【培优分阶练】高中数学(人教A版2019)选修第二册 第四章《数列》章节综合测试（含解析）

第四章 数列综合试卷

班级____         姓名_________      考号__________

一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）

1．已知、、成等比数列，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】解：因为、、成等比数列，

所以，解得；

故选：C

2．等差数列中，若，则等于（       ）

A． B．0 C． D．1

【答案】B

【详解】解：因为，

所以，所以，所以；

故选：B

3．数列满足，若，，则=（       ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【详解】解：因为，，，

则，

，

，

，

，

，

.

故选：C.

4．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支，把十天干和十二地支依次相配，如甲对子、乙对丑、丙对寅、…、癸对寅，其中天干比地支少两位，所以天干先循环，甲对戍、乙对亥…接下来地支循环，丙对子、丁对丑、…，以此用来纪年，今年2022年是壬寅年，那么中国共产党成立时的1921年是（       ）

A．戊辰年 B．壬戌年 C．辛酉年 D．庚午年

【答案】C

【详解】解：根据题意可得，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，

从1921年到2022年经过101年，且2022年为“壬寅”年，以2022年的天干和地支分别为首项，

则，则1921年的天干为辛，，则1921年的地支为酉，

所以1921年为辛酉年．

故选：C．

5．在等差数列中，，其前n项和为，若，则（       ）

A．2021 B．-2021 C．-2022 D．2022

【答案】C

【详解】解：因为数列为等差数列，故，则，

当时，，则，

所以数列为等差数列，设其公差为d．又，即，又，所以，所以，即．

故选：C.

6．已知数列的通项公式为，则中的最大项为（       ）

A．第6项 B．第12项 C．第24项 D．第36项

【答案】C

【详解】因为令，得，解得．

所以当时，，即，

当时，，即，因此当时，最大．

故选：C.

7．若数列的前项和为，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】当时，，可得，

当时， 由可得，

上述两个等式作差可得，可得，

所以，数列是首项为，公比也为的等比数列，则，

因此，.

故选：D.

8．已知数列满足．若对任意，（且）恒成立，则m的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】当时，由，得，

两式相除得，也适合

所以

，

因为对任意，（且）恒成立，

所以，

所以，

当时，由，得，则，

当时，由，得，则，

综上，

故选：A

二、多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，多选或错选不得分）

9．已知为等差数列，满足，为等比数列，满足，，则下列说法正确的是（       ）

A．数列的首项比公差多 B．数列的首项比公差少

C．数列的首项为 D．数列的公比为

【答案】AD

【详解】设的公差为，由，

得，化简得，

所以A正确，B错误．

设的公比为，由，得，化简得，

所以C错误，D正确，

故选：AD.

10．记为等差数列的前项和，则（       ）

A． B．

C．，，成等差数列 D．，，成等差数列

【答案】BCD

【详解】由已知得，

A选项，，，，所以，A选项错误；

B选项，，B选项正确；

C选项，，，，，，则，C选项正确；

D选项，，，，则，D选项正确；

故选：BCD.

11．已知数列满足，，记数列的前n项和为，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【详解】因为，，所以，，，

对于A，，所以A错误，

对于B，当时，，所以B错误，

对于C，因为， 数列是以3为周期的周期数列，所以，所以C正确，且

对于D，因为数列是以3为周期的周期数列，且，所以，所以D正确，

故选：CD

12．“提丢斯数列”是18世纪由德国物理学家提丢斯给出的，具体为，取0，3，6，12，24，48，96，…这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0．4，0．7，1．0，1．6，2．8，5．2，10．0，…，则下列说法中正确的是（       ）

A．“提丢斯数列”是等比数列

B．“提丢斯数列”的第99项为

C．“提丢斯数列”的前31项和为

D．“提丢斯数列”中，不超过20的有8项

【答案】BCD

【详解】记“提丢斯数列”为数列，则当时，，

当时，，符合该式，当时，不符合上式，故，故A错误；

，故B正确；

“提丢斯数列”的前31项和为，故C正确；令，

即，得，又，故不超过20的有8项，故D正确．

故选：BCD．

三、填空题（每小题5分，共计20分）

13．已知数列的通项公式为，则该数列中的数值最大的项是第___________项.

【答案】5

【详解】因为,所以,由于,所以当时,最大,此时

故答案为：5

14．已知等比数列的前n项和为，公比．若，则__________．

【答案】

【详解】由题意知，，解得或，又，则.

故答案为：.

15．已知数列都是等差数列，分别是它们的前项和，并且，则___________.

【答案】2

【详解】因为为等差数列，

所以，

又，所以.

故答案为：2.

16．已知数列的首项，且满足.若对于任意的正整数，存在，使得恒成立，则的最小值是___________.

【答案】3

【详解】数列满足，且，即，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

以上各式相加，得

又，，

，，

若对于任意的正整数，存在，使得恒成立，则有，

的最小值是3.

故答案为：.

四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，17题10分，其余各题每题各12分）

17．在①，；②，；③，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中的横线上，并解答（若选择两个或三个按照第一个计分）.已知等差数列的前项和为，___________，数列是公比为2的等比数列，且.求数列，的通项公式.

【答案】；

【详解】设等差数列的公差为.

若选①：根据等差数列的性质，由有，故，所以，解得，故.故，故

若选②：由题意，即，解得，故.故，故

若选③：由可得，即，解得，故.故，故

18．已知数列的通项公式为，且，．

(1)求的通项公式；

(2)求该数列的最大项．

【答案】

(1)

将、代入通项公式得，，解得，，

∴；

(2)

∵在R上单调递减，

∴为递减数列，

∴数列的最大项为其第一项.

19．已知等差数列满足，等比数列满足；

(1)求数列和的通项公式；

(2)求数列的前项和．

【答案】

(1)

设等差数列的公差为，则，所以

设等比数列的公比为，则，所以；

(2)

因为，

所以的前项和为

20．某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张.为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，一旦某年发放的燃油型汽车牌照数为0万张，以后每一年发放的燃油型的牌照的数量维持在这一年的水平不变.同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变.

(1)记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列，写出这两个数列的通项公式；

(2)从2013年算起，求到2029年（包含2029年）累计各年发放的牌照数.

【答案】

(1)

设当时，数列为等差数列，则

根据题意令，则

∴，则

设当时，数列为等比数列，则

其前项和为递增数列，且

∴，，则

(2)

根据题意可得到2029年（包含2029年），即为第17年

对于数列的前项和

对于数列的前项和

到2029年（包含2029年）累计各年发放的牌照数为（万张）

21．已知数列为等差数列，．．

(1)求数列的通项公式；

(2)设求数列的前n项和．

【答案】

(1)

设等差数列的公差为d，由，得①；

又，得，即②，联立①②解得，，

所以．

(2)

由（1）可知，

所以．

22．设等差数列的前n项和为，且，.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和.

【答案】

（1）设等差数列的公差为d，由题意得,所以，故；

（2）因为，，所以，，两式相减得，所以.