专题3.4 勾股定理的逆定理（知识讲解）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

专题3.4 勾股定理的逆定理（知识讲解）

【学习目标】

1.掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．

2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.

3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.

【要点梳理】

要点一、勾股定理的逆定理

如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.

特别说明：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.

要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形

（1） 首先确定最大边（如）.

（2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.

特别说明：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.

【典型例题】

类型一、判断三边能否构成直角三角形

1．若一个三角形的三边a、b、c满足，试判断此三角形的形状．

【答案】此三角形是直角三角形．

【分析】先根据非负数的性质列出方程，求出a，b，c的值，再根据勾股定理看两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．

解：∵一个三角形的三边a、b、c满足，

∴2a-10=0，12-b=0，c-13=0，

解得：a=5，b=12，c=13．

∵52+122=132，

即a2+b2=c2，

所以此三角形是直角三角形．

【点拨】本题考查的是非负数的性质及勾股定理的逆定理．（1）初中阶段的三种非负数：绝对值，完全平方数、二次根式；（2）勾股定理的逆定理：c2=a2+b2．

举一反三：

【变式1】 已知△ABC中，AB＝AC，BC＝20，D是AB上一点，且CD＝16，BD＝12，

(1)  求证：CD⊥AB；

(2)  求三角形ABC的周长．

【答案】(1)证明见分析(2)△ABC的周长为

【分析】

（1）根据勾股定理的逆定理即可证明CD⊥AB ；

（2）设AD=x，则AC=AB=x+12，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出x，得出AC，继而可得出△ABC的周长．

(1) 解：如图，

∵在△BCD中，BC＝20，CD＝16，BD＝12，

∴BD2+DC2＝BC2，

∴△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°，

∴CD⊥AB；

（2）解：设AD＝x，则AC＝AB＝x+12，

在Rt△ADC中，∵AC2＝AD2+DC2，

∴x2+162＝（x+12）2，

解得：x＝．

∴△ABC的周长为：（+12）×2+20＝．

【点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理的知识，利用勾股定理求出AD的长度，得出腰的长度是解题的关键．

【变式2】如图，在中，点为边上一点，，，，且，判断的形状，并求出的长．

【答案】是直角三角形，

【分析】先利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形，再利用勾股定理进行计算即可．

解： ，，，

是直角三角形，

设则

解得： 即

【点拨】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，掌握“勾股定理的逆定理”是解本题的关键．

类型二、图形上与已知两点构成直角三角形的点

2．点在轴上，、，如果是直角三角形，求点的坐标．

【答案】点的坐标为或

【分析】本题考查的是两点距离与勾股定理，根据A、B坐标构造直角三角形，运用勾股定理与两点间距离公式，分类讨论即可求出点P坐标

解：设点的坐标为，分两种情况：

①当点为直角顶点时，点在轴正半轴，

作轴于，轴于，轴于，如图所示：

由勾股定理，得，

即，解得，

∴点的坐标为．

②当点为直角顶点时，点在轴负半轴，作轴于，轴于，如图所示：

由勾股定理，得，

即，解得，

∴点的坐标为．

综上所述，如果是直角三角形，那么点的坐标为或．

【点拨】本题的关键是分类讨论点P的情况，并灵活运用勾股定理和两点间距离公式

举一反三：

【变式1】 如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点，在小正方形的顶点上，在图中画（点在小正方形的顶点上），使为直角三角形，并说明理由.（要求画出两个，且两个三角形不全等）

【答案】为直角三角形，理由详见分析.

【分析】根据勾股定理逆定理和勾股定理进行判断即可.

解：如图所示.

图1                           图2

如图1，在中，

，，

因为，

所以，

即为直角三角形.

如图2，在中，

.

在中，.

在中，.

所以，

所以，即为直角三角形.

【点拨】考核知识点：根据勾股定理逆定理画直角三角形.掌握勾股定理逆定理并会运用是关键.

【变式2】如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，BD＝9，BC＝15，AC＝20.

(1)求CD的长；    (2)求AB的长；     (3)判断△ABC的形状．

【答案】（1）CD长为12；（2）AB的长为25；（3）△ABC是直角三角形

解： (1)在△BCD中，∵CD⊥AB，∴BD2＋CD2＝BC2．∴CD2＝BC2－BD2＝152－92＝144．∴CD＝12．

(2)在△ACD中，∵CD⊥AB，∴CD2＋AD2＝AC2．∴AD2＝AC2－CD2＝202－122＝256．∴AD＝16．∴AB＝AD＋BD＝16＋9＝25．

(3)∵BC2＋AC2＝152＋202＝625，AB2＝252＝625，∴AB2＝BC2＋AC2．∴△ABC是直角三角形．

类型三、在网格中判断直角三角形

3．如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．试判定△ABC的形状．

【答案】△ABC是直角三角形

【分析】由勾股定理和勾股定理的逆定理即可得出结论．

解：由勾股定理得：AC2=42＋22= 20，

BC2=22＋12 =5，

AB2=33＋43= 25，

∴AC2＋BC2= AB2，

∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，

∴△ABC是直角三角形；

【点拨】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．

【变式1】如图是由边长均为1的小正方形组成的网格，点A，B，C都在格点上，∠BAC是直角吗？请说明理由．

【答案】∠BAC是直角，理由见分析

【分析】利用勾股定理求出的三边长度，再利用勾股定理的逆定理判断其是否为直角三角形．

解：∠BAC是直角．理由如下：

∵AB2＝12+22＝5，

AC2＝22+42＝20，

BC2＝52＝25，

∴AB2+AC2＝BC2，

∴△ABC 是直角三角形，且∠BAC是直角．

【点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理，利用网格与勾股定理求出线段长度是解题的关键．

【变式2】 如图，的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上．

(1)          ______．   (2)利用正方形网格，证明（1）中的结论．

【答案】(1)45°  (2)见分析

【分析】

（1）根据网格特点和三角形外角的性质分析求解即可；

（2）延长BA交格点于D，连接CD，利用勾股定理逆定理证明，然后根据三角形外角的性质可得答案．

(1)解：，

故答案为：45°；

(2)证明：如图，延长BA交格点于D，连接CD，

则，，

∴，

∴，

∴．

【点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形外角的性质，根据网格特点求出是解题的关键．

类型4、利用勾股定理的逆定理求解

4．已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现A＝B2．求整式B．

联想：由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图，填写下表中B的值；

【答案】A＝（n2+1）2，B＝n2+1，15，17；12，37

【分析】先根据整式的混合运算法则求出A，进而求出B，再把n的值代入即可解答．

解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，

∵A＝B2，B＞0，

∴B＝n2+1，

当2n＝8时，n＝4，n2﹣1＝42﹣1＝15，n2+1＝42+1＝17；

当n2﹣1＝35时，n＝±6（负值舍去），2n＝2×6＝12，n2+1＝37．

故答案为：15，17；12，37．

【点拨】本题考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．

【变式1】如图，四边形ABCD中，若∠B＝90°，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24．

(1)判断∠D是否是直角，并说明理由；

(2)求∠A+∠C的度数．

【答案】(1) ∠D是直角，理由见分析  (2) 180°

【分析】

（1）连接AC．首先根据勾股定理求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理求得∠D＝90°；

（2）根据四边形内角和为360°求出∠BAD+∠BCD＝180°．

(1)解：∠D是直角，理由如下：

如图，连接AC．

∵AB＝20，BC＝15，∠B＝90°，

∴由勾股定理，得AC2＝202+152＝625．

又∵CD＝7，AD＝24，

∴CD2+AD2＝625，

∴AC2＝CD2+AD2，

∴∠D＝90°；

(2)解：∠BAD+∠BCD＝360°﹣180°＝180°．

【点拨】此题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用以及四边形内角和定理，综合运用勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．

【变式2】 如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D是BC的中点，AD＝2，求△ABC的面积．

【答案】6

【分析】延长AD至E，使ED＝AD＝2，连接BE，证明，则的面积等于的面积，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而计算其面积．

解：延长AD至E，使ED＝AD＝2，连接BE，则AE＝4．

∵D是BC的中点，

∴BD＝CD，

在△BDE和△CDA中，

，

∴△BDE≌△CDA（SAS），

∴BE＝AC＝3，，

．

∵AE＝4，AB＝5，BE＝3，

∴，

∴△ABE是直角三角形，且．

∴．

【点拨】本题考查全等三角形的性质与判定，勾股定理的逆定理，解题的关键是作出正确的辅助线，将问题转化．

类型5、勾股定理的拓展问题

5．阅读下列内容，并解决问题．

一道习题引发的思考

小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究：

【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b= m²-1，c= m²+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗?如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗?

【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2=c²，那么a，b，c称为一组勾股数．

关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了"勾三，股四，弦五"，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》．

【问题解答】

（1）根据柏拉图的研究，当m=6时，请直接写出一组勾股数；

（2）若m表示大于1的整数，试证明（m²-1，2m，m²+1）是一组勾股数；

（3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数．

【答案】（1）；（2）见分析；（3）答案不唯一，例如，等

【分析】

（1）把直接代入，，即可求解；

（2）利用勾股定理的逆定理即可证明结论；

（3）根据勾股数解答即可．

解：（1）把代入，，得：

，，，

这组勾股数为；

（2）表示大于1的整数，

，，都是正整数，且是最大边，

，

是一组勾股数；

（3），等，它们是勾股数，但柏拉图给出的勾股数公式不能够造出．

【点拨】本题考查了勾股数以及勾股定理的逆定理，弄清题意，理解勾股数的意义是解题的关键．

【变式1】课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题：

（1）试说明；

（2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题．

【答案】（1）证明见分析；（2）5cm

【分析】

（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可．

（2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答．

解：证明：（1）如图：

∵AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠ADC＝∠BEC＝90°，

∴∠1+∠2＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°，

∵∠ADC＝∠BEC＝90°，

∴∠1＝∠3，

由∠ADC＝∠BEC＝90°，∠1＝∠3，CA＝CB，

∴△ADC≌△CEB；

（2）设每块砖厚度为xcm，由①得，DC＝BE＝3xcm，AD＝4xcm，

∵∠ADC＝90°，

∴AD2+CD2＝AC2，

即（4x）2+（3x）2＝252，解得x＝5，（x=﹣5舍去），

∴每块砖厚度为5cm．

【点拨】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．

【变式2】 阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：

（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形．

（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值．

（3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围．

【答案】（1）锐角；（2）169或119；（3）见分析

【分析】

（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案；

（2）直接利用勾股定理得出x2的值；

（3）分△ABC为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形结合三边关系得出答案．

解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，

∴三角形是锐角三角形，

故答案为：锐角；

（2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边，

∴52+122=x2，

∴x2=169，

当12是斜边，

则52+x2=122，

解得：x2=119，

故x2的值为169或119；

（3）∵a=2，b=4，

∴，

∴，

若△ABC是锐角三角形，

则或，

则或，

∴或；

若△ABC是直角三角形，

则或，

则或；

若△ABC是钝角三角形，

则或，

则或，

∴．

【点拨】此题主要考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的三边关系，正确进行相关计算是解题关键．