高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念课后测评

第4.3.1练  等比数列的概念

培优第一阶——基础过关练

一、单选题

1．在等比数列中，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由题意，，

故选：C．

2．已知在递减等比数列中，，，若，则（       ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】A

【详解】

由，且可解得 ，因此可得等比数列的公比为 ，所以

故选：A

3．已知等比数列的公比为，若，则（     ）

A． B． C．2 D．4

【答案】B

【详解】

解：因为，则，即，所以．

故选：B.

4．设单调递增的等比数列满足，，则公比（       ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【详解】

因为为等比数列，所以，所以，则，

又单调递增，所以，

解得：，，则，

因为，所以．

故选：A

5．若数列，a，b，c，是等比数列，则实数的值为（       ）

A．4或 B． C．4 D．

【答案】B

【详解】

∵，a，b成等比数列，则，∴

由题意得：，则

故选：B．

6．已知数列是等比数列，满足，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

设等比数列的公比为，则，解得，

所以，，

因此，.

故选：B.

7．若等比数列中，则该数列前11项的乘积为（       ）

A．32 B． C．16 D．

【答案】B

【详解】

根据等比中项性质可得，所求.

故选：B

8．已知公比大于 1 的等比数列 ​中，​， 则​（       ）

A．​ B．​ C．2 D．​

【答案】D

【详解】

由​，可得:，又，且公比大于 1 ，故可解得，所以，

故选：D

9．在等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

设等比数列的公比为，由题意，，即，

，则，，

则，所以D正确.

故选：D.

10．如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为．已知标准对数视力对应的国际标准视力准确值为，则标准对数视力对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（       ）

（参考数据：）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

依题意，以标准对数视力为左边数据组的等差数列的首项，其公差为-0.1，标准对数视力为该数列第3项，

标准对数视力对应的国际标准视力值1.0为右边数据组的等比数列的首项，其公比为，

因此，标准对数视力对应的国际标准视力值为该等比数列的第3项，其大小为.

故选：D

二、多选题

11．设是等比数列，则下列四个命题正确的是（       ）

A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等比数列

【答案】ABC

【详解】

设公比为，则，，即是首项为，公比为的等比数列，A正确；

，即是首项为，公比为的等比数列，B正确；

，即是首项为，公比为的等比数列，C正确；

若数列的首项，则，此时不是等比数列，D错误.

故选：ABC.

12．某企业为一个高科技项目注入了启动资金2000万元，已知每年可获利20%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中取出200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率．设经过n年之后，该项目的资金为万元．（取，），则下列叙述正确的是（       ）

A．

B．数列的递推关系是

C．数列为等比数列

D．至少要经过6年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番（即为原来的2倍）的目标

【答案】ACD

【详解】

根据题意：经过1年之后，该项目的资金为万元，A正确；

，B不正确；

∵，则

即数列以首项为1200，公比为1.2的等比数列，C正确；

，即

令，则

至少要经过6年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番（即为原来的2倍），D正确；

故选：ACD．

三、解答题

13．已知等差数列满足，前4项和．

(1)求的通项公式；

(2)设等比数列满足，，数列的通项公式．

【答案】(1)(2)或

【解析】(1)

设等差数列首项为，公差为d．

∵

∴

解得：

∴等差数列通项公式

(2)

设等比数列首项为，公比为q

∵

∴

解得：

即或

∴等比数列通项公式或

14．数列满足：，．记，求证：数列为等比数列；

【解析】

证明：∵，∴，

∴，∴数列是以，公比为的等比数列．

15．已知数列满足，，.设，求证：数列是等比数列.

【解析】

证明：因为，，

所以，

又，

所以数列是以2为公比，为首项的等比数列.

培优第二阶——拓展培优练

一、单选题

1．在正项等比数列中，，则（       ）

A．5 B．10 C．50 D．10000

【答案】A

【详解】

因为，

所以，

因此，.

故选：A.

2．已知等比数列的前3项积为8，，则（       ）

A．8 B．12 C．16 D．32

【答案】D

【详解】

由题知，所以，又因为，所以，所以，所以.

故选：D.

3．已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为，所以，解得．

又，，成等比数列，所以，

设公差为d，所以，

整理得，因为，所以，

从而．

故选：B

4．已知数列为等比数列，若，为函数的两个零点，则（       ）

A．10 B．12 C．32 D．33

【答案】B

【详解】

解：因为，为函数的两个零点，

所以，所以或

所以，当时，，，

当时，，，

所以，.

故选：B

5．若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，可以形成一个新的数列，再把所得数列按照同样的方法可以不断构造出新的数列.现将数列1，3进行构造，第1次得到数列1，4，3；第2次得到数列1，5，4，7，3；依次构造，第次得到数列1，.记，若成立，则的最小值为（       ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】C

【详解】

由题意知：，则，

则，

当时，.

当时，.

故选：C.

6．如图，在边长为的等边三角形ABC中，圆与△ABC相切，圆与圆相切且与AB，AC相切，…，圆与圆相切且与AB，AC相切，依次得到圆，，…，．当圆的半径小于时，（），n的最小值为（       ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】A

【详解】

如图，设圆与相切于点，过作的垂线，垂足为，

则，故，

设圆的半径为，则即，

而内切圆的半径即，

故，所以即为等比数列，所以，

令，则，所以，

故的最小值为5，

故选：A.

二、多选题

7．正项等比数列中，、、成等差数列，且存在两项使得，则（       ）

A．数列公比为 B．的最小值是

C． D．的最小值是

【答案】ABC

【详解】

设等比数列的公比为，则，，

由已知，可得，，则，A对；

因为，则，可得，可得，C对；

因为、，且，

当，时，；当，时，；

当时，；当，时，；

当，时，.

综上所述，的最小值为，B对D错.

故选：ABC.

8．已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述正确的是（       ）

A．数列的最大项为 B．数列的最小项为

C．数列为递增数列 D．数列为递增数列

【答案】ABC

【详解】

对于A，由题意知：当为偶数时，；

当为奇数时，，，最大；

综上所述：数列的最大项为，A正确；

对于B，当为偶数时，，，最小；

当为奇数时，；

综上所述：数列的最小项为，B正确；

对于C，，，

，

，，，

数列为递增数列，C正确；

对于D，，，

；

，，，又，

，数列为递减数列，D错误.

故选：ABC.

三、解答题

9．已知数列满足，且（，且），为何值时，数列是等比数列.

【答案】

【详解】

解：若数列是等比数列，则（为非零常数），且，

即，对于任意恒成立，则，解得，

故当时，数列是等比数列.

10．假设某市2021年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底：

(1)该市历年所建中低价房的累计面积（以2021年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？

(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？

【解析】

(1)

设中低价房面积形成数列，由题意可知是等差数列，

其中，，则．

令，即，

是正整数，则．

即到2030年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．

(2)

设新建住房面积形成数列，由题意可知是等比数列，

其中，，则．

由题意可知，有．

是正整数，则的最小值为6．

∴当2026年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%．