人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线练习题

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3.2.1 双曲线（精讲）考点一 双曲线的定义及应用【例1-1】（2022·全国·高二单元测试）在一个平面上，设、是两个定点，P是一个动点，且满足P到的距离与P到的距离差为，即，则动点P的轨迹是（    ）．A．一条线段 B．一条射线 C．一个椭圆 D．双曲线的一支【答案】B【解析】依题意，、是两个定点，P是一个动点，且满足，所以动点P的轨迹是一条射线.如图所示，在线段的延长线上. 故选：B【例1-2】．（2022·全国·高二课时练习）设，分别是双曲线的左、右焦点，若点在双曲线上，且，则（    ）A．5 B．1 C．3 D．1或5【答案】A【解析】依题意得，，，因此，由于，故知点只可以在双曲线的左支上，因此，即，所以，故选:A．【例1-3】．（2022·全国·高二课时练习）已知为双曲线的左焦点，，为双曲线右支上的点，若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为（    ）A．28 B．36 C．44 D．48【答案】C【解析】如图所示：∵双曲线的左焦点为，∴点是双曲线的右焦点，又，∴虚轴长为2b＝8，∴．∵①，②，∴①+②得，∴的周长．故选：C【例1-4】（2022·全国·高二课时练习）设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ）A．24 B． C． D．30【答案】A【解析】由，可得又是是双曲线上的一点，则，则，，又则，则则的面积等于故选：A【例1-5】．（2022·全国·高二课时练习）设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为（    ）A．6 B．9 C．12 D．14【答案】B【解析】因为双曲线方程为，故，则其焦点为，根据题意，作图如下：则，当且仅当三点共线，且在之间时取得等号；，当且仅当三点共线，且在之间时取得等号；则，故可得，故的最大值为：.故选：B.【一隅三反】1．（2022·全国·高二课时练习）已知平面上的定点，及动点，甲：（为常数），乙：点的轨迹是以，为焦点的双曲线，则甲是乙的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据双曲线的定义，只有当时，点的轨迹才是双曲线，所以乙甲，但甲乙，所以甲是乙的必要不充分条件.故选：B2．（2022·全国·高二课时练习）已知为双曲线的左焦点，为双曲线同一支上的两点．若，点在线段上，则的周长为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知，，所以，解得，所以双曲线的左焦点，所以点是双曲线的右焦点．作出双曲线，如图所示．由双曲线的定义，知①，②，由①②，得，又，所以的周长为．故选：C.3．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的左焦点为，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为，则的最大值为（    ）A．3 B．1 C． D．【答案】C【解析】设双曲线C的实半轴长为，右焦点为，所以，当且仅当M为的延长线与双曲线交点时取等号.故选：C．4．（2022·全国·高二课时练习）若是双曲线上一点，则到两个焦点的距离之差为______.【答案】【解析】由题意得：双曲线标准方程为，则，由双曲线定义知：，则.故答案为：.考点二 双曲线的标准方程【例2】（2022·江苏）分别求满足下列条件的曲线方程(1)以椭圆的短轴顶点为焦点，且离心率为的椭圆方程；(2)过点，且渐近线方程为的双曲线的标准方程．(3)焦点在轴上，虚轴长为，离心率为；(4)顶点间的距离为，渐近线方程为．(5)，，焦点在x轴上；(6)焦点为､，经过点.【答案】(1)(2)(3)(4)或(5)(6)【解析】(1)的短轴顶点为(0，－3)，(0，3)，∴所求椭圆的焦点在y轴上，且c＝3．又，∴a＝6．∴．∴所求椭圆方程为．(2)根据双曲线渐近线方程为，可设双曲线的方程，把代入得m＝1．所以双曲线的方程为．（3）解：由题意，双曲线的焦点在轴上，设所求双曲线的方程为1，因为虚轴长为，离心率为，可得，解得，所以双曲线的方程为．(4)当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为1，因为顶点间的距离为，渐近线方程为，可得，解得，所以双曲线的方程为；当双曲线的焦点在 轴上时，设双曲线的方程为1，因为顶点间的距离为，渐近线方程为，可得，解得，所以双曲线的方程为.(5)由题设知，，，由，得.因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求双曲线的标准方程为；（6）由已知得，且焦点在y轴上.因为点在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a，即，则，.因此，所求双曲线的标准方程是.【一隅三反】1．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】设双曲线的标准方程为，半焦距为c，则由题意可知，，即，故，所以双曲线的标准方程为.故选：C．2．（2022·全国·高二课时练习）南非双曲线大教堂由伦敦著名的建筑事务所完成．若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的一部分，且此双曲线过点，离心率为，则此双曲线的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可得，所以双曲线的方程为．故选：A．3．（2022·全国·高二专题练习）与双曲线具有相同渐近线，且两顶点间的距离为2的双曲线方程为______．【答案】或【解析】设与具有相同渐近线的双曲线方程为，当时，双曲线的方程为，又因为两顶点间的距离为2，所以，即，所以双曲线的方程为；当时，双曲线的方程为，又因为两顶点间的距离为2，所以，即，所以双曲线的方程为；综上所述，双曲线的方程为或.故答案为：或.4．（2022·全国·高二课时练习）（1）若双曲线过点，离心率，则其标准方程为_____．（2）若双曲线过点，渐近线方程是，则其标准方程为_____．（3）若双曲线与双曲线有共同的渐近线，且经过点，则其标准方程为_____．【答案】               【解析】（1）由，设，则，．设所求双曲线的方程为①或②，把代入①，得，与矛盾，舍去；把代入②，得．∴所求双曲线的标准方程为．（2）由渐近线方程，可设所求双曲线的方程为①，将点的坐标代入①式，得，∴所求双曲线的标准方程为．（3）设所求双曲线的方程为，点在双曲线上，∴，即，∴双曲线的标准方程为．故答案为：；；.  考点三 双曲线的渐进线【例3】（2020·湖南·新邵县教研室高二期末）双曲线的右焦点坐标为，则该双曲线的渐近线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】双曲线，即的右焦点坐标为，所以，解得，所以双曲线方程为，则双曲线的渐近线为；故选：C【一隅三反】1．（2020·广西·兴安县第二中学高二阶段练习（文））双曲线的渐近线方程为（　　）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题得，所以双曲线的焦点在轴上，所以所以双曲线的渐近线方程为.故选：A2（2022·广西）双曲线的渐近线方程为（　　）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题得，所以双曲线的焦点在轴上，所以所以双曲线的渐近线方程为.故选：A3．（2022·全国·高二课时练习）实轴在x轴上，实轴长为12，一条渐近线的方程为的双曲线方程为______．【答案】【解析】将变型为：，所以，实轴长为12，即，，得，所以双曲线方程为：.故答案为：考点四 双曲线的离心率【例4-1】（2022·全国·高二课时练习）双曲线的离心率是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由双曲线，得，，∴，，∴，故选:C．【例4-2】（2022·四川泸州·高二期末（理））双曲线C：的左焦点为F，过原点作一条直线分别交C的左右两支于A，B两点，若，，则此双曲线的离心率为（       ）A． B． C． D．3【答案】C【解析】设双曲线的右焦点为，连接，根据椭圆的对称性可得，由双曲线的定义可得所以在中，，结合，可得，所以即，在中， 即，所以，则，故选：C 【一隅三反】1．（2022·贵州铜仁·高二期末（文））点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，双曲线的一条渐近线方程为，故，即，解得，故故选：A2．（2022·全国·高二课时练习）已知，则圆锥曲线的离心率等于______．【答案】或【解析】由得．当时，曲线为焦点在y轴上的椭圆，此时，，离心率．当时，曲线为焦点在x轴上的双曲线，此时，，离心率．故答案为：或3．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，则双曲线的离心率是______.【答案】或【解析】设双曲线为.则当时，;当时，;故答案为：或.4．（2022·全国·高二课时练习）设、是双曲线C：的左、右焦点，过点且倾斜角为30°的直线与双曲线的左、右两支分别交于点A、B．若，则双曲线C的离心率为______．【答案】【解析】如图，取AB中点M，连接，，，设，，，又，，，，，过点且倾斜角为的直线，，，在中，可得，在中，可得，消去化简得，离心率．故答案为：.