专题1.3.3 整数指数幂的运算法则【知识讲解】（含解析）-【 课堂】2022-2023学年八年级数学上册 知识讲练一本全（湘教版）

专题1.3.3 整数指数幂的运算法则（知识讲解）

【学习目标】

1．理解整数指数幂的运算法则，并熟练进行运算．

2．熟练掌握整数指数幂的性质．

3．在学习过程中进一步培养学生的逻辑思维能力与计算能力．

【知识梳理】

知识点: 整数指数幂的运算法则

我们可以把正整数指数幂的5个运算法则推广并归纳为整数指数幂的以下3个运算法则：

①am·an＝am＋n(a≠0，m，n都是整数)；

②(am)n＝amn(a≠0，m，n都是整数)；

③(ab)n＝anbn(a≠0，b≠0，n是整数)．

注意：对于含有负整数指数幂的运算，计算方法和整数指数幂的运算一样，一般有两种运算方法：一是首先把负整数次幂转化为正整数指数幂的形式，然后再计算；二是直接根据整数指数幂的运算法则进行计算，但要注意结果中不能含有负整数指数幂的形式．

【归纳结论】幂的除法运算可以利用幂的乘法进行计算，分式的乘方运算可以利用积的乘方进行运算.

【类型一】 乘积形式的整数指数幂的运算

例1. 计算：

(1)(－a)3÷a－1÷(a－2)－2；            (2)(a－2b－3)－3·(a2b)－2；

(3)(2x－3y2z－2)－2(3xy－3z2)2；           (4)(－2a－3)2b3÷2a－6b－2.

解：(1)原式＝－a3÷a－1÷a4＝－a4÷a4＝－1；

(2)原式＝a6b9·a－4b－2＝a2b7；

(3)原式＝(2－2x6y－4z4)(32x2y－6z4)＝2－2·32x8y－10z8＝；

(4)原式＝4a－6b3÷2a－6b－2＝2b5.

方法总结：整数指数幂的运算要注意运算顺序：先算乘方，再算乘除．最后结果要化为正整数指数．

【针对训练】设a≠0、b≠0，计算下列各式(结果不含负指数)：

(1)a4·a－8；      (2)(a－3)2；     (3)；         (4)(x－2y)－3.

解：(1)原式＝a－4＝；      (2)原式＝a－6＝；

(3)   原式＝(44)2＝48；     (4)原式＝x6y－3＝.

【类型二】 商形式的整数指数幂的运算

例1.计算：(1)()－1÷()－2；            (2)[()－1]－2；

(3)[]－2.

解：(1)原式＝[]－1·()2＝·＝；

(2)原式＝()2＝；

(3)原式＝＝.

方法总结：商形式的整数指数幂的运算有两种方法：一是先把负整数指数幂转化为正整数指数幂，再约分化简；二是先计算整数指数幂，最后再把负整数指数幂化为正整数指数幂．

【针对训练】计算：[(a＋b)－4]2(a＋b)2÷(a＋b)；

解：原式＝(a＋b)－8(a＋b)2÷(a＋b)＝(a＋b)－7＝；

【类型三】 逆用幂的运算法则求值

例3.已知a－m＝3，bn＝2，则(a－mb－2n)－2＝________．

解析：(a－mb－2n)－2＝(a－m)－2·b4n＝(a－m)－2(bn)4＝3－2×24＝.故填.

方法总结：把要求的代数式逆用幂的运算法则，用已知的式子来表示是解题的关键．

例4.计算：()x－1·()3x－4.

解：()x－1·()3x－4＝()3x－3·()3x－4＝()3－3x·()3x－4＝()3－3x＋3x－4＝()－1＝.

方法总结：利用负整数指数幂，把底数是互为相反数的两数可以转化为相同，再根据幂的运算法则进行计算．

【针对训练】计算：(3x－2y－3)·(－2x2y)－3·.

解：原式＝··＝－.

【类型四】整数指数幂运算的实际应用

例5.某房间空气中每立方米含3×106个病菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行实验，发现1毫升杀菌剂可以杀死2×105个这种病菌，问要将长10m，宽8m，高3m的房间内的病菌全部都杀死，需要多少杀菌剂？

解：(10×8×3)×(3×106)÷(2×105)＝(720×106)÷(2×105)＝360×10＝3.6×103(毫升)．

答：需要3.6×103毫升杀菌剂才能将房间中的病菌全部杀死．

方法总结：科学记数法在实际生活中应用广泛，在运用科学记数法解题时要注意a×10－n中n的值．