专题1.4.2 分式的通分【知识讲解】（含解析）-【 课堂】2022-2023学年八年级数学上册 知识讲练一本全（湘教版）

这是一份专题1.4.2 分式的通分【知识讲解】（含解析）-【 课堂】2022-2023学年八年级数学上册 知识讲练一本全（湘教版），共5页。学案主要包含了学习目标，知识梳理，典型例题，针对训练1，针对训练2，针对训练3等内容，欢迎下载使用。
1．让学生了解什么是最简公分母，会求最简公分母．
2．了解通分的概念，并能将异分母分式通分．
3．在学习过程中体会从分数到分式的类比的方法，培养由具体到抽象，由个别到一般的数学思维品质．
【知识梳理】
eq \a\vs4\al(知识模块一 怎样确定最简公分母)
异分母分数相加减，要先找到分母的最小公倍数作为公分母，通分后化为同分母分数，再加减．
类似地，异分母分式进行加减运算时，也要先化成同分母分式，然后再加减．
归纳：1.根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程，叫作分式的通分．
2．通分时怎样确定公分母最简便？
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(系数应取各个分母的系数的最小公倍数；,字母或式子应取各个分母的所有字母和式子；,指数应取它在各分母中次数最高的；))eq \x(\a\al(这样的公分母称,为最简公分母.))
注意：分母是多项式时，要先将分母因式分解，然后确定最简公分母．
eq \a\vs4\al(知识模块二 如何将异分母分式通分)
通分的一般步骤：
(1)确定最简公分母(分母是多项式时，常根据因式分解的结果确定)；
(2)通分，即对照最简公分母，将各分式的分子分母各乘一个适当的式子，使分母都变为最简公分母．
方法指导：当分母中含有互为相反数的因式时，可以将其中一个提出“－”，这样确定最简公分母比较简单．
【典型例题】
类型一、怎样确定最简公分母
例1.eq \f(y,4x2)，eq \f(5,6xy)，eq \f(x,9y2)的最简公分母是36x2y2；
eq \f(1,a（a－b）)，eq \f(1,b（a－b）)的最简公分母是ab(a－b)；
求eq \f(x,x2－1)与eq \f(1,x2－x)的最简公分母．
分析：第一个分式的分母含有哪些因式？即x2－1＝(x＋1)(x－1)；
第二个分式的分母含有哪些因式？即x2－x＝x(x－1)；
因此，最简公分母是x(x＋1)(x－1)．
例2．通分：(1)eq \f(1,2x2y)，eq \f(2,3x)，eq \f(3,4x2y)；(2)eq \f(x,x2－4)，eq \f(2,（x＋2）2).
通分的一般步骤：
(1)确定最简公分母(分母是多项式时，常根据因式分解的结果确定)；
(2)通分，即对照最简公分母，将各分式的分子分母各乘一个适当的式子，使分母都变为最简公分母．
方法指导：当分母中含有互为相反数的因式时，可以将其中一个提出“－”，这样确定最简公分母比较简单．
解：(1)最简公分母是：12x2y，
eq \f(1,2x2y)＝eq \f(1·6,2x2y·6)＝eq \f(6,12x2y)，
eq \f(2,3x)＝eq \f(2·4xy,3x·4xy)＝eq \f(8xy,12x2y)，
eq \f(3,4x2y)＝eq \f(3·3,4x2y·3)＝eq \f(9,12x2y).
(2)最简公分母是：(x＋2)2(x－2)，
eq \f(x,x2－4)＝eq \f(x（x＋2）,（x＋2）2（x－2）)，
eq \f(2,（x＋2）2)＝eq \f(2（x－2）,（x＋2）2（x－2）).
【针对训练1】分式y-z12x，y+z9xy，x-y8z2的最简公分母是( )
A.72xyz2B.108xyzC.72xyzD.96xyz2
【答案】A
【解析】按照求最简公分母的方法求解即可．
【解答】解：∵ 12，9，8的最小公倍数为72，
x的最高次幂为1，y的最高次幂为1，z的最高次幂为2，
∴ 最简公分母为72xyz2.
【点评】此题考查了最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
【针对训练2】分式1x-1，2x2-1，3x的最简公分母是( )
A.x2-1B.x(x2-1)C.x2-xD.(x+1)(x-1)
【答案】B
【解析】解：∵ 分式x2-1=(x+1)(x-1)，
∴ 三个分式的最简公分母是x(x+1)(x-1)，即x(x2-1).
【针对训练3】对分式y2x，x3y2，14xy通分时，最简公分母是________.
【答案】12xy2
【解析】利用分式通分即可求出答案．
【解答】解：∵ 分式y2x，x3y2，14xy的分母是2x，3y2，4xy，
∴ 它们的最简公分母为12xy2.
【点评】本题考查分式的通分，属于基础题型．
类型二、如何将异分母分式通分
例3.通分：(1)x6ab2,y9a2bc、 (2)a-1a2+2a-1,6a2-1；
(3)1x-y与2x2-y2 ； (4)2x2-9与x6-2x.
【解析】找出各项的最简公分母，通分即可．
解：(1)最简公分母为18a2b2c，
通分为：3acx18a2b2c，2by18a2b2c.
(2)最简公分母为(a+1)2(a-1)，
通分为：(a-1)2(a+1)2(a-1)，6(a+1)(a+1)2(a-1).
(3)最简公分母为(x+y)(x-y)，
通分为：x+y(x+y)(x-y)，2(x+y)(x-y)．
(4)最简公分母为2(x-3)(x+3)，
通分为：42(x+3)(x-3)，-x(x+3)2(x+3)(x-3)．
【点评】此题考查了通分，通分的关键是找出最简公分母．
【针对训练1】对于试题：“先化简，再求值：x-3x2-1-11-x，其中x=2. ”小亮写出了如下解答过程：
∵ x-3x2-1-11-x=x-3x-1x+1-1x-1 ①
=x-3x-1x+1-x+1x-1x+1 ②
=x-3-x+1=2x-2， ③
∴ 当x=2时，原式=2×2-2=2. ④
(1)小亮的解答在哪一步开始出现错误：________（直接填序号）；
(2)从②到③是否正确：________；若不正确，错误的原因是：________；
(3)请你写出正确的解答过程.
【解析】1第①步最简公分母是x+1x-1，把1-x变为-x-1，而第①步没变符号；
2从第②到③应按同分母分式的加减法则：分母不变，分子相加减，而不是把该分母去掉；
3最简公分母为x+1x-1，通分化简即可得到最简分式，再将x=2代入求值即可.
【解答】解：1由x-3x2-1-11-x=x-3x+1x-1+1x-1①，
故小亮的解答从第①步出现错误.
故答案为：①.
2不正确，错误的原因是：同分母分式加减分母不变，分子相加减，不能直接去掉分母.
故答案为：不正确；同分母分式加减分母不变，分子相加减，不能直接去掉分母.
3正确的解答过程为：x-3x2-1-11-x=x-3(x+1)(x-1)+x+1(x+1)(x-1)=x-3+x+1(x+1)(x-1)=2x-2(x+1)(x-1)
=2x+1，
当x=2时，原式=22+1=23.
【点评】本题考查了异分母分式的加减，掌握法则是关键．异分母的分式相加减，先通分化成同分母的分式，再加减．结果要化成最简分式或整式．
【针对训练2】 通分：（1）4a5b2c,3c10a2b,5b-2ac2； （2）x2x-42,16x-3x2,2xx2-4．
解：（1）∵ 最简公分母是10a2b2c2
∴ 4a5b2c=4a×2a2c5b2c×2a2c=8a3c10a2b2c2、3c10a2b=3c×bc210a2b×bc2=3bc310a2b2c2
5b-2ac2=-5b×5ab22ac2×5ab2=-25ab310a2b2c2.
（2）∵ 2x-42=2x-22=4x-22
.6x-3x2=-3xx-2
.x2-4=x+2x-2
∴ 最简公分母是12xx+2x-22
∴ x2x-42=3x2x+212xx+2x-22
.16x-3x2=4(x+2)(x-2)12x(x+2)(x-2)2
.2xx2-4=24x2(x-2)12x(x+2)(x-2)2