高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列课时练习

第四章　4.2　4.2.2

A级——基础过关练

1．(2022年成都月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a6＝9，S6＝21，则数列{an}的公差是(　　)

A．－1　 B．2

C．1　 D．－2

【答案】C　【解析】由已知条件a3＋a6＝9，S6＝21，可得解得a1＝1，d＝1，∴数列{an}的公差是1.

2．已知一个等差数列的前四项和为21，末四项和为67，前n项和为286，则项数n为(　　)

A．24 B．26

C．27 D．28

【答案】B　【解析】由等差数列的定义和性质可得首项与末项之和等于＝22，再由前n项和为286＝＝11n，得n＝26.

3．(2022年哈尔滨六中月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2＋a5＝a6＋a3，则S7＝(　　)

A．28　　 B．14

C．7　　 D．2

【答案】B　【解析】由2＋a5＝a6＋a3，得(a6－a5)＋a3＝2，即d＋a3＝2，a4＝2，则S7＝7a4＝7×2＝14.

4．(2022年昆明模拟)已知等差数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，若a1＝1，＝a2，则a8＝(　　)

A．12　 B．13

C．14　　　　 D．15

【答案】D　【解析】设等差数列{an}的公差为d，由题意得＝1＋d，解得d＝2或d＝－1(舍去)，所以a8＝1＋7×2＝15.

5．(2022年武汉模拟)已知数列{an}满足an＋1＝an－且a1＝4，设{an}的前n项和为Sn，则使得Sn取得最大值的n的值为(　　)

A．5　 B．6

C．5或6　 D．6或7

【答案】C　【解析】由an＋1＝an－，得an＋1－an＝－，又∵a1＝4，∴数列{an}是首项为4，公差为－的等差数列，∴Sn＝4n＋×＝－n2＋n，易知对称轴为n＝，又∵n∈N*，∴使得Sn取得最大值的n的值为5或6.

6．(多选)(2021年苏州期末)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1>0，公差d≠0，则下列命题正确的是(　　)

A．若S5＝S9，则必有S14＝0

B．若S5＝S9，则必有S7是Sn中最大的项

C．若S6>S7，则必有S7>S8

D．若S6>S7，则必有S5>S6

【答案】ABC　【解析】若S5＝S9，则5a1＋10d＝9a1＋36d，得a1＝－.∵a1>0，∴d<0.S14＝＝7(a1＋a14)＝7(a1＋a1＋13d)＝7(2a1＋13d)＝0，故A对；Sn＝na1＋＝－＋＝，由二次函数的性质知S7是Sn中最大的项，故B对；若S6>S7，则a7＝a1＋6d<0，∴a1<－6d，∵a1>0，∴d<0，∴a6＝a1＋5d<－6d＋5d＝－d>0，a8＝a7＋d<a7<0，∴S5<S6＝S5＋a6，S7>S8＝S7＋a8，C对，D错．

7．(2022年洛阳阶段)已知数列{an}，an＝2n＋1，Sn为其前n项和，则下列函数图象中，点(n，Sn)在图象上的是(　　)

A B

C D

【答案】C　【解析】因为an＋1－an＝2(n＋1)＋1－(2n＋1)＝2，故数列{an}为等差数列，则Sn＝＝＝n2＋2n.故选C．

8．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＋a9＝18，a4＝7，则S10＝________．

【答案】100　【解析】设等差数列{an}的公差为d，∵a1＋a9＝18，a4＝7，

∴解得d＝2，a1＝1，∴S10＝10＋×2＝100.

9．已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110，则a＝________，k＝________．

【答案】2　10　【解析】设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a.由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.

10．已知等差数列{an}中，a3＝2，3a2＋2a7＝0，其前n项和为Sn.

(1)求等差数列{an}的通项公式；

(2)求Sn，试问n为何值时Sn最大？

解：(1)设等差数列{an}的公差为d，

依题意，a1＋2d＝2，5a1＋15d＝0，

解得a1＝6，d＝－2，

∴数列{an}的通项公式为an＝－2n＋8.

(2)Sn＝6n＋·(－2)＝－n2＋7n＝－＋，

∴当n＝3或4时，Sn最大．

B级——能力提升练

11．(2022年石家庄模拟)已知函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，且f(x)在(－1，＋∞)上单调，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，则数列{an}的前100项的和为(　　)

A．－200　 B．－100

C．－50　 D．0

【答案】B　【解析】因为f(x)的图象关于直线x＝－1对称，又f(x)在(－1，＋∞)上单调，所以f(x)在(－∞，－1)上也单调．又因为f(a50)＝f(a51)，所以a50＋a51＝－2，所以S100＝＝50(a50＋a51)＝－100.

12．(多选)(2021年南通期末)设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.已知a3＝12，S12>0，a7<0，则(　　)

A．a6>0

B．－<d<－3

C．Sn<0时，n的最小值为13

D．数列中最小项为第7项

【答案】ABCD　【解析】依题意得a3＝a1＋2d＝12，a1＝12－2d，S12＝×12＝6(a6＋a7)>0，而a7<0，所以a6>0，a1>0，d<0，A选项正确；由

得－<d<－3，B选项正确；由于S13＝×13＝13a7<0，而S12>0，所以Sn<0时，n的最小值为13，C选项正确；由上述分析可知，n∈时，an>0，n≥7时，an<0，当n∈时，Sn>0，当n≥13时，Sn<0，所以当n∈时，an<0，Sn>0，<0，且当n∈时，为递增数列，Sn为正数且为递减数列，所以数列中最小项为第7项．

13．有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项和为________．

【答案】1472　【解析】等差数列2，6，10，…，190中，公差d1＝4.等差数列2，8，14，…，200中，公差d2＝6.∵4，6的最小公倍数是12，∴由这两个等差数列的公共项组成一个新数列公差d＝12.∵新数列最大项n≤190，∴2＋(n－1)×12≤190，解得n≤，∴n＝16.∵新数列中第16项a16＝2＋(16－1)×12＝182，∴由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列为2，14，26，…，182，各项之和为S16＝×(2＋182)＝1472.

14．(2022年青岛开学)设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝n(n－29)，则数列{an}的通项公式为________；若|ak|＋|ak＋1|＋|ak＋2|＋…＋|ak＋20|＝110，则k的值是________．

【答案】an＝n－15　5　【解析】n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n－15；当n＝1时，a1＝S1＝－14，适合an＝n－15.综上，数列{an}的通项公式为an＝n－15；当k≥15时，|ak|＋|ak＋1|＋|ak＋2|＋…＋|ak＋20|≥|a15|＋|a16|＋|a17|＋…＋|a35|＝0＋1＋2＋…＋20＝＝210>110，不适合题意；当k<15时，|ak|＋|ak＋1|＋|ak＋2|＋…＋|ak＋20|＝(15－k)＋(14－k)＋(13－k)＋…＋2＋1＋0＋1＋2＋3＋…＋(k＋5)＝＋＝k2－10k＋135，于是k2－10k＋135＝110，整理得k2－10k＋25＝0，解得k＝5.

15．数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2.

(1)求证：{an}是等差数列；

(2)求当Sn最大时n的值；

(3)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和S′n.

(1)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，

又因为当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1满足an＝34－2n，

故{an}的通项为an＝34－2n，

所以an＋1－an＝34－2(n＋1)－(34－2n)＝－2.

故数列{an}是以32为首项，－2为公差的等差数列．

(2)解：令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，故数列{an}的前17项大于或等于零．

又因为a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．

(3)解：由(2)知，当n≤17时，an≥0；当n≥18时，an＜0，

所以当n≤17时，S′n＝b1＋b2＋…＋bn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2.

当n≥18时，

S′n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|

＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)

＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn

＝n2－33n＋544.

故S′n＝