高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线优秀课时练习

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A．3B．15C．3或15D．6或12
【答案】C
【解析】设双曲线的实半轴为，虚半轴为，半焦距为，则
由题意知：，，所以，
由双曲线的定义知，，
又∵，∴或，经检验，或都符合条件.故选：C.
2．（2023安徽）已知双曲线上一点到左焦点的距离为10，则的中点到坐标原点的距离为（ ）
A．3或7B．6或14C．3D．7
【答案】A
【解析】设双曲线的右焦点为，连接，是的中位线，∴，
∵，，∴或，∴或，故选：A.

3．（2023秋·高二课时练习）已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，，又动点满足，
动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，设双曲线方程为，
则有，动点的轨迹方程为．
故选：A．
4．（2023春·广东韶关·高二统考期末）已知点，是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线C右支上一点，过点向的角平分线作垂线，垂足为点Q，则点和点Q距离的最大值为（ ）
A．2B．C．3D．4
【答案】C
【解析】如图所示，延长，交于点T，则因为平分，，所以，，
因为P在双曲线上，所以，所以，连接，则，
因为，所以，当三点共线时取等号，
即点和点Q距离的最大值为3，故选：C
5．（2023·全国·高二专题练习）设双曲线的左焦点为，点为双曲线右支上的一点，且与圆相切于点，为线段的中点，为坐标原点，则（ ）
A．B．-1C．D．2
【答案】B
【解析】由题意可知：双曲线焦点在轴上，，
设双曲线的右焦点，左焦点，
由为中位线，则，
由与圆相切于点，则为直角三角形，
∴，
则，,
∵
，
∴=-1.
故选：B.

6．（2023·云南玉溪）双曲线上的两个焦点分别为与，焦距为10；M是该曲线上一点，且，则（ ）
A．3B．15C．3或15D．15或18
【答案】C
【解析】因为双曲线的焦距为10，所以，
又因为，所以，因此双曲线的半实轴长为，
所以双曲线上的点到焦点的距离最小值为，由双曲线的定义可知：
，或，故选：C
7．（2023秋·湖南郴州·高二统考期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，若，则（ ）
A．B．C．或D．
【答案】D
【解析】双曲线的渐近线方程为，由题意可得，则，
因为，则，所以，，
设点，其中或，
则，
若点在双曲线的右支上，则，则，
当点在双曲线的左支上，则，则.
由双曲线的定义可知，解得（舍）或.
故选：D.
8．（2022春·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考期末）设点为坐标原点，点在双曲线上运动，是双曲线的左、右焦点，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．以上都不对
【答案】A
【解析】根据双曲线对称性可知，化简，
因为双曲线上的点与焦点距离最小值为，
所以
故选：A
9．（2023湖南）已知双曲线是其左右焦点.圆，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．7D．8
【答案】A
【解析】
由题设知，，，，圆的半径
由点为双曲线右支上的动点知
，∴
∴.
故选：A
10．（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】B
【解析】双曲线的实半轴长，
由双曲线的定义，可得
所以，
则三角形的周长为.
故选：B
11．（2022·海南·校联考模拟预测）设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据双曲线的定义得，
又因为，所以，．
又因为，
所以在中结合余弦定理的推论得：
，
因为，得的大小为．
故选：C
12．（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考阶段练习）设，分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则的面积为（ ）
A．B．4C．D．3
【答案】A
【解析】∵为正三角形，
设，则，，又双曲线，
则根据双曲线定义得，
∴，即等边三角形的边长为4，
故的面积为.
故选：A.
13．（2023春·湖北襄阳·高二校联考阶段练习）已知，分别为双曲线的左、右焦点，若点到该双曲线渐近线的距离为1，点在双曲线上，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为点到该双曲线渐近线的距离为1，双曲线渐近线方程为，
所以.
由，
可得.
因为，所以，，
所以，
故的面积为.
故选：B.
14．（2023春·四川内江·高二威远中学校校考期中）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【解析】由双曲线方程可知，，，故右焦点，左焦点，
当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知，所以，
从而，又为定值，
所以，此时点在线段与双曲线的交点处（三点共线距离最短），
故选：B.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由双曲线得到,,，左焦点，
设右焦点.当的周长最小时，取到最小值，所以只需求出的最小值即可.
===.
故选：C.
16．（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考阶段练习）已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】若C为双曲线右焦点C(3,0)，则，|AC|=5,
而，仅当共线且在之间时等号成立，
所以，当共线且在之间时等号成立.
故选：D
17．（2023·全国·高三专题练习）已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设双曲线的右焦点为，由双曲线的方程可得：，则，
所以，且，所以，
的周长为，
当且仅当M，P，A三点共线时取等号，
则周长的最小值为．
故选：B．
18．（2022秋·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）已知，双曲线的左､右焦点分别为，点是双曲线右支上一点，则的最小值为（ ）
A．5B．7C．9D．11
【答案】C
【解析】由双曲线，则，即，且，
由题意，作图如下：
，当且仅当共线时，等号成立.
故选：C.
19．（2023·全国·高三对口高考）若曲线表示双曲线，那么实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】曲线表示双曲线，所以即可.解得或，
所以实数k的取值范围是：.故选：B.
20．（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）已知，则“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若方程表示双曲线，则，即，
由能推出，必要性成立，
由不能推出，充分性不成立，
故“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件.
故选：B.
21．（2022秋·高二课时练习）若是双曲线的左、右焦点，点在该双曲线上，且是等腰三角形，则的周长是 .
【答案】16
【解析】双曲线的标准方程为，所以，
因为是等腰三角形，不设在双曲线的右支上，则，
所，所以的周长为6+6+4=16故答案为：.
22．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由椭圆，可化为标准方程，可得，
因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以，
又因为双曲线过点，可得，则，
所以双曲线的标准方程为.
故选：B.
23．（2023秋·山西晋中·高二统考期末）（多选）关于、的方程表示的轨迹可以是（ ）
A．椭圆B．双曲线C．直线D．抛物线
【答案】BC
【解析】当时，该方程表示的轨迹是直线；
当时，该方程表示的轨迹是直线；
当且时，原方程可化为.
当或时，，该方程表示的轨迹是双曲线；
当，又，则，此时方程为，该方程表示圆；
综上所述，方程所表示的曲线不可能是椭圆或抛物线.
故选：BC.
24．（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）（多选）已知曲线的方程为，则（ ）
A．曲线可以表示圆
B．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆
C．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆
D．曲线可以表示焦点在轴上的双曲线
【答案】CD
【解析】对A，若曲线表示圆，则有，无解，A错；
对BC，若曲线表示椭圆，则有，此时，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，C对B错；
对D，若曲线表示双曲线，则有，此时，此时曲线表示焦点在轴上的双曲线，D对.
故选：CD.
25．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）（多选）对于曲线C：，则下列说法正确的有（ ）
A．曲线C可能为圆B．曲线C不可能为焦点在y轴上的双曲线
C．若，则曲线C为椭圆D．若，则曲线C为双曲线
【答案】BCD
【解析】当曲线C为圆时，则，无解，故错误；
当曲线C为焦点在y轴上的双曲线时，则，无解，故正确；
若，则，，此时曲线C是椭圆，故正确；
若曲线C为双曲线，则，解得，故正确．
故选．
26．（2022秋·高二课时练习）已知点分别是双曲线的下、上焦点，若点是双曲线下支上的点，且，则的面积为 .
【答案】16
【解析】因为是双曲线下支上的点，所以，两边平方得：
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36，所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.
在△F1PF2中，由余弦定理，得cs ∠F1PF2==0，
所以∠F1PF2=90°，所以|PF1|·|PF2|=×32=16
故答案为：
27．（2023·全国·高三对口高考）设，分别是双曲线的左、右焦点．若点P在双曲线上，且，则 ， ；
【答案】
【解析】因为，所以，则为直角三角形，
所以(为原点)，
又，，所以，，
所以.
不妨设点在双曲线的右支上，则，①
又，②
联立①②解得，，
所以.
故答案为：；.
28．（2022秋·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知，，动点满足，，则周长的最小值为 ，此时点的坐标为 .
【答案】 10
【解析】由题意得动点的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，
则，动点的轨迹方程为，
∵，
∴的周长最小时，最小，，
又，当且仅当，，三点共线且在线段上时，等号成立，
∴的周长为，
直线的方程为，将其代入到，化简得：，，
则，的坐标为.
故答案为：10，.
1．（2023春·贵州黔东南·高二统考期末）已知分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，点是双曲线上一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
在双曲线中，，，则，
根据对称性，不妨设点在双曲线的右支上，则．
因为，
所，．
在中，，
①
在中，是中点,则，两边平方可得，
所以②
所以,,
．
故选：A.
2．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）设点P是圆上的一动点，，，则的最小值为（ ）．
A．B．C．6D．12
【答案】B
【解析】】设，
则点P的轨迹为以A，B为焦点，为实轴长的双曲线的上支，
∴点P的轨迹方程为，依题意，双曲线与圆有公共点，
将圆的方程代入双曲线方程得，
即，
判别式，解得，
当时，，且，
∴等号能成立．∴．
故选：B
3．（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知双曲线为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点为双曲线上一点，若，则双曲线的方程可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点，
如图所示，过点作于点.

因为，所以，
因为，
所以，所以，
故，得.
因为，所以，故点，
将代入双曲线中，
即，化简得，
，
解得或（舍去），故B项正确.
故选：B.
4．（2023秋·江西吉安·高二江西省安福中学校考期末）（多选）已知曲线：，下列结论正确的是（ ）
A．若，则是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则是双曲线，其焦点在轴上
C．若，，则是两条直线
D．若，则是圆
【答案】BC
【解析】对于A：当时，，
由，所以是椭圆，其焦点在轴上，因此本选项不正确；
对于B：当时，，
由，所以是双曲线，其焦点在轴上，因此本选项正确；
对于C：当，时，，所以是两条直线，因此本选项正确；
对于D：若，显然不成立，所以没有轨迹，因此本选项不正确；
故选：BC
5．（2023秋·广东广州·高二广东实验中学越秀学校校考期末）（多选）当取一定实数值时，方程可以表示为（ ）
A．焦点在轴上的椭圆
B．焦点在轴上的双曲线
C．焦点在轴上的椭圆
D．焦点在轴上的双曲线
【答案】ABC
【解析】∵，且，则有：
当，即时，方程表示焦点在轴上的双曲线，B正确；
当，即时，则有：
①当，即时，方程表示焦点在轴上的椭圆，A正确；
②当，即时，方程即为，表示圆心在坐标原点，半径为2的圆；
③当，即时，方程表示焦点在轴上的椭圆，C正确；
对于D：若方程表示为焦点在轴上的双曲线，则，无解，D错误.
故选：ABC.
6．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）（多选）过椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为，若直线的斜率之积为（为常数），则点的轨迹可能是（ ）
A．两条直线B．圆的一部分
C．椭圆的一部分D．双曲线的一部分
【答案】BCD
【解析】依题意可知直线和直线的斜率存在，
设过的椭圆的切线方程为，
联立化简可得：
，
取，
即，
且有，且上式两根分别为，
则上式的判别式，
整理得，符合题意，所以，
①若，则，
即点的轨迹是直线（两条）的一部分；
②若，则，即点的轨迹是直线（两条）的一部分；
若且，整理可得，
③当时，12，
轨迹方程可化为，即点的轨迹是圆的一部分；
④当或时，，且，
由于，且，所以点的轨迹是椭圆的一部分；
⑤当时，，表示焦点在轴上的双曲线，
由于，所以点的轨迹是双曲线的一部分.
故选：BCD
7．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线于两点，若的周长为20，则线段的长为 .
【答案】6或
【解析】,，,
易得双曲线的实轴长焦距.
若都在右支上，则，
的周长,
；
否则，不妨设是如图的情况：
，
所以，所以，
设,则,
由余弦定理得,解得,
故答案为：6或
8．（2023·全国·高三专题练习）过双曲线的左焦点F作圆的一条切线（切点为T），交双曲线右支点于P，点M为线段FP的中点，连接MO，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】如图所示，连接,设双曲线的右焦点为，连接，则，
由，
因为，所以，
设，则，．
可得函数在上单调递减，所以，即，
故的最大值为．
故答案为：．
9．（2023春·上海浦东新·高二华师大二附中校考开学考试）已知点，点是双曲线的右焦点，点是双曲线右支上一动点，则当的周长取得最小时的面积为 ;
【答案】
【解析】双曲线，，
右焦点，设其左焦点为，
则，
当且仅当三点共线时等号成立，此时在第一象限，
此时直线的方程为，
由，以及点在第一象限，可得点P的纵坐标，
所以.
故答案为：.
10．（2022秋·山东聊城·高二校考期末）已知分别是双曲线的左、右焦点，P是C左支上一动点，△周长的最小值为10，求此时△的面积= .
【答案】/
【解析】由题意可得，，
由双曲线的定义可得，
，，
则的周长为
,
当且仅当共线时，取得最小值，且为，
由题意可得，即
解得，所以，，得直线的斜率为，
所以，由余弦定理，
得，结合，
解得，由正弦定理，
得，解得，
所以.
故答案为：.