人教A版 (2019)4.1 数列的概念课后练习题

第四章　4.1

A级——基础过关练

1．(2021年山东期末)数列，－，，－，…的通项公式可能是(　　)

A．an＝(－1)n

B．an＝(－1)n－1

C．an＝(－1)n

D．an＝(－1)n－1

【答案】D　【解析】根据题意，，－，，－，…，即，－，，－，…，其通项公式可以为an＝(－1)n－1.故选D．

2．(2021年福建期末)数列1，2，，，，…，则是这个数列的第(　　)

A．8项 B．7项

C．6项 D．5项

【答案】A　【解析】根据题意，数列1，2，，，，…，其通项公式为an＝，若＝，即3n－2＝22，解可得n＝8，是这个数列的第8项．故选A．

3．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是(　　)

A．递增数列　　 B．递减数列

C．常数列　　 D．摆动数列

【答案】A　【解析】an＝＝1－，∴n越大，越小，则an越大，故该数列是递增数列．

4．(多选)下列命题中正确的是(　　)

A．已知数列{an}，an＝(n∈N*)，那么是这个数列的第10项，且最大项为第1项

B．数列，，2，，…的一个通项公式是an＝

C．已知数列{an}，an＝kn－5，且a8＝11，则a17＝31

D．已知an＋1＝an＋3，则数列{an}是递增数列

【答案】ABD　【解析】令an＝＝⇒n＝10，易知最大项为第1项，A正确；数列，，2，，…变为，，，，…⇒，，，，…⇒an＝，B正确；an＝kn－5，且a8＝11⇒k＝2⇒an＝2n－5⇒a17＝29，C错误；由an＋1－an＝3＞0，易知D正确．

5．(2021年海南期末)若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝，则a5＝(　　)

A． B．

C．30 D．

【答案】D　【解析】∵Sn＝，∴a5＝S5－S4＝－＝＝.故选D．

6．(2022年黑龙江三模)已知数列{an}，a1＝，an＝1－(n≥2)，则a2020＝(　　)

A．　 B．

C．－3　 D．

【答案】B　【解析】数列满足an＝1－(n≥2)，因为a1＝，故得到a2＝1－＝－3，再代入得到a3＝1－＝，a4＝1－＝，a5＝1－＝－3，进而可以发现数列是有周期的，周期为3.因为2020＝673×3＋1，故a2020＝a1＝.

7．如图，下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为(　　)

A．an＝3n－1　　　　 B．an＝3n

C．an＝3n－2n　　 D．an＝3n－1＋2n－3

【答案】A　【解析】这四个图形中，着色三角形的个数依次为1，3，9，27，都是3的指数幂，猜想数列的通项公式为an＝3n－1.

8．已知数列{an}的通项公式为an＝，那么是它的第________项．

【答案】4　【解析】令＝，解得n＝4(n＝－5舍去)，所以是第4项．

9．(2021年长春期末)已知数列的前n项和Sn＝n2＋n＋1，则a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝________．

【答案】100　【解析】∵Sn＝n2＋n＋1，∴n≥2时，a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S7＝122＋12＋1－(72＋7＋1)＝156－56＝100.

10．已知数列{an}满足a1＝4，an＋1－an＝3，试写出这个数列的前6项并猜想该数列的一个通项公式．

解：由已知，得a1＝4，an＋1＝an＋3，

∴a2＝a1＋3＝4＋3＝7，

a3＝a2＋3＝7＋3＝10，

a4＝a3＋3＝10＋3＝13，

a5＝a4＋3＝13＋3＝16，

a6＝a5＋3＝16＋3＝19.

由以上各项猜测数列的通项公式是an＝3n＋1.

B级——能力提升练

11．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n·2n＋1，该数列的项排成一个数阵(如图)，则该数阵中的第10行第3个数为(　　)

a1

a2　a3

a4　a5　a6

……

A．－99　 B．－97

C．97　 D．99

【答案】C　【解析】由题意可得该数阵中的第10行第3个数为数列{an}的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝48项，而a48＝(－1)48×96＋1＝97，故该数阵中的第10行第3个数为97.

12．(多选)(2022年聊城期末)数学上有很多著名的猜想，“角谷猜想”(又称“冰雹猜想”)就是其中之一，它是指任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.记正整数a0按照上述规则实施第n(n∈N)次运算的结果为an，若a5＝1，则a0可能为(　　)

A．32 B．16

C．5 D．4

【答案】ACD　【解析】第一步，若3a4＋1＝1⇒a4＝0不合题意，则＝1⇒a4＝2；第二步，若3a3＋1＝2⇒a3＝不合题意，则＝2⇒a3＝4；第三步，若3a2＋1＝4⇒a2＝1，若＝4⇒a2＝8；第四步，若3a1＋1＝1⇒a1＝0，不合题意，若＝1⇒a1＝2；若3a1＋1＝8⇒a1＝，不合题意，若＝8⇒a1＝16；第五步，若3a0＋1＝2⇒a0＝不合题意，若＝2⇒a0＝4；若3a0＋1＝16⇒a0＝5，若＝16⇒a0＝32.故选ACD．

13．(2021年安徽期中)设数列{an}满足a1＝5，且对任意正整数n，总有(an＋1＋3)(an＋3)＝4an＋4成立，则数列{an}的前2020项和为________．

【答案】－　【解析】由(an＋1＋3)(an＋3)＝4an＋4，得an＋1＝－3＝.因为a1＝5，所以a2＝＝0，同理可得a3＝－，a4＝－5，a5＝5，所以数列是以4为周期的数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝－，所以S2020＝－×505＝－.

14．(2022年邵阳期末)如图将自然数1，2，3，4，…按箭头所指方向排列，并依次在2，3，5，7，10，13，…处的位置拐弯．如图数2作为第一次拐弯，则第33次拐弯处的数是________，超过2021的第一个拐弯处的数是________．

【答案】290　2026　【解析】由题意，拐弯处的数字与其序数的关系，如下表．

观察拐弯处的数字的规律：第1个数2＝＋1；第3个数5＝＋1；第5个数10＝＋1；第7个数17＝＋1；……，所以当n为奇数时为＋1；同理可得，当n为偶数时为×＋1；第33次拐弯处的数是＋1＝290，当n＝88时，可得×＋1＝1981，当n＝89时，可得＋1＝2026，所以超过2021的第一个拐弯处的数是2026.

15．已知数列{an}的前n项和为Sn，求数列{an}的通项公式．

(1)Sn＝2n2＋3n；

(2)Sn＝2n－1.

解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋3×1＝5；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋3n－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1.

当n＝1时，a1＝4×1＋1＝5成立，

所以an＝4n＋1.

(2)当n＝1时，a1＝S1＝21－1＝1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1.

当n＝1时，a1＝21－1＝1成立，

所以an＝2n－1.