人教版新课标A必修11.1.1集合的含义与表示第2课时导学案

第2课时　集合的表示

授课提示：对应学生用书第3页

[基础认识]

知识点一　列举法

　高铁、移动支付、共享单车和网购被誉为中国新四大发明．你能用集合表示吗？

提示：能，可以一一列举出，表示为{高铁，移动支付，共享单车，网购}．　　　

　知识梳理　把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．

知识点二　描述法

观察下列集合：

①不等式x－2≥3的解集；

②函数y＝x2－1的图象上的所有点．

(1)这两个集合能用列举法表示吗？

提示：不能．

(2)如何表示这两个集合？

提示：利用描述法．　　　

　知识梳理　1.定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．

2．具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．

[自我检测]

1．用列举法表示方程x2－1＝0的解集为__________．

解析：方程x2－1＝0的解为－1,1，所求集合为{－1,1}．

答案：{－1,1}

2．集合{x∈N|x≤6}中的元素为__________．

解析：∵{x∈N|x≤6}＝{0,1,2,3,4,5,6}

∴该集合中的元素为0,1,2,3,4,5,6.

答案：0,1,2,3,4,5,6

3．用描述法表示大于0且小于9的实数x的集合为__________．

解析：大于0且小于9的实数x的集合为{x∈R|0＜x＜9}．

答案：{x∈R|0＜x＜9}

授课提示：对应学生用书第4页

探究一　列举法表示集合

[阅读教材P4例2]用列举法表示下列集合：

(1)小于10的所有自然数组成的集合；

(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；

(3)由1～20以内的所有质数组成的集合．

　题型：列举法表示集合

[例1]　用列举法表示下列集合：

(1)不大于10的非负偶数组成的集合；

(2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；

(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；

(4)由所有正整数构成的集合．

[解析]　(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是 {0,2,4,6,8,10}．

(2)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}．

(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}．

(4)正整数有1,2,3，…，所求集合为{1,2,3，…}．

方法技巧　1.用列举法表示集合应注意的三点

(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素；

(2)集合中的元素一定要写全，但不能重复；

(3)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素．

跟踪探究　1.用列举法表示下列集合：

(1)小于10的所有自然数组成的集合；

(2)由1～20以内的所有质数组成的集合．

解析：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．

(2)设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．

探究二　描述法表示集合

[例2]　用描述法表示下列集合：

(1)正偶数集；

(2)被3除余2的正整数集合；

(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．

[解析]　(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．

(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．

(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．

方法技巧　描述法表示集合的步骤

跟踪探究　2.下列三个集合：

①A＝{x|y＝x2＋1}；

②B＝{y|y＝x2＋1}；

③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．

(1)它们是不是相同的集合？

(2)它们各自的含义分别是什么？

解析：(1)由于三个集合的代表元素互不相同，故它们是互不相同的集合．

(2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R；

集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．

集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对．可以认为集合C是坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的集合，其实就是抛物线y＝x2＋1的图象上的点所组成的集合．

探究三　集合表示法的综合应用

[例3]　集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．

[解析]　(1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；

(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，满足题意．

综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．

延伸探究　1.本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”其他条件不变，求实数k的值组成的集合．

解析：由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根则k≠0.

故Δ＝64－64k>0，即k<1.

所以实数k组成的集合为{k|k<1且k≠0}．

2．本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值范围．

解析：由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根．

①当k＝0时，由－8x＋16＝0得x＝2，符合题意；

②当k≠0时，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根，则Δ＝64－64k≥0，即k≤1.

综合①②可知，实数k的取值集合为{k|k≤1}．

方法技巧　1.若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3中集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．

2．在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想．

授课提示：对应学生用书第5页

[课后小结]

1．在用列举法表示集合时应注意：

(1)元素间用逗号“，”分开；(2)元素不重复；(3)元素无顺序；(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集．若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．

2．在用描述法表示集合时应注意：

(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式？

(2)(元素具有怎样的属性)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要说明其含义或指出其取值范围．

[素养培优]

描述法表示集合中的误区

下列说法：

(1)集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1,0,1}；

(2)实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}；

(3)方程组的解集为{x＝1，y＝2}．

其中正确的有(　　)

A．3个　　　　　　　　 B．2个

C．1个  D．0个

易错分析：对于描述法表示集合，一应清楚符号“{x|x的属性}”表示的是所有具有某种属性的x的全体，而不是部分；二应从代表元素入手，弄清楚代表元素是什么．

自我纠正：(1)由x3＝x，即x(x2－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1，因为－1∉N，故集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示应为{0,1}．

(2)集合表示中的符号“{}”已包含“所有”“全体”等含义，而符号“R”已表示所有的实数，正确的表示应为{x|x为实数}或R.

(3)方程组的解是有序实数对，而集合{x＝1，y＝2}表示两个等式组成的集合，方程组的解集正确的表示应为{(1,2)}或 .故选D.

答案：D