高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理练习题

1.2  空间向量基本定理（分层作业）

（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1．（2022·河南郑州·高二期末（理））已知三棱锥O—ABC，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用空间向量基本定理进行计算.

【详解】.

故选：A

2．（2022·全国·高二）如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据空间向量的运算法则和空间向量基本定理相关知识求解即可.

【详解】由题意得，.

故选：D

3．（2022·全国·高二）已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有（       ）

A．，，共线 B．O，A，B，C中至少有三点共线

C．与共线 D．O，A，B，C四点共面

【答案】D

【分析】根据空间向量基本定理即可判断

【详解】由于向量，，不能构成空间的一个基底知，，共面，所以O，A，B，C四点共面

故选：D

4．（2022·江苏·高二课时练习）设向量是空间一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是　　

A． B． C． D．或

【答案】C

【分析】根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，从而判断出结论．

【详解】解：由题意和空间向量的共面定理，

结合，

得与、是共面向量，

同理与、是共面向量，

所以与不能与、构成空间的一个基底；

又与和不共面，

所以与、构成空间的一个基底．

故选：．

5．（2022·江苏·泰州中学高二期中）在四棱柱中，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据题意利用空间向量基本定理求解即可

【详解】因为，所以，

所以

，

所以A错误

因为，所以，

所以

,

故选：D

6．（2022·江苏南通·高二期末）在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据空间向量的基本定理，结合中点的性质求解即可

【详解】 ，

其中 为中点，有 ，故可知 ，

则知 为 的中点，故点 满足 ， ．

故选：A

7．（2022·广东梅州·高二期末）已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由图形可得，根据比例关系可得，，再根据向量减法，代入整理并代换为基底向量．

【详解】

即

故选：D．

二、多选题

8．（2022·全国·高二）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（     ）

A．，， B．，， C．，， D．，，

【答案】ABD

【分析】逐项判断各选项的向量是否不共面，从而可得正确的选项.

【详解】对于A，因为，故，，共面；

对于B，因为，故，，共面；

对于D，因为，故，，共面；

对于C，若，，共面，则存在实数，使得：，

，故共面，

这与构成空间的一个基底矛盾，

故选：ABD

9．（2022·江苏南通·高二期末）已知，，是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（       ）

A．若，，则

B．若，，两两共面，则，，共面

C．对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得

D．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底

【答案】AD

【详解】根据空间向量共面的判定定理及空间向量基底的概念逐项判断即可.

【解答】解：，，是空间的三个单位向量，

由，，则，故A正确；

，，两两共面，但是，，不一定共面，，，可能两两垂直，故B错误；

由空间向量基本定理，可知只有当，，不共面，才能作为基底，才能得到，故C错误；

若 是空间的一组基底，则，，不共面，可知也不共面，所以也是空间的一组基底，故D正确．

故选：AD.

10．（2022·福建·上杭县第二中学高二阶段练习）关于空间向量，以下说法正确的是（       ）

A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面

C．已知向量是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底

D．若，则是钝角

【答案】ABC

【分析】对于A，根据共线向量的概念理解判断；对于B：根据且P，A，B，C四点共面，分析判断；对于C：基底向量的定义是空间的一个基底不共面，分析判断；对于D：根据数量积的定义可得，结合向量夹角的范围分析判断．

【详解】对于A，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，

则这三个向量一定共面，所以A正确；

对于B，若对空间中任意一点O，有因为，

根据空间向量的基本定理，可得P，A，B，C四点一定共面，所以B正确；

对于C，由于是空间的一个基底，则向量不共面

∵，则共面

∴可得向量不共面，所以也是空间的一个基底，所以C正确；

对于D，若，即，又，所以，所以D不正确．

故选：ABC．

11．（2022·江苏·高二阶段练习）下面四个结论正确的是（       ）

A．空间向量，（，），若，则

B．若对空间中任意一点O，有，则P、A、B、C四点共面

C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底

D．任意向量，，，满足

【答案】ABC

【分析】A.利用空间向量数量积的定义判断；B.利用空间向量共线定理的推论判断；C.利用空间基底的定义判断；D.根据与 共线，与 共线判断.

【详解】A.空间向量，（，），若，则，所以，故正确；

B. 若对空间中任意一点O，有，且，则P、A、B、C四点共面，故正确；

C.因为是空间的一组基底,所以不共面，则也不共面，又，所以不共面，则也是空间的一组基底，故正确；

D.因为与 共线，与 共线，又，，是任意向量，所以 与 不一定相等，故错误；

故选：ABC

三、填空题

12．（2022·全国·高二课时练习）正方体中，点是上底面的中心，若，则___________.

【答案】

【分析】根据向量线性运算，利用表示出，由此可得的值.

【详解】

，

，，，.

故答案为：.

13．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱中，M为的中点，若，，，则______．（用、、表示）

【答案】

【分析】利用空间向量的线性运算，结合题意，求解即可.

【详解】根据题意，

.

故答案为：.

14．（2022·全国·高二）如图，在四面体中，是的中点，设，，，请用､､的线性组合表示___________.

【答案】

【分析】先求出，再由求解即可.

【详解】在中，因为是的中点，所以，

所以.

故答案为：.

四、解答题

15．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知在三棱锥中，向量，，，已知M为BC的中点，试用、、表示向量．

【答案】

【分析】利用空间向量的线性运算的几何表示运算即得.

【详解】∵M 为BC的中点，

∴，

∴.

16．（2022·全国·高二课时练习）如图，在平行六面体中，，，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点在线段上，且，记，，．试用，，表示．

【答案】

【分析】利用空间向量的线性运算，即可用，，表示.

【详解】因为在平行六面体中，点在线段上，且，

所以

.

17．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知是平行六面体．

(1)化简；

(2)设是底面的中心，是侧面对角线上的分点，设，试求，，的值．

【答案】(1)；

(2)，，.

【分析】（1）利用平行六面体的性质及向量的线性运算即得；

（2）利用向量线性运算的几何表示可得，进而即得.

(1)∵是平行六面体，

∴

(2)∵

，

又，

∴，，.

【能力提升】

一、单选题

1．（2022·江苏扬州·高二期中）如图，在平行六面体中，为和的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据空间向量的加减运算，表示出向量，即得答案.

【详解】

,

故选;A

2．（2022·全国·高二课时练习）在以下命题中，真命题的是（       ）．

A．是、共线的充要条件

B．若，则存在唯一的实数，使

C．对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若，则P、A、B、C四点共面

D．若、、是不共面的向量，则、、的线性组合可以表示空间中的所有向量

【答案】D

【分析】根据模的性质、向量共线定理、空间向量共面定理、空间向量基本定理判断各选项．

【详解】A．若、不共线，则向量加法的三角形法则有，但当、同向时，也有，因此是、共线的充分不充要条件，A错；

B．若，当时，不存在唯一的实数，使，B错；

C．因为A、B、C三点不共线，则不共线，

若四点共面，则存在唯一的一组实数使得，

即，变形得，

而当由时，，所以不共面，C错；

D．若、、是不共面的向量，则、、也是不共面的向量，否则若、、，则存在实数，使得，

即，中至少有一个不等于0，

若，则 ，因此、、共面，与已知矛盾，或同样得出矛盾，所以、、也是不共面，由空间向量基本定理，可能用它们表示出空间任意向量．D正确．

故选：D．

3．（2022·上海市建平中学高二期末）已知A､B､C､D､E是空间中的五个点，其中点A､B､C不共线，则“平面ABC”是“存在实数x､y，使得的（       ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合向量共面的判定定理即可得出答案.

【详解】若平面ABC，则共面，故存在实数x､y，使得.

若存在实数x､y，使得，则，，共面

则平面ABC或平面ABC.

所以“平面ABC”是“存在实数x､y，使得的充分而不必要条件.

故选：A.

4．（2022·广东·高二阶段练习）在三棱锥中，P为内一点，若，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】延长PB到，使得，延长PC到，使得，连接，，，根据 ，，，得到P是的重心求解.

【详解】延长PB到，使得，延长PC到，使得，连接，，，如图所示：

因为，，，

所以，

所以P是的重心，

所以，即，

所以，

整理得．

故选：C

5．（2022·河北邢台·高二阶段练习）如图．空间四边形中，，点M在上，且满足，点N为的中点，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由空间四边形各棱的位置关系，结合空间向量加减、数乘的几何意义，用表示即可得结果.

【详解】由题图，，而，，，

所以.

故选：D

二、多选题

6．（2022·广东惠州·高二期末）下面四个结论正确的是（       ）

A．空间向量，，若，则

B．若对空间中任意一点O，有，则P、A、B、C四点共面

C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底

D．任意向量，，满足

【答案】ABC

【分析】空间向量垂直的数量积表示可判断A；由向量四点共面的条件可判断B；由空间向量基底的定义可判断C； 是一个数值，也是一个数值，说明和存在倍数关系，或者说共线，可判断D.

【详解】空间向量，，若，则，故A正确；

对空间中任意一点O，有，

且，则P、A、B、C四点共面，故B正确；

因为是空间的一组基底，所以不共面，，则也不共面，

即也是空间的一组基底，故C正确；

任意向量，，满足，由于是一个数值，也是一个数值，

则说明和存在倍数关系，或者说共线，不一定相等，故D错误.

故选：ABC.

7．（2022·浙江宁波·高二期末）若，，是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为，则（       ）

A．的取值范围是

B．能构成空间的一个基底

C．“”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件

D．

【答案】BD

【分析】根据给定条件结合空间向量相关知识逐一分析各个选项即可判断作答.

【详解】因，，是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为，则三棱锥是侧棱长为1的正三棱锥，如图，

作平面于点，连接，则，

，，中，由余弦定理得，

于是得，A不正确；

因，，是不共面的，由空间向量基底的意义知，B正确；

假定P，A，B，C四点共面，依题意，存在唯一实数对使得，即，

而，由空间向量基本定理知，此方程组无解，则有P，A，B，C四点不共面，“”是“P，A，B，C四点共面”的不充分不必要条件，C不正确；

，D正确.

故选：BD

8．（2021·全国·高二期中）在四面体中，以下说法正确的有（       ）

A．若，则可知

B．若Q为△的重心，则

C．若四面体各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则

D．若，，则

【答案】ABD

【分析】A：令，利用平面向量基本定理及向量加减、数乘的几何意义，求之间含的线性关系，结合已知即可求；B：根据线段的空间位置及空间向量的加减、数乘运算，求的线性关系；C：由正四面体性质求的长度即可；D：由题设有，利用空间向量数量积的运算律及空间向量的加减几何含义求证结论.

【详解】A：由，则在线段上，又，若，则，又，故，所以，即，正确；

B：若为的中点，，又，而，所以，又，则，整理得，正确；

C：由题设知：，即，且，故，错误；

D：若，，则，又，所以，整理得，故，正确.

故选：ABD

三、填空题

9．（2022·全国·高二课时练习）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，，则的最大值是_______.

【答案】

【分析】由列方程，利用已知条件化简，结合基本不等式求得的最大值.

【详解】依题意是空间单位向量，

且，

，，

，

，

当且仅当时等号成立，

所以，

所以.

故答案为：

10．（2021·全国·高二课时练习）如图在正方体中，已知,,,为底面的的中心，为的重心，则______

【答案】

【分析】，由此能求出结果.

【详解】解：在正方体中，,,,

为底面的的中心，为的重心，

.

故答案为：.

【点睛】本题考查向量的求法，空间向量加法法则等基础知识的考查，属于中档题.

四、解答题

11．（2022·全国·高二课时练习）在长方体中，是的中点．

(1)设，，，用向量、、表示；

(2)设，，，用向量、、表示．

【答案】(1)；(2)

【分析】（1）根据向量加法运算求解即可；

（2）由题知，进而得，，，再根据求解即可.

(1)解：如图，根据向量加法法则得：

.

(2)解：由（1）得，

因为，

所以，，,

所以，

12．（2022·全国·高二课时练习）A是所在平面外一点，G是的重心，M、E分别是BD、AG的中点，点F在线段AM上，，判断三点C、E、F是否共线．

【答案】C、E、F三点共线

【分析】利用空间向量的基本定理和共线向量定理求解.

【详解】解：设，，，

，

，

，

，

因为，

所以，

又因为、有公共点C，

所以C、E、F三点共线．

13．（2022·全国·高二课时练习）如图，在平行六面体中，，．

(1)求证：、、三点共线；

(2)若点是平行四边形的中心，求证：、、三点共线．

【分析】（1）根据空间向量的加减运算，选定基底表示出向量，根据向量间的倍数关系可证明结论；

（2）根据空间向量的加减运算，选定基底表示出向量，根据向量间的倍数关系可证明结论；

(1)由题意，，，

故

,

,

故，由于有公共点A，

故A、、三点共线；

(2)由题意，点是平行四边形的中心，

故

，

故 ,因为有公共点D，

故、、三点共线．