专题09 锐角三角函数（课后小练）-【一题三变系列】最新九年级数学下册重要考点题型精讲精练(人教版)

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专题09 锐角三角函数（课后小练）满分100分    时间：45分钟       姓名：注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）一、单选题(共24分)1．(本题4分)（2022·湖北湖北·模拟预测）如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中等于的是（       ）．A． B． C． D．【答案】D【分析】由同角的余角相等求得∠A=∠DBC，根据正弦三角函数的定义判断即可；【详解】解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°，∴∠A=∠DBC，A．=cosA，不符合题意；B．=tanA，不符合题意；C．=cos∠DBC=cosA，不符合题意；D．=sin∠DBC=sinA，符合题意；故选： D．【点睛】本题考查了三角函数的概念，掌握直角三角形中锐角的正弦为对边比斜边是解题关键．2．(本题4分)（2022·四川乐山·九年级期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosA=(     )A． B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理计算出AC长，再利用余弦定义可得答案．【详解】解：如下图．∵，，，∴，∴ ．故选：B．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做的余弦，记作．3．(本题4分)（2022·山西·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则tan∠BDE的值等于（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接AD，由△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D为BC中点，利用等腰三角形三线合一的性质，可证得AD⊥BC，再利用勾股定理，求得AD的长，那么在直角△ABD中根据三角函数的定义求出tan∠BAD，然后根据同角的余角相等得出∠BDE=∠BAD，于是tan∠BDE=tan∠BAD．【详解】解：连接AD，∵△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D为BC中点，∴AD⊥BC，BDBC＝6，∴AD，∴tan∠BAD．∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠BDE+∠ADE=90°，∠BAD+∠ADE=90°，∴∠BDE=∠BAD，∴tan∠BDE=tan∠BAD，故选：C．【点睛】此题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义以及余角的性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．4．(本题4分)（2022·湖南永州·二模）下列计算正确的是（     ）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别根据零指数幂、负整数指数幂、算术平方根及特殊角的三角函数值对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：A、原计算错误，该选项不符合题意；B、正确，该选项符合题意；C、原计算错误，该选项不符合题意；D、原计算错误，该选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、算术平方根及特殊角的三角函数值，熟记相关运算法则及公式是解答本题的关键．5．(本题4分)（2021·内蒙古包头·九年级期末）已知水库的拦水坝斜坡的坡度为，则这个拦水坝的坡角为（       ）度．A．30 B．45 C．60 D．90【答案】A【分析】根据坡度是坡角的正切值，利用特殊角的三角函数值求出坡角的度数【详解】解：∵水库的拦水坝斜坡的坡度为1:，∴坡角的正切值就是1:，即，∴坡角的度数为30度，故选A【点睛】本题考查了坡度的意义，熟记特殊角三角函数值是解题关键6．(本题4分)（2021·山东东平东原实验学校九年级阶段练习）若cos∠1=0.8，则∠1的度数在（       ）范围内．A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90°【答案】B【分析】，，由此判断得到正确答案．【详解】解：∵，， ∴∴ 故选：【点睛】本题考查根据锐角三角函数的数值，判断角度的取值范围，牢记特殊三角函数值是关键． 二、填空题(共20分)7．(本题5分)（2022·山东临沂·一模）设α是锐角，如果tanα＝3，那么cotα＝_____．【答案】【分析】根据三角形函数间的关系即可求得．【详解】解：∵tanα•cotα＝1，tanα＝3，∴cotα＝，故答案为：．【点睛】本题考查了三角函数间的关系，熟练掌握和运用三角函数间的关系是解决本题的关键．8．(本题5分)（2022·河南南阳·九年级期末）平面直角坐标系内有点，若与x轴的锐角夹角为，则的值为__________．【答案】【分析】根据题意作出图形，过点作轴于点，勾股定理求得的长，根据正弦的定义即可求解．【详解】解：如图，过点作轴，于点，∵点，轴，∴，，∴，，故答案为：．【点睛】本题考查了角的正弦值，勾股定理，坐标与图形，理解正弦的定义是解题的关键．9．(本题5分)（2022·广东·二模）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=2，tan∠OAC=，图中阴影部分的面积为_______．（结果保留π）【答案】【分析】利用正切函数求得OC，利用阴影部分的面积=扇形OAB的面积-△AOC的面积，即可求解．【详解】解：在Rt△AOC中，OA=2，tan∠OAC=，∴，即，∴OC，∴扇形OAB的面积为，△AOC的面积为×2×=，∴阴影部分的面积为．故答案为：．【点睛】本题考查了正切函数，扇形的面积，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．10．(本题5分)（2022·广东·佛山市南海区南海实验中学一模）Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠A＝，若AB＝5，则△ABC的面积是 _____．【答案】6【分析】在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解决问题．【详解】解：如图，在Rt△ACB中，∵∠C=90°，AB=5cm，∴sin∠A＝，∴，∴，∴．故答案为：6．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 三、解答题(共56分)11．(本题10分)（2022·云南曲靖·一模）如图，△ABC内接于⊙O，⊙O的直径AD与弦BC相交于点E，BE=EC，过点D的切线交AC的延长线于点F．(1)求证：BC∥DF；(2)若sin∠BAD=，AB=4，求AF的长．【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）根据垂径定理得到AD⊥BC，根据切线的性质得到AD⊥DF，根据平行线的判定定理即可得到结论；（2）连接CD，根据三角函数的定义得到CE=BE=4，根据勾股定理得到AE=8，根据三角函数的定义即可得到结论．(1)证明：∵AD为⊙O的直径，BE=CE，∴AD⊥BC，∵DF是⊙O的切线，∴AD⊥DF，∴BC∥DF；(2)解：连接CD，∵sin∠BAD=，AB=4， ∴CE=BE=4，∴AE==8，∵AD⊥BC，∴AC=AB=4，∵cos∠CAD=，∴，∴AD=10，AF=5．【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，三角函数的定义，平行线的判定，正确地作出辅助线是解题的关键．12．(本题10分)（2022·北京·九年级专题练习）计算：．【答案】【分析】利用绝对值的性质、零指数幂的运算法则、负整数指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简即可得出答案．【详解】解：原式．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值与实数的运算，熟练掌握运算法则和特殊的三角函数值是解本题的关键．零指数幂的运算法则：；负整数指数幂的法则：．13．(本题12分)（2021·上海·八年级期末）如图，在中，，，，求：的面积和的度数．【答案】；【分析】根据勾股定理解答即可求出的面积，利用三角函数求出的度数．【详解】解：过A作AD⊥BC于D，设BD=x，DC=8-x，由勾股定理可得： 即 解得:x= ∴AD=∴△ABC的面积=BC·AD=在Rt△ACD中，∵sinC= ∴∠C=60°答：的面积为， 为60°．【点睛】本题考查了勾股定理和锐角三角函数，解题的关键是根据勾股定理得出AD的长．14．(本题12分)（2019·全国·九年级单元测试）已知：如图，，、是上的两点，． （1）求证：； （2）锐角的正切函数值随角度的增大而________．【答案】（1）证明见解析；（2）增大．【分析】（1）根据锐角三角函数的定义进行比较即可；（2）由（1）可总结出规律．【详解】解：（1）∵，∴ 和均为直角三角形，∴ ，，∴ ；（2）由（1）可知锐角的正切函数值随角度的增大而增大．【点睛】本题考查锐角三角函数的增减性.15．(本题12分)（2022·湖北鄂州·二模）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝BF．连接DE，AF交于点G．(1)求证：DE⊥AF；(2)若点E，F分别为边AB，BC的中点，正方形ABCD的边长为．过点B作BH⊥AF于点H，求线段GH的长．【答案】(1)见解析(2)2 【分析】(1)根据正方形的性质，运用互余的性质，证明△DAE≌△ABF，后利用互余性质证明即可．(2)根据正方形的性质，利用三角函数，平行线分线段成比例定理求解即可．(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BA，∠DAE=∠ABF=90°，∵ AE=BF，∴△DAE≌△ABF（SAS），∴∠EAG=∠ADG， ∵∠EAG+∠GAD=90°，∴∠ADG+∠GAD=90°， ∴∠AGD=90°， ∴DE⊥AF．(2)∵ 四边形ABCD是正方形，∴AD=BA=BC，∠DAE=∠ABF=90°，∵点E，F分别为边AB，BC的中点，正方形ABCD的边长为．∴AE=BF=，∴△DAE≌△ABF（SAS），∴∠EAG=∠ADG， ∵∠EAG+∠GAD=90°，∴∠ADG+∠GAD=90°， ∴∠AGD=90°， ∴DE⊥AF，∴tan∠ADE=tan∠EAG=.，∴ ，解得AG=2， ∵BH⊥AF，∴EG∥BH，∴，∵AE=EB，∴GH=AG=2.．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角函数，平行线分线段成比例定理，熟练掌握正方形的性质，灵活运用三角函数，平行线分线段成比例定理是解题的关键．