数学选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线同步测试题

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3.2.1 双曲线（精练）1  双曲线的定义及应用1．（2022·江苏·高二专题练习）在中，，，点C在双曲线上，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知点A，B为双曲线的两焦点，所以当点C在双曲线的右支上时，有，又，所以由正弦定理得；当点C在双曲线的左支上时，有，可得．故选：C．2．（2022·江苏·高二）已知，分别是双曲线的左、右焦点，A为一条渐近线上的一点，且，则的面积为（    ）A． B． C．5 D．【答案】B【解析】双曲线的渐近线方程，不妨设A在上，则，根据可得，且，解得，所以的面积为．故选：B3．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）已知，分别为双曲线的左、右焦点，若点到该双曲线渐近线的距离为1，点P在双曲线上，且，则的面积为（    ）A． B．4 C．2 D．【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程为：，因为点到该双曲线渐近线的距离为1，所以．由题意，则  （1）由余弦定理可得 （2）将（1）代入（2）可得．因为，所以，，所以，故的面积为．故：D4．（2022·安徽滁州·高二期末）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于，两点，弦的中点为，点是双曲线右支上的动点，点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由双曲线知渐近线方程为，又双曲线与双曲线有相同的渐近线，，，双曲线方程为，设，，，，，又弦的中点为，，，设，，解得，，解得，所以双曲线的方程为，由圆的方程可得，圆心为，半径为，．当且仅当，，三点共线时取等号．故选：D．5．（2022·全国·高二课时练习）双曲线的两焦点为、，点P在双曲线上，直线、倾斜角之差为，则面积为（    ）A． B． C．32 D．42【答案】A【解析】根据、为双曲线的两焦点可得，又直线、倾斜角之差为，所以，根据余弦定理可得，整理得①，根据点P在双曲线上可得，则②，①-②得，，则面积为.故选：A.6．（2022·全国·高二单元测试）如果双曲线上的一点P到焦点的距离等于16，那么点P到另一个焦点的距离是______．【答案】32【解析】双曲线的焦点在轴上，对应，由于，所以，所以.故答案为：7．（2022·全国·高二课时练习）如图，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则______．【答案】【解析】设双曲线的右焦点为，因为双曲线上的点与，关于轴对称，所以，，又双曲线的实轴长为，根据双曲线的定义可得.故答案为：.8．（2022·全国·高二专题练习）已知，分别是双曲线：的左，右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆：上一动点，则的最小值为______．【答案】【解析】双曲线中，，，，，圆半径为，，，(当且仅当共线且在之间时取等号)，，当且仅当是线段与双曲线的交点时取等号．的最小值是7．故答案为：7.9．（2022·河南许昌·高二期末（理））已知双曲线的左右焦点分别为，，其一条渐近线倾斜角为，若点P在双曲线上，且，则______．【答案】13【解析】由题意，，故，双曲线，，因为小于到右顶点的距离，故在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得，解得故答案为：1310．（2021·福建省漳州第一中学高二期末）过双曲线的左焦点作一条直线交双曲线左支于，两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是___________.【答案】24【解析】由双曲线定义知：，所以，，而，故，故的周长为.故答案为：2411．（2022·四川·射洪中学高二阶段练习（文））已知P是双曲线上的点，，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积为9，则的值为__________.【答案】【解析】如图所示，不妨设点在双曲线的右支上．设，．则，，，即，所以，又，所以．又，，解得，所以．．故答案为：．12．（2022·全国·高二专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为______．【答案】22【解析】根据双曲线，得，，由双曲线的定义可得： ①， ②，①+②可得：，由于过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于，两点，可得，即有．则，当是双曲线的通径时最小，故.故答案为：222  双曲线的标准方程 1．（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知双曲线的焦距为，点在的渐近线上，则双曲线的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为焦距为，故半焦距为，故，因为在一条渐近线上，故，解得，故双曲线方程为：.故选：A.2．（2021·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（理））根据下列条件求双曲线的标准方程．(1)双曲线经过点，，焦点在x轴上；(2)经过点，且与双曲线有相同的焦点．【答案】(1)；(2).【解析】(1)因双曲线的焦点在轴上，且，则设所求双曲线的方程为，而双曲线过点，则有，解得，所以所求双曲线的标准方程为.(2)所求双曲线与双曲线有相同的焦点，则设所求双曲线的方程为，而此双曲线过点，于是有，解得或（舍去），所以所求双曲线的标准方程为.3．（2022·内蒙古·赤峰二中高二期末（文））求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)焦点在x轴上，实轴长为4，实半轴长是虚半轴长的2倍；(2)焦点在y轴上，渐近线方程为，焦距长为．【答案】(1)(2)【解析】（1）由题意有，解得：，则双曲线的标准方程为：．（2）由题意有，解得：，则双曲线的标准方程为：．4．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高二期末（文））求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点坐标为，且经过点；(2)焦点在坐标轴上，经过点.【答案】(1)；(2).【解析】(1)因双曲线的焦点坐标为，且经过点，令双曲线实半轴长为a，则有，解得，双曲线半焦距，虚半轴长b有，所以所求双曲线的标准方程为.(2)依题意，设双曲线的方程为：，于是得，解得：，所以所求双曲线的标准方程为.5．（2022·黑龙江）求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点分别为，，且经过点；(2)经过点，；【答案】(1)(2)【解析】(1)由题易知焦点在y轴上，设双曲线的方程则解得：所以所求双曲线的标准方程为(2)设双曲线的方程为：代入点坐标得到：解得： 故双曲线的标准方程为：3  双曲线的渐进线1．（2022·广西）双曲线的渐近线方程为（　　）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题得，所以双曲线的焦点在轴上，所以所以双曲线的渐近线方程为.故选：A2．（2022·河南）以双曲线的焦点为顶点，离心率为的双曲线的渐近线方程是（    ）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题可知双曲线的焦点坐标为，则所求双曲线的顶点坐标为，即，又因为离心率为，所以，解得，所以，即，所以渐近线方程是 故选D3．（2022·湖北）双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的右焦点的坐标为(    )A． B． C． D．【答案】B【解析】因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，因为，所以，所以，所以双曲线的右焦点的坐标为，故选B. 4  双曲线的离心率1．（2022·全国·高二课时练习）设，分别是双曲线的左、右焦点，直线交双曲线右支于B点，若，恰好是的两直角边，则此双曲线的离心率为（    ）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】由题意可知（O为坐标原点），，所以，，所以，所以．故选：A.2．（2022·福建·泉州市城东中学高二期中）已知双曲线的右顶点为，若以点为圆心，以为半径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】过点作于点，则点为线段的中点，因为点为，渐近线方程为，所以点到渐近线的距离为，在中，，在中，，因为，所以，所以，即，所以离心率．故A，B，D错误.故选：C．3．（2022·全国·高二课时练习）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则双曲线C的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：B4．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线C：的左，右焦点分别为、，过的直线l交双曲线的右支于点P，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l相切，切点为H，若，则双曲线C的离心率为（    ）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】由已知，，在中，∵H，C为，中点，∴.又，所以，∴.故选：B5．（2022·湖南衡阳·高二期末）如图，双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且四边形为等腰梯形，，，则双曲线C的离心率为_____________.【答案】【解析】，，，可设，则，，，设，则，，，将坐标代入双曲线方程得：，整理可得：，，双曲线的离心率.故答案为：.6．（2022·全国·高二课时练习）若直线y＝kx与双曲线的两支各有一个交点，则实数k的取值范围是______．【答案】（－1，1）【解析】直线y＝kx过原点，且与双曲线的两支各有一个交点，可得直线y＝kx一定在两渐近线之间，如图，又因为双曲线的渐近线方程为，故有.故答案为：.