人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线课时练习

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3.2.1双曲线及其标准方程（精练）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2022·浙江·模拟预测）设非零实数，使得曲线：是双曲线，则（       ）A． B． C． D．【答案】C曲线：是双曲线，则实数，异号，即.故选：C2．（2022·四川·阆中中学高二期中（文））与双曲线有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（       ）A． B． C． D．【答案】B双曲线的焦点在轴上，且焦点为，所以椭圆的焦点在轴上，且，依题意，椭圆短半轴，则，所以椭圆的方程为.故选：B3．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习（文））已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（       ）A． B． C．或 D．或【答案】B由双曲线方程知：；根据双曲线定义知：，解得：（舍）或.故选：B.4．（2022·山西临汾·二模（理））已知双曲线经过点，，则其标准方程为（       ）A． B．C． D．或【答案】A设双曲线方程为则，解的所以双曲线的方程为故选：A5．（2022·四川省通江中学高二阶段练习（理））曲线表示双曲线，则的取值范围（     ）A． B．或C． D．【答案】B由题意，曲线表示双曲线，则满足，即，解得或.所以的取值范围.故选：B.6．（2022·河南信阳·高二期末（文））设为双曲线右支上一点，，为左、右焦点，，则（       ）A．，，为一个锐角三角形的顶点 B．，，为一个钝角三角形的顶点C．，，为一个直角三角形的顶点 D．，，不为三角形的顶点【答案】D设双曲线的实轴，虚轴，半焦距分别为，，，则，，，由已知得，，又，所以，，所以为实轴的右端点，所以，，不为三角形的顶点.故选：.7．（2022·上海中学东校高二期末）过椭圆右焦点F的圆与圆外切，该圆直径的端点Q的轨迹记为曲线C，若P为曲线C上的一动点，则长度最小值为（       ）A．0 B． C．1 D．2【答案】C椭圆，，所以.设以为直径的圆圆心为，如图所示：因为圆与圆外切，所以，因为，，所以，所以的轨迹为：以为焦点，的双曲线的右支.即，曲线.所以为曲线上的一动点，则长度最小值为.故选：C8．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（       ）A． B．8 C． D．9【答案】B由，所以有，设圆的圆心为，半径为，设该双曲线另一个焦点为，所以，求的最小值转化为求的最小值，因此当点依次共线时，有最小值，即，故选：B二、多选题9．（2022·广东潮州·高二期末）方程表示的曲线为C，下列正确的命题是（       ）A．曲线C可以是圆 B．若，则曲线C为椭圆C．若曲线C为双曲线，则或 D．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则【答案】ACDA. 若曲线C是圆，则，解得，故正确；B.若曲线C为椭圆，则 ，解得且 ，故错误；C. 若曲线C为双曲线，则，解得或，故正确；D.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，故正确；故选：ACD10．（2022·福建厦门·高三阶段练习）已知P是圆O:x2+y2=4上任意一点，定点A在x轴上，线段AP的垂直平分线与直线OP相交于点Q，当P在圆O上运动时，Q的轨迹可以是（       ）A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】BC当点A在圆内时，如图1，因为点Q在PA的垂直平分线上，所以，所以，又，所以由椭圆定义知，此时轨迹为椭圆；当点A在圆外时，如图2，，且，由双曲线定义可知，此时轨迹为双曲线；当点A在圆上时，易知点Q为定点，即圆心O；当点A在于点O重合时，易知Q为AP的中点，轨迹为圆.故选：BC三、填空题11．（2022·河北·高三阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别是，，实轴长为4，过的直线与双曲C线的右支交于A，B两点，若是和的等差中项，则的周长为______．【答案】24解：由是和的等差中项得，根据双曲线的定义知，，两式相加得，即，，故的周长为，因为，所以的周长为24．故答案为：12．（2022·全国·高二专题练习）设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是，，点A是C右支上的一点，则的最小值为___________.【答案】8解：由双曲线C：，可得，，所以，所以，，由双曲线的定义可得，所以，所以，由双曲线的性质可知：，令，则，所以，记，设，则，所以，即在上单调递增，所以当时，取得最小值，此时点A为双曲线的右顶点（1，0）．故答案为：8．四、解答题13．（2022·全国·高二课时练习）分别根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)，且焦点在x轴上；(2)焦点为和，且经过点．【答案】(1)(2)(1)解：根据题意，双曲线的焦点在轴上，且，，则其标准方程为；(2)解：设双曲线方程为，则，解得，所以双曲线方程为；14．（2022·江苏·高二）已知，，若点满足，则P点的轨迹是什么，并求点P的轨迹方程.【答案】当时，轨迹是直线，轨迹方程为：；当时，轨迹是以为焦点的双曲线的右支，轨迹方程为；当时，轨迹是射线，轨迹方程为；当时，点不存在.【解析】当时，易知，即点在的垂直平分线上，故P点的轨迹是直线，轨迹方程为：；当时，由，知P点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，设双曲线方程为，又知，故轨迹方程为；当时，由知P点的轨迹是射线，轨迹方程为；当时，显然满足的点不存在.综上：当时，轨迹是直线，轨迹方程为：；当时，轨迹是以为焦点的双曲线的右支，轨迹方程为；当时，轨迹是射线，轨迹方程为；当时，点不存在.B能力提升1．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））黄金分割起源于公元前世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，公元前年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，把称为黄金分割数. 已知双曲线的实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数，则的值为A． B． C． D．【答案】A由题意得，在双曲线中，∴．∵双曲线的实轴长与焦距的比值为黄金分割数，∴，∴，∴，解得．故选A．2．（2022·全国·高二课时练习）设平面内两向量满足：，，，点的坐标满足：与互相垂直．求证：平面内存在两个定点A、B，使对满足条件的任意一点M，均有等于定值．【答案】证明见解析．由题设，，整理得，即轨迹是以为焦点且实轴长为4的双曲线，由双曲线定义知：当、有，得证.3．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，，在双曲线的右支存在一点，使，求点的坐标．【答案】解：由双曲线得，右准线方程为，双曲线的右支存在一点，由，，解得，设d为点到准线的距离，则由双曲线的定义可得：，所以，，又，解得，代入得，所以．C综合素养1．（2022·全国·高三专题练习）已知两个定圆和，它们的半径分别是和，动圆与圆内切，又与圆外切，求动圆圆心的轨迹方程.【答案】由圆方程知：圆心，半径；由圆方程知：圆心，半径；设动圆的半径为，动圆与圆内切，与圆外切，，，，动圆圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左半支，，，，动圆圆心的轨迹方程为：.2．（2022·上海市建平中学高二阶段练习）双曲线上一点到左、右两焦点距离的差为2．(1)求双曲线的方程；(2)设、是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上的点，若，求的面积．【答案】(1)(2)(1)由题意得，得，因为点在双曲线上，所以，解得，所以双曲线的方程为，(2)由（1）可得，所以，不妨设点在双曲线的右支上，则，因为，所以，因为，所以由余弦定理得，因为，所以，所以的面积为