专题6.32 一次函数（全章复习与巩固）（知识讲解）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

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专题6.32 一次函数（全章复习与巩固）（知识讲解）
【学习目标】
1．了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系.
2．理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.
3．通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识.
4. 通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力.
【要点梳理】
要点一、函数的相关概念
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数.
是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.
函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.
要点二、一次函数的相关概念
一次函数的一般形式为，其中、是常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数.
要点三、一次函数的图象及性质
1、函数的图象
　　如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
特别说明：
直线可以看作由直线平移||个单位长度而得到（当＞0时，向上平移；当＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数与函数的图象之间可以相互转化.
2、一次函数性质及图象特征
掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）
特别说明：
理解、对一次函数的图象和性质的影响：
（1）决定直线从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．
（2）两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：
与相交；
，且与平行；
，且与重合；
（3）直线与一次函数图象的联系与区别
一次函数的图象是一条直线；特殊的直线、直线不是一次函数的图象.
【典型例题】
类型一、函数及相关概念
1、如图，用一根长的铁丝围成一个矩形，小石发现矩形的邻边a，b及面积S是三个变量，下面有三个说法：①b是a的函数   ②S是a的函数    ③a是S的函数．其中所有正确的结论的序号是（    ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】根据题意可得，从而可得，即可判断①；再利用矩形的面积可得，从而可得，即可判断②；根据，然后利用配方法可得，从而可得，即可判断③．
解：由题意得：
，
，
，
是的函数，
故①正确；
，

，
是的函数，
故②正确；
，
，
，
，
，
，
不是的函数，
故③不正确；
所以，所有正确的结论的序号是：①②，
故选：A．
【点拨】本题考查了函数的概念，常量与变量，熟练掌握配方法是解题的关键．
举一反三：
【变式1】函数y＝﹣中自变量x的取值范围是（    ）
A．x＝3 B．x＜3且x≠2 C．x≤3且x≠2 D．x≠2
【答案】C
【分析】根据被开方数是非负数，分母不能为零列不等式组求解．
解：由题意得： 3﹣x≥0且x﹣2≠0，
解得：x≤3且x≠2．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了函数自变量的取值范围，根据被开方数是非负数、分母不能为零列出不等式组是解答本题的关键．
【变式2】下列图像中，y不是 x的函数的是（    ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的定义逐项分析即可．
解：A.图像满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，y是x的函数，故此选项不符合题意；
B.图像不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，y不是x的函数，故此选项符合题意；
C.图像满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，y是x的函数，故此选项不符合题意；
D.图像满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，y是x的函数，故此选项不符合题意．
故答案为B．
【点拨】本题考查函数的定义、函数图像的识别等知识点，在一个变化过程中有两个变量x、y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数．
类型二、一次函数的解析式
2、一次函数的图象经过点A(-1，1)和点B(1，5)，
(1) 求一次函数的解析式；
(2) 当时，求x的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）将A(-1，1)和B(1，5)代入，求出k和b的值即可；
（2）将代入（1）所求的函数解析式，解出x的值即可．
解：（1）将A(-1，1)和B(1，5)代入得：，
解得： ，
∴一次函数解析式为；
（2）将代入，得：，
解得：．
【点拨】本题考查利用待定系数法求函数解析式，已知因变量求自变量的值．掌握函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键．
举一反三：
【变式1】已知直线的图象经过点和，求这个一次函数的解析式．
【答案】
【分析】将与坐标代入中得到关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，即可确定出一次函数解析式．
解：依题意将与代入，
得，
解得，，
所求的解析式为．
【点拨】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
【变式2】已知一次函数经过（－1，2），且与y轴交点的纵坐标为4，求一次函数的解析式并画出此函数的图象．

【答案】，函数的图象见分析
【分析】先求出一次函数与轴交点的坐标为，再利用待定系数法即可求出函数的解析式，然后利用两点法画出函数的图象即可得．
解：由题意得：一次函数与轴交点的坐标为，
将点代入得：，
解得，
则一次函数的解析式为．
利用两点法画出函数的图象如下：

【点拨】本题考查了求一次函数的解析式、画一次函数的图象，熟练掌握待定系数法是解题关键．
类型三、一次函数的图象和性质
3、在平面直角坐标系xOy中，直线与直线交于点．
(1) 当时，求n，b的值；
(2) 过动点且垂直于x轴的直线与，的交点分别是C，D．当时，点C位于点D上方，直接写出b的取值范围．
【答案】(1)n=4；b=3；(2)b＞
【分析】（1）将点A（2，n）代入y=2x，求出n的值，得到A点坐标，再将点A坐标代入直线l1的表达式求得b的值；
（2）把x=t分别代入直线l1与直线l2的解析式，求出C，D两点的纵坐标，根据点C位于点D上方，列出关于t的不等式，即可求解．
（1）解：当m=2时，，
∵直线过点，
∴n=2×2=4，
∴，
∵直线过点，
∴，
解得：b=3，
（2）∵过动点P（t，0）且垂直于x轴的直线与l1，l2的交点分别为C，D，
∴C（t，），D（t，2t），
∵点C位于点D上方，
∴＞2t，
解得b＞，
∵，
∴b＞．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，难度适中．
举一反三：
【变式1】在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向上平移3个单位长度得到．
(1) 求这个一次函数的解析式；
(2) 当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据一次函数平移的性质分析，即可得到答案；
（2）根据一次函数图像的性质分析，即可得到答案．
解：（1）∵一次函数的图象由函数的图象向上平移3个单位长度得到
∴ ，
∴这个一次函数的解析式为；
（2）假设时，
∴
如下图：

∵当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，
∴m的取值范围是．
【点拨】本题考查了一次函数、平移的知识；解题的关键是熟练掌握平移、一次函数图像的性质，从而完成求解．
【变式2】已知一次函数．
（1）求证：点在该函数图象上．
（2）若该函数图象向上平移2个单位后过点，求的值．
（3）若，点，在函数图象上，且，判断是否成立？请说明理由．
【答案】（1）见分析；（2）-4；（3）不成立，理由见分析
【分析】（1）令x=3，得y=0即可得证；
（2）一次函数y=k（x-3）图象向上平移2个单位得y=k（x-3）+2，将（4，-2）代入可得k；
（3）由y1＜y2列出x1、x2的不等式，根据k＜0可得答案．
解：（1）在y=k（x-3）中令x=3，得y=0，
∴点（3，0）在y=k（x-3）图象上；
（2）一次函数y=k（x-3）图象向上平移2个单位得y=k（x-3）+2，
将（4，-2）代入得：-2=k（4-3）+2，
解得k=-4；
（3）x1-x2＜0不成立，理由如下：
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在y=k（x-3）图象上，
∴y1=k（x1-3），y2=k（x2-3），
∴y1-y2=k（x1-x2），
∵y1＜y2，
∴y1-y2＜0，即k（x1-x2）＜0，
而k＜0，
∴x1-x2＞0，
∴x1-x2＜0不成立．
【点拨】本题考查一次函数图象上的点，解题的关键是将点坐标代入变形．
4、如图，已知点A(6，4)，直线l1经过点B(0，2)、点C(3，−3)，且与x轴交于点D，连接AD、AC，AC与x轴交于点P．
(1) 求直线l1的表达式，并求出点D的坐标；
(2) 在线段AD上存在一点Q．使S△PDQ=S△PDC，请求出点Q的坐标；
(3) 一次函数y=kx+k+5的图象为l2，若点A，D到l2的图象的距离相等，直接写出k的值．

【答案】(1)，点D坐标为，0)；(2)点Q坐标为(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先利用待定系数法求得AD所在直线的一次函数表达式，根据推出，列式计算即可求解；
（3）先判断直线l2过定点(-1，5)，再根据题意知当l2与线段AD平行或过线段AD中点时，
点A，D到l2的图象的距离相等，据此求解即可．
(1)解：设l1的表达式为y=kx+b(k≠0)，
∵l1经过点B(0，2)、点C(3，−3)，
∴，解得，
∴l1的函数表达式：y=x+2．
∵点D为l1与x轴的交点，
故令y=0，x+2=0，
解得x=，
∴点D坐标为，0)；
(2)解：由（1）同理可得AD所在直线的一次函数表达式为：，
∵点Q在线段上，
∴设点Q坐标为，其中．
∵，
∴，即，
解得，满足题意．
∴点Q坐标为；
(3)解：∵y=kx+k+5=(k+1)x+5，
∴直线l2过定点(-1，5)，
∵点A，D到l2的图像的距离相等，
∴当l2与线段AD平行或过线段AD中点，
当l2与线段AD平行时，k=；
当l2过线段AD中点(，2)时，
∴2=k+k+5，
解得：k=；
综上，k的值为或．
【点拨】本题是一次函数综合题，主要考查两直线的交点，两直线相交或平行问题，待定系数法求函数解析式、三角形的面积及分类讨论思想等．解决问题的关键是利用图象求解各问题．
举一反三：
【变式1】把一次函数的图象向上平移7个单位，得到的函数解析式为y=x−2，求平移前的函数图象与函数y=−x−2的图象和坐标轴所围成的图形面积．
【答案】平移前的函数图象与函数的图象和坐标轴所围成的图形面积为
【分析】该函数y=x−2的图象向下平移7个单位，求出它的解析式，然后求得该函数图象与函数y=−x−2的图像的交点，画出图象，则根据三角形的面积公式进行解答即可；
解：由题知平移前的解析式为，  
解方程x-9= -x-2得：x=，
∴y=--2=-，
∴交点坐标为（），

一次函数与轴的交点坐标()，与y轴的交点坐标为C()，
直线与轴的交点D坐标()，与y轴的交点坐标为E()，
所以两图象与坐标轴围成图形是一个凹四边形BCED，
面积为．
【点拨】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．
【变式2】已知正比例函数y＝2x的图像上有一点B（m+2，m2﹣4），且点B在第一象限．
(1)求点B的坐标；
(2)过点B作BC⊥x轴，点P为此函数图像上异于点B的点，S△BPC＝S△OBC，求此时点P的坐标．

【答案】(1)B（6，12）(2)点P的坐标为（3，6）或（9，18）
【分析】（1）利用待定系数法将点B的坐标代入正比例函数解析式，解方程即可求得m的值，结论可得；
（2）计算出△OBC的面积，利用正比例函数解析式设点P（a，2a），分两种情况讨论解答：过点P作PD⊥BC，利用a表示出△PBC中BC边上的高，利用已知条件列出方程即可求得结论．
（1）解：∵正比例函数y＝2x的图像上有一点B（m+2，m2﹣4），
∴2（m+2）＝m2﹣4．
解得：m＝4或﹣2．
∵点B在第一象限．
∴m＞﹣2．
∴m＝4．
∴m+2＝6，m2﹣4＝12．
∴B（6，12）；
（2）∵B（6，12），
∴OC＝6，BC＝12．
∴OC×BC＝36．
∵点P为函数y＝2x图像上异于点B的点，
∴设点P（a，2a），
当点P在线段OB上时，过P作PD⊥BC，如图，

则PD＝6﹣a，
∵S△BPCS△OBC＝18，
∴BC×PD＝18．
∴12×（6﹣a）＝36．
解得：a＝3，
∴P（3，6）．
当点P在射线BA上时，过P作PD⊥BC交BC延长线于点D，如图，

则PD＝a﹣6，
∵S△BPCS△OBC＝18，
∴BC×PD＝18．
∴12×（a﹣6）＝36．
解得：a＝9，
∴P（9，18）．
综上，点P的坐标为（3，6）或（9，18）．
【点拨】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标的特征，待定系数法，三角形的面积，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
类型四、一次函数与一（二）次一次方程（组）
4.如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点P，并分别与x轴相交于点A、B．
（1）求交点P的坐标；
（2）求PAB的面积；
（3）请把图象中直线在直线上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x的取值范围．

【答案】（1）； （2）3；（3）
【分析】（1）解析式联立，解方程组即可求得交点P的坐标；
（2）求得A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；
（3）根据图象求得即可．
解: 根据题意，交点的横、纵坐标是方程组的解
解这个方程组，得
交点的坐标为
直线与轴的交点的坐标为
直线与轴交点的坐标为
的面积为
在图象中把直线在直线上方的部分
描黑加粗，图示如下:
此时自变量的取值范围为


【点拨】本题考查了两条直线平行或相交问题，两条直线的交点坐标是两条直线的解析式构成的方程组的解．

举一反三：
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象l1：y＝﹣x+4与y轴、x轴分别交于点A，B，与正比例函数图象l2：y＝x交于点C．

(1) 求点C的坐标；
(2) 求△OBC的面积与的值；
(3) 若直线l3：y＝kx+2与y轴交于点D，l1与直线l2或l2交于点P，且△ADP的面积与△OBC的面积相等，求k的值．
【答案】(1)（3，1）； (2)2，； (3) - 2或-或
【分析】（1）两函数解析式联立方程组求解即可；
（2）先求出点A、B的坐标，进而求出OB，BC、AC即可解答；
（3）先求出点D坐标和AD，利用三角形的面积公式和坐标与图形的性质求出点P的横坐标，分点P为直线l3与直线l1的交点和点P为直线l3直线l2的交点进而求得点P坐标，代入y＝kx+2中即可求解．
（1）解：解方程组，解得：，
∴点C坐标为（3，1）；
（2）解：对于y=-x+4，当x=0时，y=4，当y=0时，由0=-x+4得：x=4，
∴点A坐标为（0，4），点B坐标为（4，0），又点C坐标为（3，1），
∴OB=4，AC=，BC=
∴，
；
（3）解：∵y＝kx+2与y轴交于点D，
∴点D坐标为（0，2），则AD=2，
设P的横坐标为a，
由得：a=±2，
当点P为直线l3与直线l1的交点时，
将a=2代入y＝-x+4得：y=2，则P（2，2），
将P（2，2）代入y＝kx+2得：k=0（舍去）；
将a=-2代入y＝-x+4得：y=6，则P（-2，6），
将P（-2，6）代入y＝kx+2得：k=-2；
当点P为直线l3与直线l2的交点时，
将a=2代入y＝x得：y= ，则P（2，），
将P（2，）代入y＝kx+2得：k= ；
将a=-2代入y＝x得：y=，则P（-2，），
将P（-2，）代入y＝kx+2得：k=，
综上，满足条件的k值为-2或或．
【点拨】本题考查一次函数的综合应用，涉及一次函数的图象上点的坐标特征、求一次函数解析式、两直线的交点问题、坐标与图形、已知两点坐标求两点距离、直线与坐标轴的交点问题、三角形的面积等知识，都属于基础综合题，需要牢固掌握，解题关键是利用数形结合与分类讨论思想相结合解决问题．

【变式2】直线y＝﹣2x+b，经A（），B（1，n）两点．
(1) 求直线AB的解析式；
(2) 如图，若直线AB交x轴于点C，交y轴于点D，若点E为CD的中点，求△BOE的面积．

【答案】(1)y＝﹣2x﹣2； (2)；
【分析】（1）将A、B点坐标代入一次函数解析式即可求出b、n的值，直线AB的解析式就可以表示出来；
（2）由（1）可知，A、B、C、D点的坐标即可求出，根据E点为CD的中点，也可以求出E点坐标，再根据就可以求出面积；
(1) ∵点A（），B（1，n）在直线y＝﹣2x+b上，

∴
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣2；
(2)∵直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣2，
令x＝0，解得y＝﹣2，令y＝0，解得x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），D（0，﹣2），
∵点E为CD的中点，
∴E ()，
∴　，
∴==．
【点拨】本题考查一次函数的解析式和一次函数围成图形的面积，熟练掌握一次函数的性质和应用是解决本体的关键．

类型五、一次函数与一元一次不等式（组）
5.如图，已知函数y=–2x+3与y=–x+m的图像交于点P(n，–2)且分别与y轴交于点A，点B．
(1) 求出m、n的值；
(2) 直接写出不等式–x+m ＞–2x+3；
(3) 求出ABP的面积．

【答案】(1) n=，m=-； (2) x＞； (3)
【分析】（1）将点P（n，-2）代入y=–2x+3求得的坐标，进而代入y=–x+m即可求解；
（2）根据函数图象与交点的横坐标即可求解；
（3）分别求得y=-2x+3，y=-x-与轴的交点，得到A，B的坐标，进而得出AB的值，根据面积公式即可求解．
（1）解：∵y=-2x+3过P（n，-2）
∴-2=-2n+3，
解得：n=，
∴P() ，
∵y=-x+m的图像过P() ，
∴-2=-×+m，
解得：m=-，
（2） P()，根据函数图象可得，
不等式-x+m＞-2x+3的解集为x＞；
（3）∵当y=-2x+3中，x=0时，y=3
∴A(0，3)
∵y=-x-中，x=0时，y=-，
∴B(0， -)．      
∴AB=3，
∴△ABP的面积：AB×=××=
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，根据两直线交点求不等式的解集，求两直线围成的三角形面积，掌握一次函数的性质是解题的关键．

举一反三：
【变式1】已知：如图，一次函数与的图象相交于点C．
(1)求点C的坐标；
(2)若一次函数为与的图象与x轴分别相交于点A、B，求的面积；
(3)结合图象，直接写出时x的取值范围．

【答案】(1)点C坐标为；(2) 9； (3)
【分析】（1）联立两个函数解析式，解方程组可求点C的坐标；
（2）分别求出A、B两点坐标，然后可得△ABC的面积；
（3）根据图象可直接得到时x的取值范围．
解：（1）联立两函数解析式可得方程组
，
解得：，
∴点C的坐标为（1，-3）；
（2）当时,，解得:，
∴A（4，0），
当时，，解得：，
∴B（-2，0），
∴
∵点C坐标为
∴点C到的距离为3
∴△ABC的面积为：；
（3）由图象可得：时x的取值范围是．
【点拨】此题主要考查了一次函数和一元一次不等式，二元一次方程组，关键是正确求出两函数图象与x轴交点，掌握数形结合思想．

【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点P也在直线上，已知点．
(1) 求的长；
(2) 若的面积与的面积相等，求点P的坐标；
(3) 设直线与直线交点的横坐标为m，若，直接写出b的取值范围．

【答案】(1)；(2)点P的坐标为或；(3)
【分析】（1）求出直线与y轴的交点坐标即可解答；
（2）设，分别讨论P点在第三、二、一象限，根据面积关系列方程求解即可；
（3）由两直线表达式得出两直线交点的横坐标表达式，再由横坐标的取值范围解不等式求得b的取值范围即可；
解（1）：∵直线与y轴交于点B，
∴当时，，∴，
∵，∴；
（2）∵直线与x轴交于点A，
∴当时，即，解得，∴，
设，
当时，这种情况不成立；
当时，若的面积与的面积相等，
则有，解得，
∴；
当时，这种情况不成立；
当时，若的面积与的面积相等，
则有，解得，
∴．
∴若的面积与的面积相等，则点P的坐标为或；
（3）：直线与直线相交时：
，解得：，
∵x的取值范围为3＜x＜5，∴
时，解得：，时，解得：，
∴b的取值范围为；
【点拨】本题考查了一次函数的综合，根据一次函数的图象分类讨论是解题关键．

类型六、一次函数的应用
7、某工厂有甲、乙两条生产线先后投产，在乙生产线投产以前，甲生产线已生产了200t成品；从乙生产线投产开始，甲、乙两条生产线每天分别生产20t和30t成品．
(1)分别求出甲、乙两条生产线投产后，总产量y（t）与从乙开始投产以来所用时间x（天）之间的函数关系式，并求出第几天结束时，甲、乙两条生产线的总产量相同；
(2)分别求出第15天和第25天结束时，甲、乙两条生产线的产量是多少，并比较哪条生产线的总产量高．
【答案】(1)甲=20+200，乙=30，20天后甲、乙两条生产线的总产量相同；
(2)第15天时，甲的生产量是500，乙的生产量是450，甲的总产量高；第25天时，甲的生产量是700t，乙的生产量是750t，乙的总产量高
【分析】（1）由题意得甲乙生产线的关系式，令其相等求解；
（2）利用解析式分别求出第15天和第25天结束时，甲、乙两条生产线的产量，再比较即可．
(1)解：由题意得：
甲=20+200，甲=30，
令20+200=30，
解得：=20；
答：20天后甲、乙两条生产线的总产量相同；
(2)解：当=15时，甲=300+200=500，乙=30×15=450，
甲＞乙；
当=25时，甲=500+200=700，乙=30×25=750，
乙＞甲．
【点拨】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是得出函数解析式，利用一次函数的性质解决实际问题．
举一反三：
【变式1】由于全球汽车芯片短缺汽车生产成本增加，某汽车生产厂商计划提高汽车出厂价格，据市场反馈，某型号汽车出厂价格为8万元/辆时，其月销量为2000辆，且出厂价格每提高1万元/辆，月销量将减少300辆，设该型号汽车每辆出厂价格为x万元（x＞8）时，其月销量为y辆．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若汽车生产商计划该型号汽车的月销量不少于1400辆，在（1）的基础上，请根据函数中y的值随着x值的变化而变化的特点，求该型号汽车的出厂价格最多应定为每辆多少万元？
【答案】(1)y＝﹣300x+4400（x＞8）(2)该型号汽车的出厂价格最多应定为每辆10万元
【分析】（1）利用月销售量＝2000﹣300×上涨的价格，即可得出y与x之间的函数关系式；
（2）（方法一）根据月销量不少于1400辆，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（方法二）由k＝﹣300＜0，可得出y随x的增大而减小，结合y的取值范围，即可得出x的最大值．
(1)解：依题意得：y＝2000﹣300（x﹣8），
即y＝﹣300x+4400（x＞8）．
(2)解：（方法一）依题意得：﹣300x+4400≥1400，
解得：x≤10．
答：该型号汽车的出厂价格最多应定为每辆10万元．
（方法二）∵k＝﹣300＜0，
∴y随x的增大而减小．
又∵y≥1400，
∴当y取得最小值时，x取得最大值．
∵当y＝1400时，﹣300x+4400＝1400，解得：x＝10，
∴该型号汽车的出厂价格最多应定为每辆10万元．
【点拨】本题考查了一次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出函数式，然后利用函数关系式即可解决题目的问题．
【变式2】甲超市在端午节这天进行苹果优惠促销活动，苹果的标价为10元/kg，如果一次购买4kg以上的苹果，超过4k的部分按标价6折售卖．x（单位：kg）表示购买苹果的重量，y（单位：元）表示付款金额．
(1)求付款金额y与购买苹果的重量x的表达式；
(2)某天，隔壁的乙超市也在进行苹果优惠促销活动，同样的苹果的标价也为10元/kg，且全部按标价的8折售卖，小明如果要购买10kg苹果，请问他在哪个超市购买更划算？
【答案】(1)y(2)小明应该在甲超市购买更划算
【分析】（1）根据题意分和两种情况写出函数解析式即可；
（2）通过两种付款比较那个超市便宜即可．
(1)解：由题意得：
当时，，
当时，，
付款金额关于购买苹果的重量的函数解析式为：；
(2)解：小明在甲超市购买苹果需付费：（元，
小明在乙超市购买苹果需付费：（元，
小明应该在甲超市购买更划算．
【点拨】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是写出分段函数的解析式．
类型五、一次函数的综合
6、阅读理解题
定义：如果一条直线把三角形的面积分为相等的两部分，那么我们称这条直线是三角形的一条等分线，我们知道三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分，那么三角形的一条中线所在的直线就是该三角形的一条等分线．如图1，点D是BC的中点，那么直线AD就是△ABC的一条等分线．
(1) 任务一：如图1，若∠B＝30°，∠C＝45°，，则△ABD的面积为______．
(2) 任务二：如图2，点A（1，4），点B（4，2），连接OA，AB，OB，直线l经过点A，且直线l是△OAB的等分线，请在图2中画出直线l（无需尺规作图），并求出直线l的表达式．
(3) 任务三：如图3，点A（3，6），AB⊥x轴于点B，连接OA，点P（1，m）是OA上一点，点Q是AB上一点，若直线PQ是△AOB的等分线，则点Q的坐标为______．

【答案】(1)(2)见分析，(3)（3，）
【分析】（1）过点A作AE⊥BC于E，根据等腰直角三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质求出AE、EC、BE，进而可求出BD，然后根据三角形面积公式计算；
（2）根据等分线的定义和三角形中线的性质可知直线l过OB的中点，据此作图；然后求出OB的中点坐标，再利用待定系数法求直线l的表达式；
（3）首先求出点P坐标，然后根据等分线的定义可得S△APQ＝S△AOB，列方程求出点Q的纵坐标即可解决问题．
（1）解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
∵∠C＝45°，，
∴AE＝EC＝，
∵∠B＝30°，
∴BE＝，
∴BC＝BE＋EC＝，
∴，
∴S△ABD＝，
故答案为：；

（2）解：如图，OB的中点为E，过点A，E的直线即为所求作的直线l，
∵B（4，2），点E为OB的中点，
∴E（2，1），
设直线l的表达式为：，
将点A（1，4），E（2，1）代入得：，
解得：，
∴直线l的表达式为：；

（3）解：设直线OA的解析式为：，
代入A（3，6）得：，
解得：，
∴直线OA的解析式为：，
当x＝1时，，即P（1，2），
设点Q的坐标为（3，n），
由S△APQ＝S△AOB，得：，
解得：，
∴点Q的坐标为（3，），
故答案为：（3，）．
【点拨】本题考查了新定义，三角形中线的性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，待定系数法求一次函数解析式等，正确理解等分线的定义是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，直线l对应的函数表达式为，在直线l上，顺次取点，，，，……，，构成的形如“7”的图形的阴影部分面积分别为；；；……
猜想并填空：

(1)______；
(2)______（用含n的式子表示）；
(3)______（用含n的式子表示，要化简）．
【答案】(1)；（或12）(2)；或(3)
【分析】（1）由题意可知、，再借助矩形面积公式计算即可；
（2）分别求出、、、的表达式，找出规律，根据规律解答即可；
（3）根据、、、、……、的表达式的规律，相加后进行化简计算即可．
（1）解：由题意可知、，
∴，
故答案为：；（或12）
（2）由题意可知：
，
，
，
，
……
，
故答案为：；或
（3）



故答案为：
【点拨】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及用代数式表示图象的变化规律问题，根据点的坐标变化找出阴影部分面积的变化规律是解题关键．
【变式2】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴（3，0）、点B（0，4），点D在y轴的负半轴上，沿AD折叠直线BD，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
(1)直接写出AB的长　　；
(2)求直线AB的函数表达式；
(3)点C的坐标　　，点D的坐标　　；
(4)y轴上是否存在一点P，使得S△PAB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由

【答案】(1)5(2)y＝﹣x+4(3)（8，0），（0，﹣6）(4)存在，（0，12）或（0，﹣4）
【分析】（1）运用勾股定理即可求出答案；
（2）运用待定系数法设直线AB的表达式为y=kx+b，将A（3，0）、B（0，4）代入，即可求出答案；
（3）根据折叠得AC=AB=5，可得点C的坐标，设点D（0，m），根据OC2+OD2=CD2，即可求出答案；
（4）设点P（0，n），根据S△PAB=S△OCD，建立方程求解即可．
解：（1）∵A（3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∵∠AOB＝90°，
∴；
故答案为：5；
（2）设直线AB的表达式为y＝kx+b，将A（3、0）、B（0，4）得：
，
解得：
∴直线AB的表达式为y＝﹣x+4；
（3）由折叠得：AC＝AB＝5，
∴OC＝OA+AC＝3+8＝8，
∴点C的坐标为（8，0），
设点D（0，m），则OD=-m，
由折叠得CD＝BD＝4﹣m，
在Rt△OCD中，OC2+OD2＝CD2，
∴，
解得：m＝﹣6，
∴D（0，﹣6），
故答案为：C（8，0），（0，﹣6）；
（4）存在，设点P（0，n），
∴PB＝|n﹣4|，
∵S△PAB＝S△OCD，
∴，
即，
解得：n＝12或﹣4，
∴P（0，12）或（0，﹣4）
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，折叠的性质，勾股定理，三角形面积公式等，第（4）小题求点P的坐标时，避免漏解．