高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线课时训练

第三章　3.3.1

A级——基础过关练

1.(2021年沈阳月考)抛物线x2＝16y的准线方程为(　　)

A．y＝－4 B．y＝－8

C．x＝－4 D．x＝－8

【答案】A　【解析】由已知2p＝16，所以p＝8，所以准线方程为y＝－4.

2.(2021年大连月考)点M(5,3)到抛物线y＝ax2准线的距离为6，那么抛物线的方程是(　　)

A．y＝12x2 B．y＝12x2或y＝－36x2

C．y＝－36x2 D．y＝x2或y＝－x2

【答案】D　【解析】分两类a>0，a<0可得y＝x2，y＝－x2.

3.抛物线y＝2x2的焦点到准线的距离为(　　)

A． B．

C． D．4

【答案】C　【解析】根据题意，抛物线的方程为y＝2x2，其标准方程为x2＝y，其中p＝，则抛物线的焦点到准线的距离p＝.

4.O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(　　)

A．2 B．2

C．2 D．4

【答案】C　【解析】抛物线C的准线方程为x＝－，焦点F(，0)，由|PF|＝4及抛物线的定义知，P点的横坐标xP＝3，从而yP＝±2，所以S△POF＝|OF|·|yP|＝××2＝2.

5.已知抛物线的方程为x＝y2，则该抛物线的准线方程是________．

【答案】x＝－9　【解析】x＝y2，焦点在x轴上，且＝9，所以抛物线的准线方程是x＝－9.

6.设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________.

【答案】8　【解析】如图，∠AFE＝60°，因为点F(2,0)，所以点E(－2,0)，则＝tan 60°，即|AE|＝4，所以点P的坐标为(6，4)，故|PF|＝|PA|＝6＋2＝8.

7.已知P为抛物线y2＝4x上的任意一点，记点P到y轴的距离为d，对于定点A(4,5)，|PA|＋d的最小值为________．

【答案】－1　【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线l：x＝－1.由题意得d＝|PF|－1，所以|PA|＋d≥|AF|－1＝－1＝－1，当且仅当A，P，F三点共线时，|PA|＋d取得最小值－1.

8.已知抛物线y＝x2与双曲线－x2＝1(a>0)有共同的焦点F，O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线上，则·的最小值为________．

【答案】3－2　【解析】抛物线y＝x2，即x2＝8y的焦点为F(0，2)．所以a2＝22－12＝3，故双曲线的方程为－x2＝1.设P(x，y)，因为点P在x轴上方，故由双曲线的性质可得y≥.＝(x，y)，＝(x，y－2)，·＝x2＋y(y－2)＝x2＋y2－2y＝＋y2－2y－1＝y2－2y－1＝－1＝2－.因为y＝<，故函数t＝(y－)2－在[，＋∞)上单调递增，当y＝时，取得最小值，最小值为×()2－2×－1＝3－2.所以·的最小值为3－2.

9．已知动圆M与直线y＝3相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．

解：设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，

则由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等，则动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.

10．如图，抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴上，准线l与圆x2＋y2＝1相切．

(1)求抛物线C的方程；

(2)若点A，B都在抛物线C上，且＝2，求点A的坐标．

解：(1)依题意，可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，其准线l的方程为y＝－.

因为准线l与圆x2＋y2＝1相切，

所以圆心(0,0)到准线l的距离d＝0－＝1，

解得p＝2.

故抛物线C的方程为x2＝4y.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则由题意得F(0,1)，

所以＝(x2，y2－1)，＝(x1，y1)，因为＝2，

所以(x2，y2－1)＝2(x1，y1)＝(2x1,2y1)，

即代入②得4x＝8y1＋4，

即x＝2y1＋1.

又x＝4y1，所以4y1＝2y1＋1，

解得y1＝，x1＝±，

故点A的坐标为或.

B级——能力提升练

11．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．若抛物线y2＝4x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为(　　)

A． B．－

C．± D．－

【答案】B　【解析】将y＝1代入y2＝4x，可得x＝，即A.由抛物线的光学性质可知，直线AB过焦点F(1,0)，所以直线AB的斜率k＝＝－.

12．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝(　　)

A．3 B．4

C．6 D．8

【答案】C　【解析】如图，在正三角形ABF中，DF＝p(p>0)，BD＝p，所以B点坐标为.又点B在双曲线上，故－＝1，解得p＝6.

13．以椭圆＋＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．

【答案】y2＝16x　【解析】因为椭圆的方程为＋＝1，所以右顶点为(4,0)．设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则＝4，即p＝8，所以抛物线的标准方程为y2＝16x.

14．抛物线y2＝6x上一点M(x1，y1)到其焦点的距离为，则点M到坐标原点的距离为________．

【答案】3　【解析】由题意知，焦点坐标为，准线方程为x＝－，由M(x1，y1)到焦点的距离等于到准线的距离，得x1＋＝，则x1＝3，所以y＝18，可得|OM|＝＝3.

15．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上两点A，B，且AB⊥y轴，OA⊥OB，△AOB的面积为16，求抛物线C的方程．

解：不妨设点A在第一象限且A(m，n)，则B(－m，n)，可得m2＝2pn，

AB⊥y轴，且OA⊥OB，即△AOB为等腰直角三角形，则OA的斜率为1，即m＝n，

△AOB的面积为16，可得·2m·n＝16，

解得m＝n＝4，p＝2，

所以抛物线C的方程为x2＝4y.

16．已知抛物线y2＝2px(p>0)上的一点M到定点A和焦点F的距离之和的最小值等于5，求抛物线的方程．

解：抛物线的准线为l：x＝－.

①当点A在抛物线内部时，42<2p·，

即p>时，过M作MA′⊥l，垂足为A′，

则|MF|＋|MA|＝|MA′|＋|MA|.

当A，M，A′共线时，(|MF|＋|MA|)min＝5，

即＋＝5，

所以p＝3，满足p>，

所以抛物线方程为y2＝6x.

②当点A在抛物线外部时，42>2p·，

即p<时，|MF|＋|MA|≥|AF|，

当A，M，F共线时取等号，|AF|＝5，

即＝5，

所以p＝1或p＝13(舍去)，所以抛物线方程为y2＝2x.

③当点A在抛物线上，即p＝时，结合②明显不成立．

综上，抛物线方程为y2＝6x或y2＝2x.

C级——探究创新练

17．设点P是曲线y2＝4x上的一个动点．

(1)点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________；

(2)若B(3,2)，点F是抛物线的焦点，则|PB|＋|PF|的最小值为________．

【答案】　4　【解析】(1)如图1，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离，于是，问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连接AF交曲线于P点，故最小值为＝.

(2)如图2，自B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，此时，|P1Q|＝|P1F|，那么|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.

18．如图，花坛的水池中央有一喷泉，水管O′P＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下．若最高点距水面2 m，P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计为多少米(精确到1 m)?

解：如图，建立平面直角坐标系．

设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．

依题意有P′(1，－1)在此抛物线上，代入抛物线方程，得p＝.

故得抛物线方程为x2＝－y.

因为点B在抛物线上，将B(x，－2)代入抛物线方程得x＝，即|AB|＝，则|AB|＋1＝＋1，

因此所求水池的直径为2(1＋)≈5(m)，

故水池的直径至少应设计为5 m.