本特征（确定性、互异性、无序性），会运用元素的特征来解决集合中含有参数的问题。

（3）体会元素与集合的属于关系，能判断某一元素“属于”或“不属于”某一集合。

（4）掌握集合的表示方法，会运用集合语言表示有关数学对象。

（5）理解两个集合相等的概念，会判断两个集合是否相等。

（6）了解集合的分类。

2．情感态度与价值观

通过本节的学习，使我们对集合的概念有了个基本的了解，明确集合与元素的概念及其基本关系，使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性。

【学习重难点】

重点：集合的基本概念与表示方法，集合中元素的三个基本特征的灵活运用。

难点：运用集合的两种常用表示方法列举法与描述法，正确表示一些简单的集合。

【学习过程】

（一）探索新知

1．集合的概念

集合如同平面集合中的点线面等概念一样，是集合论中的原始概念。“指定的某些对象全体称为集合。”集合通常用大写字母表示：A、B、C、P、Q……

这里应该抓住“指定”、“对象”、“全体”三个关键词。“指定”说明“某些对象”具有公共特征或共同属性，说明已具备判定对象是否成为该集合元素的判定标准，而不是随意组合。“对象”在不同的集合中，应有不同的内涵，在不同的集合中，元素可能是人、物、质点或抽象事物等。由于集合对象的任意性，有些集合的对象本身就是集合。“全体”说明集合是个整体概念，针对全部对象而言，并且在这个整体中，各元素间无先后排列要求，没有一定的顺序关系。

2．集合的元素的概念及其特征

集合中每个对象叫做这个集合的元素。通常用小写字母表示：a、b、c、p、q……

集合中的元素具有三个特征：

①确定性：对于一个给定的集合，它的元素意义应当是明确的，不会模棱两可。即指定的对象一定是明确的标准。那也就是说，设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

②互异性：一个给定集合中的元素之间必须是互异的。因此，同一集合中不应重复出现同一元素，相同对象在构成集合时只能作为一个元素出现在集合中。

③无序性：构成集合的元素间无先后顺序之分。

3．元素与集合的关系

元素与集合有属于（）和不属于（）两种关系。

①如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作

②如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作

因此，集合具有两个方面的意义：凡是符合条件的对象都是它的元素，只要是它的元素就一定符合条件。

例如：集合，则，，

4．常用数集的表示

非负整数集（或自然数集），记作N

正整数集，记作N*或N+

整数集，记作Z

有理数集，记作Q

实数集，记作R

5．集合的表示方法

我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…

描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{  }内。

具体方法：文字描述法：用文字把元素所具有的属性描述出来

符号描述法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

如：{直角三角形}，{x|x-3>2}，{(x，y)|y=x2+1}，{xR|x<5}，…

注：要弄清元素既有的形式，是数、是点还是集合等。即{(x，y)|y=x2+3x+2}与{y|y=x2+3x+2}不同。还要弄清元素具有怎样的属性。列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。列举法常用于集合元素有限且个数不多的情况。

6．集合的相等

集合相等即为构成两个集合的元素完全相同：

①个数相同。

②对于其中一个集合的元素，在另一个集合中也可以找到这个元素。

例如：集合与，则；集合与，则

注意：两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，应该判断出这两个集合的所有元素。

7．集合的分类

按集合的元素个数多少，可分为有限集、无限集和空集。空集就是不含任何元素的集合。记作。空集是特殊的集合，我们要提高警惕。

例如：若集合的元素都是集合的元素，求a值

此时应该考虑，，，这几种情况。

（二）例题分析

例1：考察下列对象是否能形成一个集合？

①身材高大的人②所有的正三角形

③直角坐标平面上纵横坐标相等的点④细长的矩形的全体

⑤比2大的几个数⑥的近似值的全体

⑦所有的数学难题⑧某校高一年级的16岁以下的学生

⑨参加奥运会的年轻运动员⑩a，b，a，c

解析：①④⑤⑥⑦⑨⑩不能构成集合，②③⑧可以构成集合。

判断每个对象是否具有“确定性”是判断其能否构成集合的关键。而判断一个对象是不是确定的，关键就是要找到是否有一个衡量标准，同事还要注意集合中的元素的互异性、无序性。

例2：设P、Q为两个非空实数集合，定义集合，若，，则P+Q中元素的个数为（  ）

A．9  B．8  C．7  D．6

解析：将P+Q的元素一一列举出来即可。a+b的所有可能有1，2，6，3，4，8，6，7，11

根据集合元素的互异性，则，所含元素的个数为8．选B．

例3：已知集合与，，求的值。

解析：由的互异性得，且

解得：

因此，

例4：用列举法表示下列集合：

①

②

③

解析：①{-4，-1，0，1，3，4，5，8}

②

③{(1，2)，(2，4)，(3，6)}

解答此题，关键在于根据集合元素的特征和它满足的条件，将集合中的元素一一列举出来。

例5：数集A满足条件：若则。若，则集合中的其他元素为____________。

解析：

所以，当时，集合中的其他元素为

此题利用集合的定义，指定的某些对象全体称为集合。给出了集合中的一个元素，根据所给的运算法则，可以算出集合中的其他数，且集合中的任意数都满足这个运算法则：对于则

【学习小结】

本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明，然后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法。