高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置教学设计

第二章  直线和圆的方程

2.5  直线与圆、圆与圆的位置关系

2.5.1  直线与圆的位置关系

一、教学目标

1. 理解直线与圆的三种位置关系

2. 会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系

3. 会用方程思想（判别式法）判断直线与圆的位置关系

4. 培养数学抽象和数学运算的核心素养

二、教学重点、难点

重点：理解直线与圆的三种位置关系

难点：会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系

三、学法与教学用具

1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.

2、教学用具：多媒体设备等

四、教学过程

（一）创设情景，揭示课题

【情景一】太阳在一天内与地平线的关系

【问题一】太阳视作圆，地平线视作直线，体现了哪些关系？

【情景二】台风与轮船的航行

一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为50km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北70km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

【问题】你怎么判断轮船受不受影响？

【思考】台风所在的圆与轮船航线所在直线是否相交？

【探索】直线与圆的位置关系．

（二）阅读精要，研讨新知

【位置】在平面几何中，直线与圆的关系以及位置判断方法

【问题】已知直线方程和圆的方程，如何诠释上述位置关系？

       已知直线和圆，考察直线与圆的交点个数.

【例题研讨】阅读领悟课本例1、例2（用时约为3分钟，教师作出准确的评析.）

 例1已知直线和圆，判断直线与圆的位置关系;如果相交，求直线被圆所截得的弦长.

解法1：由，，

所以，直线与圆相交，有两个公共点.

设直线与圆交于两个不同的点，则

弦长

解法2:可得圆的标准方程，因此圆心

圆心到直线的距离

所以，直线与圆相交，有两个公共点.

弦长

例2过点作圆的切线，求切线的方程.

解法1:设切线的方程为，即，又圆心

由，解得或

因此，所求切线的方程为,或.

解法2: 设切线的方程为，即，

由

因为直线与圆相切，所以方程组只有一组解，

所以，解得或

因此，所求切线的方程为,或.

【小组互动】完成课本练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑.

【练习答案】

【例题研讨】阅读领悟课本例3、例4（用时约为3分钟，教师作出准确的评析.）

例3图2.5-3是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 圆拱跨度 m,拱高 m,建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑， 求支柱的高度(精确到0.01 m).

解：建立如图2.5-4所示的直角坐标系，使线段所在直线为轴，

为坐标原点，圆心在轴上，由题意，点，

设圆方程是，则

，解得

所以，圆的方程是

把点的横坐标代人圆的方程，解得m符合题意，

答：支柱的高度约为3.86 m.

例4 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处.如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险?

解：以小岛的中心为原点,东西方向为轴，建立如图2. 5-5所示的直角坐标系，

取10 km为单位长度，则港口所在位置的坐标为，

轮船所在位置的坐标为.

这样，受暗礁影响的圆形区城的边缘所对应的圆的方程为

轮船航线所在直线的方程为，即，

由，消去得

由，可知方程组无解，

所以直线与圆相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险.

【发现】用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”:

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、 圆，把平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.

【小组互动】完成课本练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑.

【练习答案】

（三）探索与发现、思考与感悟

1. 已知直线与圆相交于 两点，且，则实数的值为               .

解：由已知，圆的标准方程为，圆心为 ，半径为3，

因为，易知圆心到直线的距离为，所以， 解得或.

答案：0或6

2.（多选）下列结论中，正确的是（   ）

A. 直线与圆的位置关系是相交

B. 已知圆截直线所得弦长为4，则

C. 过点作圆的切线方程为

D. 直线与圆交于两点，则(是原点)

解：对于A，因为圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，正确；对于B，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以，解得，正确；

对于C，因为点在圆上，且圆心，所以，

所以切线的斜率为，则切线方程为，即，正确；

对于D，圆心到直线的距离为，所以，

又原点到直线的距离为，所以，正确.

故选ABCD

3. 经过点，且与圆相切的直线方程为_________________.

解：将点代入圆方程，，所以点在圆外，设直线方程为，

即，依题意，，解得或

故所求直线方程为或

答案：或

4. 曲线与直线有两个交点,则实数的取值范围是________. 

解：因为直线过,又曲线图象是圆心为半圆,

当直线与半圆相切, 为切点时, 圆心到直线的距离

当直线过点时,直线的斜率

则直线与半圆有两个不同的交点时,实数k的取值范围为.

答案:

（四）归纳小结，回顾重点

（五）作业布置，精炼双基

1. 完成课本习题2.5  1、2、3、13、14

2. 预习2.5  直线与圆、圆与圆的位置关系

五、教学反思：（课后补充，教学相长）