专题1.13 角平分线（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版）

这是一份专题1.13 角平分线（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版），共18页。

【知识点1】角平分线的性质
1.性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
2.几何语言：∵ DC平分∠ADB
又∵ PE⊥AD,PF⊥BD , 垂足为E、F，
∴ PE=PF

特别指出：解题时一定要写上E⊥AD,PF⊥BD这个条件
【知识点2】角平分线的判定
1.判定：在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
2.几何语言：∵PE⊥DA,PF⊥DB , 垂足为E、F，
又∵PE=PF
∴DC平分∠ADB ,
即点P在∠ADB的平分线上。

【知识点3】尺规作图——作角平分线
作角平分线的方法与步骤：如右图所示
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交角的两边D、E.
（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）作射线OC.
∴射线OC即为所求.

【知识点4】三角形的内心
三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做这个三角形的内心，
三角形内心到这个三角形三边的距离相等.
三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC的内心为，旁心为，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等.

【考点一】角平分线➼➻角平分线性质证明角相等
【例1】如图，，是的中点，平分，求证：平分．

【分析】过点M作于点E，根据角平分线的性质及判定，即可证得．
解：证明：如图：过点作，垂足为，

平分，，，
（角平分线上的点到角两边的距离相等），
又，
，
，，
平分（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
【点拨】本题考查了角平分线的性质及判定，熟练掌握和运用角平分线的性质及判定是解决本题的关键．
【举一反三】
【变式1】如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接PQ，当PQ⊥OM时，根据角平分线的性质得出PQ=PA，利用直线外一点到直线的垂线段最短即可得出结论．
解：连接PQ，

当PQ⊥OM时，
∵OP平分∠MON，PQ⊥OM，PA⊥ON，
∴PQ=PA，
此时点P到OM的距离PQ最小，
∴PA≤PQ，
故选：D．
【点拨】题目主要考查角平分线的性质，直线外一点到直线的距离中，垂线段最短，理解这两个性质定理是解题关键．
【变式2】如图，在△ABC中，∠A＝96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，则∠A1＝__，若∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，则∠A2＝__，…，以此类推，则∠An﹣1BC与∠An﹣1CD的平分线相交于点An，则∠An的度数为__．

【答案】 48°， 24°， 96°×
【分析】利用角平分线的定义和三角形内角与外角的性质计算．
解：∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，
而∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠A1＝96°，
∴∠A1＝48°，
同理可得∠A1＝2∠A2，
即∠A＝2×2∠A2＝96°，
∴∠A2＝24°，
∴∠A＝2n，
∴ ．
故答案为48°，24°，96°×．
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．
【考点二】角平分线➼➻角平分线性质定理
【例2】如图，在中，平分，平分，于点．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据平分，平分得，，根据，得，，根据三角形内角和定理即可得；
（2）过点作于点，根据平分，，得，根据得，即可得．
（1）解：∵平分，平分，
∴，，
∵，，
∴，，
∴在中，；
（2）解：过点作于点，

∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点拨】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形的面积，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
【举一反三】
【变式1】如图，分别平分于点D，，的面积为12，则的周长为（ ）

A．4B．6C．24D．12
【答案】C
【分析】过点E作，垂足为F，过点E作，垂足为G，根据角平分线的性质可得，然后根据三角形的面积公式进行计算即可解答．
解：过点E作，垂足为F，过点E作，垂足为G，

∵平分，，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴的面积的面积的面积的面积
，
∴，
即的周长为24．
故选：C．
【点拨】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【变式2】如图，中，，AD平分交BC于点D，E为线段AC上一点，连接DE，且．若，，则AE的长为________．

【答案】4
【分析】过点作于点F，由角平分线的性质得出，证明，得出，求出，由证明，得出，即可求出结果．
解：过点作于点F，如图所示：

∵，AD平分交BC于点D，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
【点拨】此题考查全等三角形的判定和性质和角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，根据证明直角三角形的全等解答．
【考点三】角平分线➼➻角平分线判定定理
【例3】如图，在和中，，，，，连接、交于点，连接．求证：
；
平分．

【分析】（1）证明，由三角形全等的性质得出，由三角形的外角性质得：，可得出的度数；
（2）作于，于，利用全等三角形对应边上的高相等，得出，由角平分线的判定方法即可得证．
解：（1）证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是和的外角
∴，
∴；

（2）如图所示，作于，于，
∴是中边上的高，是中边上的高，
由（1）知：，
∴，
∴点在的平分线上，
即平分．

【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识．证明三角形全等是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】点在内，且到三边的距离相等．若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三角形的角平分线的判定定理得到都是角平分线，故可求解．
解：∵O到三角形三边距离相等，
∴O三角形三条角平分线的交点，

∴都是角平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点拨】此题主要考查三角形角平分线的判定定理，与角平分线有关的三角形内角和定理，解题的关键是熟知角平分线的判定定理．
【变式2】如图，若的平分线与的外角的平分线相交于点Р连接，若，则等于____度．

【答案】
【分析】先根据条件求出，过点P作于点N，交的延长线于点F，于点M，根据角平分线的性质与判定，可得到平分，故求得．
解：
过点P作于点N，交的延长线于点F，于点M
平分，平分
，
∵，
平分
故答案为：
【点拨】本题主要考查角平分线的性质及判定，正确作出辅助线是解题的关键．
【考点四】角平分线➼➻角平分线性质定理的实际运用
【例4】如图，在中，是它的角平分线，．
求的值；
求证：；
求的长．
【答案】(1)； (2) 见分析； (3)
【分析】（1）作于点E，于点F，根据角平分线的性质得，则 ．
（2）作于点G，则，所以；
（3）由， ，得计算即可．
解：（1）作于点E，于点F，
∵是的角平分线，，
所以，

所以．
∴的值是．
（2）作于点G，则，
因为，
所以．
（3）因为， ，
所以．
【点拨】本题考查了角的平分线的性质定理，三角形面积的计算，熟练掌握角的平分线的性质是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】如图所示，在直角中，，平分交于点，且，，则的面积为（ ）

A．24 B．12 C．8 D．3
【答案】B
【分析】过点D作，由角的平分线性质，得到，然后即可求出的面积．
解：过点D作，如图

∵，，平分，
∴，
∵，
∴的面积为：；
故选：B
【点拨】本题考查了角平分线的性质定理，解题的关键是正确得到，从而进行解题．
【变式2】如图，在中，AD是的平分线，，，则____________．

【答案】5：4
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，根据角平分线的性质得到DE=DF，再由三角形面积公式可求得结论．
解：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，如图，

∵AD是的平分线，
∴DE=DF
∵，，
∴
故答案为：5：4
【点拨】本题考查了角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【考点五】角平分线➼➻尺规作图
【例5】如图，已知在中，，于点．

（1）尺规作图：作的平分线交于点，交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）在（1）的条件下，求证：．
__________
又__________
__________
__________
平分
__________
．
【答案】（1）见分析；（2）；；；；
【分析】（1）根据题意，作的平分线交于点，交于点；
（2）根据角平分线的定义，可得，根据等角的余角相等证明，即可得证．
解：（1）如图所示，

（2）
又
平分
．
故答案为：；；；；．
【点拨】本题考查了作角平分线，等角的余角相等，对顶角相等，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】如图，在中，．按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，交于点M，交于点N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线，交边于点D，点E是边上一动点，连接．若，则线段的最小值是（ ）

A．B．3C．D．2
【答案】B
【分析】利用基本作图得平分，过D点作于E，如图，根据角平分线的性质得到则，利用垂线短最短即可得到答案．
解：由作法得平分，
过D点作于E，如图，则，
由垂线段的性质“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”得到的最小值就为3，
故选：B．

【点拨】本题考查了基本作图：作角平分线，角平分线的性质，垂线短最短等知识点，熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线），角平分线的性质是解题的关键．
【变式2】如图，在中，，利用尺规在上分别截取；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点E，作射线交于点F，若，点H为线段上的一动点，则的最小值是________．

【答案】2
【分析】根据尺规作图可得平分，再利用角平分线的性质定理可得出，最后根据垂线段最短即可得出的最小值是2．
解：如图，过点F作于D．

由作图可知，平分，
∵，，
∴．
根据垂线段最短可知，的最小值为的长，即为2．
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查角平分线的性质，垂线段最短，解题的关键在于能够准确判断出是的角平分线．