人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列随堂练习题

第四章　4.3　4.3.2

A级——基础过关练

1．数列{2n－1}的前10项和为(　　)

A．211－1　　　 B．1－211

C．210－1　　 D．1－210

【答案】C　【解析】数列{2n－1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前10项和为S10＝＝210－1.

2．设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则的值为(　　)

A．15 B．18

C．21 D．24

【答案】A　【解析】∵S4＝，a4＝a1q3，∴＝＝15.

3．(2021年衡水模拟)有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍．初日屠五两，今三十日屠讫，向共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？”在这个问题中，该屠夫前5天所屠肉的总两数为(　　)

A．35　 B．75

C．155　 D．315

【答案】C　【解析】由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列，记首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，则a1＝5，q＝2，∴前5天所屠肉的总两数为S5＝＝＝155.

4．(2022年临汾期末)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若S2＝1，S4＝3，则S6＝(　　)

A．6 B．7

C．8 D．9

【答案】B　【解析】根据题意，等比数列{an}中，有(S4－S2)2＝S2×(S6－S4)，即(3－1)2＝(S6－3)×1，解得S6＝7.故选B．

5．(2022年安徽开学)已知正项数列{an}满足：∀m，n∈N*，am·an＝am＋n，若a4＝4，则数列{a2n}的前2022项和为(　　)

A．22022－2 B．22023－2

C．21011－2 D．21012－2

【答案】B　【解析】由题意得，a2·a2＝a4，∵an>0，∴a2＝2.令m＝2，则由am·an＝am＋n可得2an＝an＋2，2a2n＝a2n＋2＝a2(n＋1)，故数列{a2n}是以2为首项，2为公比的等比数列，则数列{a2n}的前2022项和为a2＋a4＋a6＋…＋a4044＝＝22023－2.故选B．

6．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝(　　)

A．29 B．31

C．33 D．35

【答案】B　【解析】设数列{an}的公比为q，∵a2·a3＝a·q3＝a1·a4＝2a1，∴a4＝2.又∵a4＋2a7＝a4＋2a4q3＝2＋4q3＝2×，∴q＝，∴a1＝＝16，∴S5＝＝31.

7．(多选)(2022年海口模拟)已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比为q，前n项和为Sn，则(　　)

A．q＝2　 B．an＝2n

C．S10＝2047　 D．an＋an＋1<an＋2

【答案】ABD　【解析】由a4＝2a2＋a3，a1＝2，得2q3＝4q＋2q2，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，A正确；an＝2×2n－1＝2n，B正确；S10＝＝2046，C错误；根据B可知an＝2n，则an＋an＋1＝2n＋2n＋1＝3×2n，而an＋2＝2n＋2＝4×2n，故an＋2>an＋an＋1，D正确．

8．(2022年重庆期末)在等比数列{an}中，a1＝2，a4＝128，若数列{bn}满足bn＝log2an，则数列{bn}的前20项和为________．

【答案】400　【解析】设等比数列{an}的公比为q，则q＝＝4，an＝a1qn－1＝2×4n－1＝22n－1，故bn＝log2an＝2n－1，bn＋1－bn＝2(n＋1)－1－(2n－1)＝2，数列{bn}为等差数列，故数列{bn}的前20项和为S20＝20×＝400.

9．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，a2a6＝8(a4－2)，则{an}的公比为________，S2020的值为________．

【答案】2　22019－　【解析】由等比数列的性质及a2a6＝8(a4－2)，得a＝8a4－16，解得a4＝4.又因为a4＝q3，故q＝2，所以S2020＝＝22019－.

10．(2022年合肥模拟)设{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且a2＝2，S2－3a1＝0.

(1)求{an}的通项公式；

(2)若Sn＋an＞48，求n的最小值．

解：(1)根据题意，设{an}的公比为q，

因为S2－3a1＝0，即(a1＋a2)－3a1＝0，即a2－2a1＝0，

则有q＝＝2.又因为a2＝2，则a1＝1，

则有an＝a1qn－1＝2n－1.

(2)由(1)知a1＝1，q＝2，得Sn＝＝2n－1，

则有Sn＋an＝2n－1＋2n－1＝3×2n－1－1.

若Sn＋an＞48，则有3×2n－1－1＞48，即2n－1＞.

由n∈N*，得n≥6，所以n的最小值为6.

B级——能力提升练

11．(2021年厦门期中)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2λ＋(λ－3)·2n(λ为常数)，则λ＝(　　)

A．－2　 B．－1

C．1　 D．2

【答案】C　【解析】∵等比数列{an}的前n项和Sn＝2λ＋(λ－3)·2n(λ为常数)，∴a1＝S1＝2λ＋(λ－3)×2＝4λ－6，a2＝S2－S1＝2λ＋(λ－3)·22－(4λ－6)＝2λ－6，a3＝S3－S2＝2λ＋(λ－3)·23－[2λ＋(λ－3)·22]＝4λ－12.∵a1，a2，a3成等比数列，∴a＝a1a2，即(2λ－6)2＝(4λ－6)(4λ－12)，解得λ＝1或λ＝3.∵λ＝3时，Sn＝6是常数，不成立，故λ＝1.

12．(多选)(2022年济宁模拟)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”其大意是：“有个人要去某关口，路程为三百七十八里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．”则下列说法正确的是(　　)

A．此人第二天走了九十六里路

B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里

C．此人第三天走的路程占全程的

D．此人后三天共走了四十二里路

【答案】ABD　【解析】设此人第n天走an里路，则{an}是公比为的等比数列．由S6＝＝378，解得a1＝192.a2＝192×＝96，∴此人第二天走了九十六里路，故A正确；378－192＝186，192－186＝6，∴此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，故B正确；a3＝192×＝48，>，故C错误；a4＋a5＋a6＝192×＝42，故D正确．

13．(2022年郑州一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝________．

【答案】　【解析】∵等比数列{an}中，＝，显然q≠1，

∴＝·，得1＋q3＝，∴q＝，＝＝＝.

14．在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128且前n项和Sn＝126，求该数列的项数n＝______，公比q＝______．

【答案】6　2或　【解析】根据等比数列的性质，a1·an＝a2·an－1＝128.又因为a1＋an＝66，所以不妨将a1，an看作一元二次方程x2－66x＋128＝0的两实数根，解得x1＝2，x2＝64，即a1＝2，an＝64或a1＝64，an＝2，显然q≠1.若a1＝2，an＝64，由＝126，得2－64q＝126－126q，解得q＝2.由an＝a1qn－1，得2n－1＝32.所以n＝6.若a1＝64，an＝2，同理可求得q＝，n＝6.综上，n的值为6，公比为2或.

15．(2022年重庆预测)已知数列{an}的前n项和为Sn且满足2Sn＝3an－n.

(1)求{an}的通项公式；

(2)证明：＋＋…＋<.

(1)解：∵2Sn＝3an－n，

∴2Sn＋1＝3an＋1－n－1，

∴a1＝1，an＋1＝3an＋1，n∈N*，

∴an＋1＋＝3an＋1＋＝3，

则是首项为a1＋＝，公比为3的等比数列，

∴an＋＝，即an＝.

(2)证明：要证明＋＋…＋＜，

即证明＋＋…＋<，

∵＝·＝·≤·＝，

∴＋＋…＋≤1＋＋＋…＋＝＜.