专题3.6 勾股定理的简单应用（知识讲解）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

这是一份专题3.6 勾股定理的简单应用（知识讲解）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版），共27页。
专题3.6 勾股定理的简单应用（知识讲解）
【学习目标】
（1）利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题。
（2）通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．
【要点梳理】
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，从而达到把三角形边的问题转化为角的问题，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．　本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题
【典型例题】
类型一、应用勾股定理解决梯子滑落高度问题
1．一个25米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时的距离为24米，如果梯子的顶端A沿墙下滑4米，那么梯子底端B外移多少米？

【答案】8米．
【分析】梯子下滑4米，梯子的长度不变始终为25米，利用勾股定理分别求出OB、OB＇的长度，进而求出BB＇的长度即可．
解：如图，依题意可知
AB＝25(米)，AO＝24(米)，∠O＝90°，
∴ BO2＝AB2﹣AO2＝252-242，
∴ BO＝7(米)，
移动后，＝20(米)，
∴ (米)，
∴ (米)．
答：梯子底端B外移8米．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用及勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求的长度是解题的关键．
举一反三：
【变式】一架梯子长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了7米到C，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

【答案】（1）12米；（2）7米
【分析】
（1）由题意易得AB=CD=13米，OB=5米，然后根据勾股定理可求解；
（2）由题意得CO= 5米，然后根据勾股定理可得求解．
解：（1）由题意得，AB=CD=13米，OB=5米，
在Rt，由勾股定理得：
AO2=AB2-OB2=132-52=169-25=144，
解得AO=12米，
答：这个梯子的顶端距地面有12米高；
（2）由题意得，AC=7米，
由（1）得AO=12米，
∴CO=AO-AC=12-7=5米，
在Rt，由勾股定理得：
OD2=CD2-CO2=132-52=169-25=144，
解得OD=12米
∴BD=OD-OB=12-5=7米，
答：梯子的底端在水平方向滑动了7米．
【点拨】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
类型二、应用勾股定理解决旗杆高度
2．数学综合实验课上，同学们在测量学校的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开拉直后，下端刚好接触地面，测得绳子的下端离开旗杆底端8米，如图，根据以上数据，同学们就可以准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗?

【答案】旗杆的高度为
【分析】由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中的数据，用勾股定理解答即可．
解：设旗杆高米，则绳子长为米，
∵旗杆垂直于地面，
∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，
在中，，
∴，
解方程得：，
答：旗杆高度为15米．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出△ABC是直角三角形式解答此题的关键．
举一反三：
【变式】滑撑杆在悬窗中应用广泛．如图，某款滑撑杆由滑道，撑杆、组成，滑道固定在窗台上．悬窗关闭或打开过程中，撑杆、的长度始终保持不变．当悬窗关闭时，如图①，此时点与点重合，撑杆、恰与滑道完全重合；当悬窗完全打开时，如图②，此时撑杆与撑杆恰成直角，即，测量得，撑杆，求滑道的长度．

【答案】滑道的长度为51cm．
【分析】设cm，可得出cm，cm，在在Rt△ABC中，根据勾股定理可得m的值，由此可得结论．
解：设cm，则由图①可知 cm，
由图②可知cm，
∵，
∴在Rt△ABC中，根据勾股定理可得，
，
∴，
解得，
∴滑道的长度为51cm．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，能结合撑杆、的长度始终保持不变正确表示出BC和AC是解题关键．
类型三、应用勾股定理解决小鸟飞行的距离
3．有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？

【答案】它至少需要5.2s才能赶回巢中．
【分析】根据题意，构建直角三角形，利用勾股定理解答．
解：如图，由题意知AB=3，CD=14-1=13，BD=24．

过A作AE⊥CD于E．则CE=13-3=10，AE=24，
∴在Rt△AEC中，
AC2=CE2+AE2=102+242．
∴AC=26，26÷5=5.2（s）．
答：它至少需要5.2s才能赶回巢中．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用．关键是构造直角三角形，同时注意：时间=路程÷速度．
举一反三：
【变式】有一只喜鹊在一棵高3米的小树的树梢上觅食，它的巢筑在距离该树24米，高为14米的一棵大树上，且巢离大树顶部为1米，这时，它听到巢中幼鸟求助的叫声，立刻赶过去，如果它的飞行速度为每秒5米，那么它至少几秒能赶回巢中？
【答案】它至少5.2秒能赶回巢中.
【分析】过点作于点.求出AF,EF,再根据勾股定理求出AE，从而求出时间.
解：如图所示，米，米，米，米.

过点作于点.
在中，米，
米，
所以.
所以喜鹊离巢的距离米.
喜鹊赶回巢所需的时间为（秒）.即它至少5.2秒能赶回巢中.
【点拨】考核知识点：勾股定理和逆定理运用.构造直角三角形是解题关键.
类型四、应用勾股定理解决大树折断前的高度
4．如图，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度为16米的大树被折断，树的顶部落在离树根8米处，即，求这棵树在离地面多高处被折断（即求AC的长度）？

【答案】这棵树在离地面6米处被折断
【分析】设，利用勾股定理列方程求解即可.
解：设，
∵在中，，
∴，
∴．
答：这棵树在离地面6米处被折断
【点拨】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．有时也可以利用勾股定理列方程求解．
举一反三：
【变式】我国古代的数学名著《九章算术》中记载“今有竹高一丈八，末折抵地，去本6尺.问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈八，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部6尺远．问：折处离地还有多高的竹子？（1丈=10尺）

【答案】尺
【分析】设原处还有尺高的竹子，由题意得到折后竹子竖直高度+斜倒部分的长度=18尺，再运用勾股定理列方程即可求解．
解：设折处离地还有尺高的竹子,
如图，在中，AC=x尺，
则AB=一丈八- AC =(18-x)尺
由勾股定理得，
所以，
解得：．
答：折处离地还有尺高的竹子．

【点拨】此题考查勾股定理解决实际问题．此题中的直角三角形只知道一直角边，另两边未知往往要列方程求解．
类型五、应用勾股定理解决水杯中的筷子问题
5．如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．

【答案】26cm
【分析】设杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，因为直径为20cm的杯子，可根据勾股定理列方程求解．
解：设杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，
∵杯子的直径为20cm，
∴杯子半径为10cm，
∴x2+102＝（x+2）2，
即x2+100＝x2+4x+4，
解得：x＝24，
24+2＝26（cm）．
答：小木棍长26cm．
【点拨】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是看到构成的直角三角形以及各边的长．
举一反三：
【变式】如图，有一个水池，水面是一个边长为16尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是多少尺？请你用所学知识解答这个问题．

【答案】水池里水的深度是15尺
【分析】根据勾股定理列出方程，解方程即可．
解：设水池里水的深度是x尺，
由题意得，，
解得：x＝l5，
答：水池里水的深度是15尺．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理、根据勾股定理正确列出方程是解题的关键．
类型六、应用勾股定理解决航海问题
6．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

【答案】北偏东45°（或西北）
【分析】直接得出RP=18海里，PQ=24海里，QR=30海里，利用勾股定理逆定理以及方向角即可得到“海 天”号航行方向．
解：由题意可得：RP=18海里，PQ=24海里，QR=30海里，
∵182+242=302，
∴△RPQ是直角三角形，
∴∠RPQ=90°，
∵“远航”号沿东北方向航行，即沿北偏东45°方向航行，
∴∠RPS=45°，
∴“海天”号沿北偏西45°（或西北）方向航行．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题的重点主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形，关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．
举一反三：
【变式】在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？

【答案】第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度．
【分析】根据题意求出OA、OB，根据勾股定理的逆定理求出∠AOB＝90°，即可得出答案．
解：根据题意得：OA＝16海里/时×1.5小时＝24海里；OB＝12海里/时×1.5小时＝18海里，
∵OB2＋OA2＝242＋182＝900，AB2＝302＝900，
∴OB2＋OA2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
∵艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A的前进，
∴∠BOD＝50°，
即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度．
【点拨】本题考查了方向角，勾股定理的逆定理的应用，能熟记定理的内容是解此题的关键，注意：如果三角形两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
类型七、应用勾股定理解决河的宽度
7．湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得米，米．
求：（1）两棵景观树之间的距离；
（2）点B到直线AC的距离．

【答案】（1）A，B两点间的 距离是40米；（2）点B到直线AC的距离是24米．
【分析】
（1）根据勾股定理解答即可；
（2）根据三角形面积公式解答即可．
解：（1）因为是直角三角形，
所以由勾股定理，得．
因为米，，所以．
因为，所以米．
即A，B两点间的 距离是40米．
（2）过点B作于点D．
因为，
所以．
所以（米），
即点B到直线AC的距离是24米．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，属于基础题，关键是掌握勾股定理在直角三角形中的表达式．
举一反三：
【变式】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．

（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．

（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且，测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？

（3）在第（2）问中若时，，，，，设，求的值．
【答案】（1）见分析；（2）新路CH比原路CA少0.05千米；（3）．
【分析】
（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）设CA，则AH，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果；
（3）在Rt△ACH和Rt△BCH中，由勾股定理得求出CH2=CA2-AH2=CB2-BH2，列出方程求解即可得到结果．
解：（1）梯形ABCD的面积为，
也可以表示为，
∴，
整理得：；
（2）∵CA，
∴AH，
在Rt△ACH中，，
即，
解得x=1.25，
即CA=1.25，
CA-CH=1.25-1.2=0.05（千米），
答：新路CH比原路CA少0.05千米；

（3）设AH，则BH，
在Rt△ACH中，，
在Rt△BCH中，，
∴，
即，
解得：．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的证明与应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，
类型八、应用勾股定理解决台阶上地毯问题
8．如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55cm，10cm，6cm，点和点是这个台阶的两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，那么这只蚂蚁从点爬到点的最短路程是多少？

【答案】73cm
【分析】首先把楼梯展开得到平面几何图，根据“两点之间，线段最短”得到蚂蚁所走的最短路线为AB，则问题是求AB的长，根据已知数据得出AC、BC的长，再利用勾股定理求出AB的长，即可完成解答.
解：如图所示，将这个台阶展开成一个平面图形，则蚂蚁爬行的最短路程就是线段的长.

在中，，.
由勾股定理，得.所以.
因此，蚂蚁从点爬到点的最短路程是73cm.
【点拨】此题考查勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键.
举一反三：
【变式】如图，小明准备把一支笔放入铅笔盒，竖放时笔的顶端E比铅笔盒的宽还要长，斜着放入时笔的顶端F与铅笔盒的边缘距离为，求铅笔盒的宽的长度．

【答案】铅笔盒的宽的长度为．
【分析】
设铅笔盒的宽的长度为，则笔长，然后根据勾股定理列方程解答即可．
解：设铅笔盒的宽的长度为，则笔长，
由题意得，
解得．
答：铅笔盒的宽的长度为．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，弄清题意、根据勾股定理列出方程是解答本题的关键．
类型九、应用勾股定理解决汽车是否超速问题
9．我市《道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过60km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测点A正前方30m的C处，2秒后又行驶到与车速检测点A相距50m的B处．请问这辆小汽车超速了吗？若超速，请求出超速了多少？

【答案】超速了，超速了12km/h
【分析】由勾股定理可求得小汽车行驶的距离，再除以小汽车行驶的时间即为小汽车行驶的车速，再与限速比较即可．
解：.由已知得
∴在直角三角形ABC中AB2＝AC2＋BC2
∴BC2＝AB2－AC2＝，

又
   
∵72－60＝12km/h
∴这辆小汽车超速了，超速了12km/h．
【点拨】本题考查了勾股定理，其中1 米/秒=3.6 千米/时的速度换算是易错点．
举一反三：
【变式】“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A的正前方50米处的C点，过了6秒后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为130米．
（1）求BC间的距离；
（2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由．

【答案】（1）120米；（2）超速，理由见分析
【分析】
（1）根据勾股定理求出BC的长；
（2）直接求出小汽车的时速，进而比较得出答案．
解：（1）在Rt△ABC中，
∵AC=50m，AB=130m，且AB为斜边，
根据勾股定理得：BC=120（m）；
（2）这辆小汽车超速了．
理由：∵120÷6=20（m/s），平均速度为：20m/s，
20m/s=72km/h，
72＞70，
∴这辆小汽车超速了．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出BC的长是解题关键．
类型十、应用勾股定理解决是否受台风影响问题
10．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为海港，并且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）求的度数；
（2）海港受台风影响吗？为什么？

【答案】（1）90°；（2）受台风影响，理由见分析
【分析】
（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数；
（2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响．
解：（1）∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°；
（2）海港C受台风影响，
理由：过点C作CD⊥AB，

∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC=CD×AB，
∴300×400=500×CD，
∴CD=240（km），
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响．
【点拨】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
举一反三：
【变式】如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有处需要爆破．已知点与公路上的停靠站的距离分别为和，且，为了安全起见，如果爆破点周围半径的区域内不能有车辆和行人，问在进行爆破时，公路段是否需要暂时封闭，为什么？

【答案】爆破公路段有危险，需要暂时封锁．
【分析】
过点C作CD⊥AB于点D，根据勾股定理求出AB的长，再由面积公式求得CD的长，并比较，即可得出公路AB上是否有危险．
解：如图，过点作于点．
在中，由勾股定理，得：
，所以
由，得，解得，
因为，所以爆破公路段有危险，需要暂时封锁．

【点拨】本题考查了勾股定理的应用和三角形的面积，解题的关键是利用直角三角形的面积列出方程求出CD的长．
类型十一、应用勾股定理解决选扯距离相离问题
11．如图，烟台市正政府决定在相距50km的A、B两村之间的公路旁E点，修建一个大樱桃批发市场，且使C、D两村到E点的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA＝30km，CB＝20km，那么大樱桃批发市场E应建什么位置才能符合要求？

【答案】大樱桃批发市场E应建在离A站20千米的地方
【分析】
由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方分别求出和，列等式求解即可．
解：设大樱桃批发市场E应建在离A站x千米的地方，则千米．
在直角中，根据勾股定理得：，
∴，
在直角中，根据勾股定理得：，
∴．
又∵C、D两村到E点的距离相等，
∴，
∴，
所以，
解得．
∴大樱桃批发市场E应建在离A站20千米的地方．
【点拨】本题考查勾股定理的实际应用，掌握两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图，小明家在一条东西走向的公路北侧米的点处，小红家位于小明家北米（米）、东米（米）点处．
（1）求小明家离小红家的距离；
（2）现要在公路上的点处建一个快递驿站，使最小，请确定点的位置，并求的最小值．

【答案】（1）米；（2）见分析，米
【分析】
（1）如图，连接AB，根据勾股定理即可得到结论；
（2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，根据勾股定理即可得到结论．
解：（1）如图，连接AB，

由题意知AC=500，BC=1200，∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000，
∵AB＞0
∴AB=1300米；
（2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．

驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，
由题意知AD=200米，A'C⊥MN，
∴A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900米，
在Rt△A'BC中，
∵∠ACB=90°，
∴A'B2=A'C2+BC2=9002+12002=2250000，
∵A'B＞0，
∴A'B=1500米，
即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米．
【点拨】本题考查轴对称-最短问题，勾股定理，题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．