数学选择性必修 第一册3.2 双曲线随堂练习题

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3.2.2 双曲线性质（精练）1  直线与双曲线的位置关系1．（2022·全国·高二课时练习）直线与双曲线的交点个数为______．【答案】【解析】由得：，直线与双曲线有且仅有个交点.故答案为：.2．（2022·全国·高二课时练习）若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则k的取值范围是______．【答案】【解析】把代入，得，化简得，设直线与双曲线的右支交于不同的两点。由题意知，即，解得．故答案为：3．（2022·全国·高二专题练习）直线与双曲线没有交点，则的取值范围为_____.【答案】【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为：，因为直线过原点且与双曲线没有交点，故需满足，故答案为：4．（2022·江苏·高二）已知直线与双曲线无交点，则该双曲线离心率的最大值为_________.【答案】【解析】双曲线的渐近线为：，因直线与双曲线无交点，于是得，而双曲线实半轴长为1，则该双曲线离心率，所以该双曲线离心率的最大值为.故答案为：5．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高二期末）已知直线与双曲线 无公共点，则双曲线离心率的取值范围是____．【答案】【解析】联立直线与双曲线可得，整理得，显然，由方程无解可得，即，则，，又离心率大于1，故离心率的取值范围是.故答案为：.6．（2022·湖北高二期中（理））若直线与双曲线的左支交于不同的两点,则实数的取值范围是          【答案】【解析】，整理得因为直线与双曲线的左支有两个不同的交点，则方程在上有两个不同的根.需满足解得所以的范围为2  直线与双曲线的弦长1．（2022·内蒙古包头·高二期末（文））已知点A，B在双曲线上，线段AB的中点为，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】不妨设，，从而，，由两式相减可得，，又因为线段AB的中点为，从而，，故，即直线AB的斜率为，直线AB的方程为：，即，将代入可得，，从而，，故.故选：C.2（2022·全国·高二课时练习）直线与双曲线交于A、B两点，若，则______．【答案】【解析】联立直线与双曲线可得：，则，所以，，而，可得.故答案为：3．（2022·全国·高二课时练习）以直线为渐近线，且截直线所得弦长为的双曲线的标准方程是___________.【答案】【解析】根据双曲线的一条渐近线为，可设双曲线为()，将代入双曲线得：，若直线与双曲线交点为，则，，则，解得：，故双曲线的方程为.故答案为：.4（2022·全国·高二课时练习）过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为______．【答案】【解析】双曲线的右焦点为，所以直线l的方程为．由，得．设，，则，，所以．故答案为：5．（2022·安徽）双曲线的方程是－y2＝1.(1)直线l的倾斜角为，被双曲线截得的弦长为，求直线l的方程；(2)过点P(3,1)作直线l′，使其被双曲线截得的弦恰被P点平分，求直线l′的方程．【答案】（1）y＝x±5（2）3x－4y－5＝0【解析】(1)设直线l的方程为y＝x＋m，代入双曲线方程，得3x2＋8mx＋4(m2＋1)＝0，Δ＝(8m)2－4×3×4(m2＋1)＝16(m2－3)>0，∴m2>3.设直线l与双曲线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则x1＋x2＝－m，x1x2＝.由弦长公式|AB|＝|x1－x2|，得,∴＝，即m＝±5，满足m2>3，∴直线l的方程为y＝x±5.(2)设直线l′与双曲线交于A′(x3，y3)、B′(x4，y4)两点，点P(3,1)为A′B′的中点，则x3＋x4＝6，y3＋y4＝2.由＝4，＝4，两式相减得(x3＋x4)(x3－x4)－4(y3＋y4)(y3－y4)＝0，∴＝，∴l′的方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.把此方程代入双曲线方程，整理得5y2－10y＋＝0，满足Δ>0，即所求直线l′的方程为3x－4y－5＝0.6．（2022·福建）已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点.（1）求双曲线的标准方程；（2）过右焦点且倾斜角为的直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为双曲线离心率为，所以是等轴双曲线，设双曲线方程为，将点代入方程,得，双曲线方程为.（2）右焦点为，则直线的方程为，由，得， 设、，则：，  又原点到直线的距离为，   [另解]：由，得， 设、，则：，，. 3  双曲线的中点弦1．（2021·全国·高二课时练习）已知双曲线方程，则以为中点的弦所在直线的方程是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设直线交双曲线于点、，则，由已知得，两式作差得，所以，，即直线的斜率为，故直线的斜率为，即.经检验满足题意故选：B.2．（2021·河南·襄城县实验高级中学高二阶段练习（理））已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为（    ）A． B．2 C． D．3【答案】C【解析】设，，，则，两式相减得，所以.因为，，所以.因为，，所以，，故.故选：C3．（2022·安徽·淮南第二中学高二开学考试）已知点，是双曲线上的两点，线段的中点是，则直线的斜率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，，则，两式相减得，即，∴.故选D.4．（2021·重庆第二外国语学校高二期中）直线l交双曲线 于A、B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】设，，因点A，B在双曲线 上，则，，两式相减得：，因P为AB中点，则，，于是得＝1，即直线l的斜率为1，此时，直线l的方程为：，由消去y并整理得：，，即直线l与双曲线 交于两点，所以直线l的斜率为1.故选：D5．（2022·内蒙古·赤峰二中高二阶段练习（文））已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为(    )A． B． C． D．【答案】B【解析】由F、N两点的坐标得直线l的斜率．∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c=2．设双曲线C的方程为，则．设，，则，，．由，得，即，∴，易得，，，∴双曲线C的离心率．故选：B．6．（2022·江苏扬州·高二开学考试）已知双曲线，过作直线与双曲线交于A、两点，且为弦的中点，则直线的方程为________________.【答案】【解析】设，则，∵A、B在双曲线上，∴，①－②得：，即即，∴：，即，由，∵，故与双曲线有两个交点满足题意，故l方程为：.故答案为：.7．（2020·四川·宁南中学高二阶段练习（理））已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若点是线段的中点，则的离心率等于______________.【答案】【解析】设，则，得，即，因为点是线段的中点，所以，又因为直线斜率为，所以，得，即.故答案为：8．（2022·广东·普宁市华美实验学校高二阶段练习）过点作斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，若M是线段的中点，则双曲线的离心率为___________.【答案】【解析】设，，，，则①，②，是线段的中点，，，直线的方程是，，过点作斜率为的直线与双曲线相交于，两点，是线段的中点，①②两式相减可得，即，．故答案为：．9．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆上，则的值是________.【答案】【解析】设点，，，，线段的中点，，由，得（判别式△，，，，点，在圆上，则，故.故答案为：4  双曲线的综合运用1．（2022·全国·高二课时练习）如图，、是双曲线：与椭圆的公共焦点，点A是、在第一象限的公共点，设的方程为，则下列命题中错误的是（    ）．A．B．的内切圆与x轴相切于点（1，0）C．若，则的离心率为D．若，则椭圆方程为【答案】A【解析】对于A：由可得，所以，即选项A错误；对于B：设的内切圆的圆心为I，且圆与边、、相切于N、M、K，可得，，，又因为，所以，又，解得，．可得M的横坐标为1，即I的横坐标为1，即选项B正确；对于C：在椭圆中，，，则．由，得 ，解得a＝3．则的离心率，即选项C正确；对于D：因为，，则，．若，则．又c＝2，，解得，．则椭圆的方程为，即选项D正确．故选：A.2．（2022·河北）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，且，A，P，B为双曲线上不同的三点，且A，B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则（    ）A．B．双曲线C的离心率为C．直线倾斜角的取值范围为D．若，则三角形的面积为2【答案】ABD【解析】设焦距为，则，设，则，，作差得，即，，故，又，所以，A正确；而离心率，B正确；双曲线C的渐近线方程为，直线过原点，由题可知直线与C有两个不同的交点，所以直线倾斜角的取值范围为，C错误；若，则，由双曲线的定义以及选项A的结论可得，故，又，可得，所以三角形的面积为，D正确．故选：ABD.3．（2022·全国·高二单元测试）（多选）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（    ）A．当时，曲线C是椭圆B．当或时，曲线C是双曲线C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则D．若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则【答案】BC【解析】当曲线C是椭圆时，解得或，故A错误；当曲线C是双曲线时，，解得或，故B正确；若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得，故C正确；若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则，解得，故D错误．故选:BC．4．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知双曲线的左、右两个顶点分别是，左、右两个焦点分别是，是双曲线上异于的任意一点，给出下列结论，其中正确的是（    ）A．B．直线，的斜率之积等于定值C．使得为等腰三角形的点P有且仅有四个D．若，则【答案】BD【解析】由题意，点是双曲线上异于的任意一点，设，对于A中，由双曲线的定义知，，所以A错误；对于B中，由，，可得，又由，所以，可得，所以B正确；对于C中，若P在第一象限，则当时，，为等腰三角形；当时，，也为等腰三角形，故点P在第一象限且使得为等腰三角形的点P有两个．同理可得，在第二、三、四象限且使得为等腰三角形的点P也各有两个，因此使得为等腰三角形的点P共有八个，所以C错误．对于D中，由，得，从而，所以D正确．故选：BD．5．（2022·全国·高二课时练习）（多选）设双曲线的两个焦点分别是，，以线段为直径的圆交双曲线于A，B，C，D四点，若A，B，C，D，，恰为正六边形的六个顶点，则下列说法正确的是（    ）A． B．四边形ABCD的面积为C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线方程为【答案】ABC【解析】不妨设点为左焦点，如图所示，因为，，所以，又，所以，A正确；根据对称性，可知四边形ABCD为矩形，又，，所以四边形ABCD的面积为，B正确；由双曲线的定义可得，即，则离心率，C正确；因为，所以，所以双曲线的渐近线方程为，D错误．故选ABC．一题多解对于A选项还可以如下求解：为圆的直径，点B在圆上，则，故A正确．6．（2022·全国·高二课时练习）（多选）在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线与交于两点，则（    ）A．的方程为 B．的离心率为C．的渐近线与圆相切 D．【答案】ACD【解析】设点，由直线与的斜率之积为，可得，整理得，即曲线的方程为，所以A正确；曲线的离心率，所以B不正确；由圆，可得圆心为，可得圆心到曲线的渐近线的距离，又由圆的半径为1，所以曲线的渐近线与圆相切，所以C正确；联立方程组 ，整理得，则，，所以，所以D正确．故选：ACD．7．（2022·全国·高三专题练习）已知，，为曲线的左、右焦点，点为曲线与曲线在第一象限的交点，直线为曲线在点处的切线，若三角形的内心为点，直线与直线交于点，则点，横坐标之差为_______．【答案】【解析】由题意得，，为曲线的左、右焦点，点为曲线与曲线在第一象限的交点，即C,E有相同的焦点，则，联立,消去，得，对于椭圆，设为椭圆上一点，令，则椭圆化为圆 ，即为，由圆上一点处的切线方程可知在处的切线方程为，故可得椭圆在处的切线方程为，即，故由直线为曲线在点处的切线，P点在第一象限，则，可得直线方程为 ① ，设三角形内切圆半径为，则由等面积可得，   ② ，又由于P在双曲线上，设三角形内切圆圆心，各边上的切点分别为，如图：由圆的切线性质可得，则 ,即 ，即M点横坐标为1，由可得直线的方程为 ③  ，联立①②③，化简可得；又，故答案为：8．（2022·辽宁朝阳）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上.(1)求双曲线的方程；(2)点，在双曲线上，直线，与轴分别相交于两点，点在直线上，若坐标原点为线段的中点，，证明：存在定点，使得为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）解：由题意，双曲线的离心率为，且在双曲线上，可得，解得，所以双曲线的方程为.（2）解：由题意知，直线的的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，整理得，则且，设，则，直线的方程为，令，可得，即,同理可得，因为为的中点，所以，即，可得，即，所以或，若，则直线方程为，即，此时直线过点，不合题意；若时，则直线方程为，恒过定点，所以为定值，又由为直角三角形，且为斜边，所以当为的中点时，.