高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示课时练习

1.3.2  空间向量运算的坐标表示（分层作业）

（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1．（2021·黑龙江黑河·高二阶段练习）已知，且，则的值是（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【分析】由向量数量积的坐标表示列方程求参数.

【详解】由题设，，可得.

故选：B

2．（2021·吉林油田高级中学高二开学考试）已知向量，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据向量的数乘以及减法运算，即可求得答案.

【详解】,

故选:D．

3．（2022·全国·高二）已知直线的方向向量分别为，若，则等于（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】根据列方程，化简求得的值.

【详解】由于，所以.

故选：B

4．（2022·安徽滁州·高二期中）已知，，若，则m的值为（       ）

A．－2 B．2 C． D．

【答案】C

【分析】根据向量共线的性质即可求解.

【详解】因为，所以，解得，

故选：C.

5．（2022·福建龙岩·高二期中）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】若，则，从而即可求解

【详解】若，则，从而

即,解之得：

故选：D

6．（2022·全国·高二）设，向量，且，则（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】根据向量平行和垂直的坐标表示求出y和x即可．

【详解】，

∥，

∴.

故选：A.

7．（2021·广东·江门市第二中学高二期中）已知，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据空间向量的坐标运算，即可求解.

【详解】,,

故选：D

8．（2022·全国·高二课时练习）已知向量，则下列向量中与成夹角的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用空间向量夹角公式进行逐一判断即可.

【详解】A：因为向量与向量夹角的余弦值为，

所以向量与向量夹角为，故不符合题意；

B：因为向量与向量夹角的余弦值为，

所以向量与向量夹角为，故符合题意；

C：因为向量与向量夹角的余弦值为，

所以向量与向量夹角为，故不符合题意；

D：因为向量与向量夹角的余弦值为

，所以向量与向量夹角为，故不符合题意，

故选：B

9．（2022·全国·高二课时练习）在正三棱柱中，，为棱的中点，为线段上的一点，且，则（       ）

A．10 B．12 C．15 D．20

【答案】C

【分析】以点为坐标原点建立空间直角坐标系，设，再根据垂直的坐标表示求解得，进而求得即可.

【详解】以点为坐标原点，以及与过且与同向的方向分别为轴建立空间直角坐标系.则，，，设，由，知，解得，故.

故选：C

10．（2022·全国·高二专题练习）给出下列命题：

①若空间向量满足则

②空间任意两个单位向量必相等

③若空间向量满足则

④在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，必有

⑤向量（1，1，0）的模为；

其中假命题的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据空间向量的相关知识逐一判断即可.

【详解】在①中，若空间向量满足，向量与方向不一定相同，故①是假命题；

在②中，空间任意两个单位向量的模必相等，但方向不一定相同，故②是假命题；

在③中，若空间向量满足，则向量与不一定相等，故③是假命题；

在④中，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由向量相等的定义得必有，故④是真命题；

在⑤中，由模的定义得向量（1，1，0）的模为，故⑤是真命题．

故选：C．

二、多选题

11．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知向量，则下列向量中与的夹角为60°的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】设向量，则，再结合选项逐一判断即可.

【详解】解：不妨设向量，

若，则，不满足条件，A错误；

若，则，满足条件，B正确；

若，则，满足条件，C正确；

若，则，不满足条件，D错误．

故选：BC.

12．（2022·全国·高二）已知空间向量，，则下列结论正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．与夹角的余弦值为

【答案】BCD

【分析】由空间向量平行的性质及空间向量模长，数量积，夹角的坐标运算进行判断即可.

【详解】对于A选项：，不存在，使得，故A错误；

对于B选项：，，故B正确；

对于C选项：，，

则，故C正确；

对于D选项：，，

所以，故D正确；

故选：BCD.

13．（2022·全国·高二）已知空间中三点，，，则正确的有（       ）

A．与是共线向量 B．的单位向量是

C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是

【答案】CD

【分析】A选项直接写出与，按照共线向量即可判断；B选项由单位向量的求法进行判断；

C选项通过夹角公式计算即可；D选项直接计算法向量即可.

【详解】，，，显然与不共线，A错误；

的单位向量，即，B错误；

，，C正确；

设平面的法向量，则，令，得，D正确.

故选：CD.

14．（2022·全国·高二单元测试）已知空间三点，，，则下列说法正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】由条件可得的坐标，然后逐一判断即可.

【详解】因为，，，

所以

所以，，

所以不共线.

故选：AC

三、填空题

15．（2022·全国·高二专题练习）已知A，B，C的坐标分别为（0，1，0），（﹣1，0，﹣1），（2，1，1），点P的坐标是（x，0，y），若PA⊥平面ABC，则点P的坐标是_______．

【答案】（﹣1，0，2）

【分析】根据题意算出、、的坐标，由PA⊥平面ABC得⊥且⊥，建立关于x、y的方程组，解之即可得出点P的坐标．

【详解】根据题意，可得

（﹣1，﹣1，﹣1），（2，0，1），（x，﹣1，y）

∵PA⊥平面ABC，

∴⊥且⊥，可得，

解之得x＝﹣1，y＝2，可得P的坐标是（﹣1，0，2）．

故答案为：（﹣1，0，2）．

16．（2022·全国·高二专题练习）如图三棱柱中，侧面是边长为菱形，∠，交于点，侧面，且为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系，则点的坐标为______．

【答案】

【分析】过点作平面，连接，则，由此可求得点的坐标.

【详解】三棱柱中，侧面是边长为菱形，∠，

交于点，侧面，且为等腰直角三角形，

如图建立空间直角坐标系，

过作平面，垂足是，连接，，

则，

点的坐标为．

故答案为: .

17．（2022·全国·高二专题练习）如图，已知点在正方体的对角线上，．设则的值为_________．

【答案】

【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用向量关系即可求出.

【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为，

点在正方体的对角线上，且，，

则，，，，，

，，

，

由，解得．

故答案为．

18．（2022·全国·高二专题练习）已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为_____。

【答案】

【分析】由已知转化为，去除与夹角为时的值，用数量积公式求解即可.

【详解】向量的夹角为钝角，

，解得，且，

实数的取值范围为．

故答案为：.

19．（2022·全国·高二专题练习）已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为_______.

【答案】

【分析】根据点到直线的空间向量坐标公式求解即可

【详解】根据题意，得，，

，

；

又

点到直线l的距离为．

故答案为：

四、解答题

20．（2022·全国·高二专题练习）设有三点A（1，2，-1）、B（0，3，1）、C（4，-1，2），求：

(1)△ABC的面积S；

(2)与向量、同时垂直的单位向量．

【答案】(1)；(2).

【分析】（1）由已知求得，，可得AB⊥AC，再求出AB、AC的长度，再由三角形面积公式求解；

（2）利用向量数量积为0列式求解向量、同时垂直的单位向量．

(1)∵A（1，2，-1）、B（0，3，1）、C（4，-1，2），

∴，，

，，

，则AB⊥AC，

可得△ABC的面积S；

(2)设与向量、同时垂直的向量为，

由，取y＝1，可得，

∴与向量、同时垂直的单位向量为．

21．（2021·全国·高二课时练习）已知空间三点，，

(1)求向量与的夹角的余弦值，

(2)若向量与向量垂直，求实数k的值．

【答案】(1)﹣

(2)k＝2

【分析】（1）求出与及模长，利用空间向量夹角公式进行求解；（2）根据空间向量垂直得到方程，结合第一问求出实数k的值.

(1)，，，，

故，

所以.

(2)∵向量与向量垂直，

∴，

即，解得：k＝2．

22．（2022·全国·高二课时练习）已知向量，，计算：

(1)，，；

(2)．

【答案】(1)，，

(2)

【分析】（1）直接根据空间向量模的公式计算；

（2）直接根据空间向量的夹角公式计算.

(1)由已知

，

，

，

则

(2)

23．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）已知点，，点P在直线AB上．

(1)若，写出点P的坐标；

(2)若点O是坐标原点，且，写出点P的坐标．

【答案】(1)或；

(2).

【分析】(1)由点在直线上得，表示出P的坐标，根据求出即可.

(2)根据求出即可.

(1)，

∵点在直线上，∴，，.

由得，

，或.

(2)，

，，，.

24．（2022·全国·高二课时练习）已知，，且与平行，求实数m的值.

【答案】

【分析】根据向量平行的性质求解即可.

【详解】因为，所以，

所以，

因为与不平行，所以，

所以.

25．（2022·全国·高二课时练习）判断下列各对向量是否平行或垂直：

(1)，；

(2)，；

(3)，．

【答案】(1)垂直，不平行

(2)平行，不垂直

(3)既不平行，又不垂直

【分析】（1）根据来判断；

（2）根据存在实数使来判断；

（3）根据，且不存在实数使来判断.

(1),

故与垂直，不平行；

(2)存在实数使，

故与平行，不垂直；

(3)，

又不存在实数使，

故故与既不平行，又不垂直.

26．（2022·全国·高二课时练习）如图，在棱长为的正方体中，是的中点，是的中点，是的中点.

(1)试建立适当的坐标系，并确定、、三点的坐标；

(2)求证：.

【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，可得出、、三点的坐标；

（2）利用空间向量垂直的坐标表示可证得结论成立.

(1)解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、.

(2)证明：依题意可得、，则，，

所以，，所以.

【能力提升】

一、单选题

1．（2022·江苏淮安·高二期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，，M为PC上一动点，，若∠BMD为钝角，则实数t可能为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】建立空间直角坐标系，利用即可求解.

【详解】分别以、、为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，

设， ，故，,，,

由可知，，即，

又因为为钝角，所以，

由,,可知，，

，整理得，

解得，

故选：D.

2．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）已知，，且，则（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】利用向量平行的充要条件列出关于x、y的方程组，解之即可求得x、y的值.

【详解】，，

则，

由，可得，解之得

故选：B

3．（2022·江苏徐州·高二期中）如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法可得动点的轨迹为线段即可得结果.

【详解】分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，设，，

则，，

由得，即，

由于，所以，，

所以点的轨迹为面上的直线：，，即图中的线段，

由图知：，

故选：B.

4．（2022·全国·高二课时练习）若平面､的法向量分别为，，且，则等于（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据平面垂直可知法向量垂直，利用数量积为0求解即可.

【详解】, 平面､的法向量分别为，，

，

, 解得，

故选：D

二、多选题

5．（2022·重庆市万州第二高级中学高二开学考试）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（       ）

A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变

B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是

C．当直线与平面所成的角为45°时，点的轨迹长度为

D．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是

【答案】AC

【分析】A. 由四棱锥的高和底面积判断； B.根据是等边三角形判断；C.根据直线与平面所成的角为，结合正方体的特征判断； D.建立空间直角坐标系，求得的坐标进行判断.

【详解】A. 当在平面上运动时，点到面的距离不变，不变，

故四棱锥的体积不变，故A正确；

B. 建立如图所示空间直角坐标系：

设 ，，则 ，

设与所成的角为，则 ，

因为，

当时， ，

当 时， ，则 ，

综上： ，所以与所成角的取值范围是，故B错误；

C.因为直线与平面所成的角为，

若点在平面和平面内，因为最大，不成立；

在平面内，点的轨迹是，

在平面内，点的轨迹是，

在平面时，如图所示：

，

作平面，因为 ，所以 ，

又 ，所以 ，

则，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的四分之一圆，

所以点的轨迹长度为，

所以点的轨迹总长度为长度为，故C正确；

D.建立如图所示空间直角坐标系：

设 ，，

则 ， ，

设平面的一个法向量为，

则 ，即 ，

令 ，则 ，

因为平面，所以 ，即 ，

所以 ，

当 时，等号成立，故D错误；

故选：AC.

6．（2022·江苏·泰州中学高二期中）若l1，l2，l3是三条互相平行的直线，l1与l2之间距离为1，l1与l3之间距离为1，l2与l3之间距离为，A，B是直线l1上的点，且，C，D分别是直线l2，l3上的点，则（       ）

A．的面积是定值 B．面积的最小值是

C．三棱锥的体积是 D．

【答案】ABD

【分析】构造直三棱柱中，使得且，则可以看做所在直线，可以看做所在直线，可以看做所在直线，如图所示建立空间直角坐标系，根据面积公式及锥体的体积公式判断A、B、C，再根据空间向量的坐标运算判断D；

【详解】解：如图所示直三棱柱中，且，

则可以看做所在直线，可以看做所在直线，可以看做所在直线，

如图建立空间直角坐标系，设，，，，

则，，

对于A：因为，且，即到的距离均为，所以为定值，故A正确；

依题意即为在底面的投影，所以，

即面积的最小值是，故B正确；

因为点到平面的距离，所以，故C错误；

所以，，

所以，

故D正确；

故选：ABD

7．（2022·广东广州·高二期末）已知正方体ABCD－EFGH棱长为2，M为棱CG的中点，P为底面EFGH上的动点，则（       ）

A．存在点P，使得

B．存在唯一点P，使得

C．当，此时点P的轨迹长度为

D．当P为底面EFGH的中心时，三棱锥P－ABM的外接球体积为

【答案】BCD

【分析】以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设P点坐标为（x，y，2），然后利用向量可判断ABC的正误，当P为底面EFGH的中心时，外接球球心为棱AM的中点，然后可判断D.

【详解】

以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz．

A（2，0，0），M（0，2，1），设P点坐标为（x，y，2）（），，

为求的最小值，找出点A关于平面EFGH的对称点，设该点为，则点坐标为

∴

故A选项错误．

由可得

故B选项正确．

时，即，此时由点P坐标为得到

点P轨迹是连接棱EF中点与棱EH中点的线段，其长度为线段HF的一半，即长为．故C选项正确．

当P为底面EFGH的中心时，由B选项知．

易得．∴外接球球心为棱AM的中点，从而求得球半径为．

故D选项正确．

故选：BCD．

三、填空题

8．（2021·吉林油田高级中学高二开学考试）若向量，，则______．

【答案】19

【分析】根据空间向量的坐标运算，求得的坐标，再根据向量的数量积的坐标表示求得答案.

【详解】∵，，∴，

∴,

故答案为：19

9．（2022·全国·高二专题练习）已知平面的法向量是，平面的法向量是，且，则实数的值为____．

【答案】或

【分析】利用空间向量垂直充要条件列出关于实数的方程，解之即可求得实数的值

【详解】，，

，

解得或．

故答案为：或．

10．（2022·福建·漳州市第一外国语学校高二期末）如图所示，长方体的底面是边长为1的正方形，长方体的高为2，E､F分别在､AC上，且，则直线EF与直线的距离为___________.

【答案】

【分析】建立空间直角坐标系，设，求出，由求得，连接并延长交于，在中，作于，由余弦定理求得，再由三角形知识求得即可求解.

【详解】

如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，

设，又，则，

则，又，则，解得，

则，连接并延长交于，由得为中点，同理可得连接并延长也交于点，

，画出的平面图，作于，

由余弦定理得，则，，

又，则直线EF与直线的距离为.

故答案为：.

【点睛】本题关键点在于先建立空间直角坐标系，利用空间向量共线的坐标运算求得，进而在中，由余弦定理及平方关系求得，再由三角形知识求解即可.

11．（2021·安徽·高二期中）如图，正三棱柱的各棱长均为1，点和点分别为棱和棱的中点，先将底面置于平面内，再将三棱柱绕旋转一周，则以下结论正确的是___________（填入正确结论对应的序号）.

①设向量旋转后的向量为，则

②点的轨迹是以为半径的圆

③设①中的在平面上的投影向量为，则的取值范围是

④直线在平面内的投影与直线所成角的余弦值的取值范围是

【答案】①②③

【分析】利用坐标法，由可得，利用模长公式可判断①②，利用投影向量的概念可得，可判断③，利用夹角公式可判断④.

【详解】如图，取棱的中点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，

绕着旋转即绕着轴旋转，设旋转后的向量为，则，①正确；

设，则，，点的轨迹是以为半径的圆，②正确；

由题知，在平面上的投影向量即为其在平面上的投影向量，，③正确；

设直线在平面内的投影与直线所成的角为，

则，④错误.

故答案为：①②③.

12．（2022·浙江·安吉县上墅私立高级中学高二期末）已知单位空间向量，，满足，.若空间向量满足，且对于任意实数，的最小值是2，则的最小值是___________.

【答案】

【分析】以，方向为轴，垂直于，方向为轴建立空间直角坐标系，根据条件求得坐标，由二次函数求最值即可求得最小值.

【详解】以，方向为轴，垂直于，方向为轴建立空间直角坐标系，则 ，由可设，由是单位空间向量可得，由可设，

，当，的最小值是2，所以 ，取，

，

，

当时，最小值为.

故答案为：.

13．（2021·全国·高二专题练习）在棱长为1的正方体中，过点A的平面分别与棱，，交于点E，F，G，记四边形AEFG在平面上的正投影的面积为，四边形AEFG在平面上的正投影的面积为.

给出下面四个结论：

①四边形AEFG是平行四边形；

②的最大值为2；

③的最大值为；

④四边形AEFG可以是菱形，且菱形面积的最大值为.

则其中所有正确结论的序号是___________.

【答案】①③④

【分析】对①，根据面面平行的性质定理即可判断答案；

建立空间直角坐标系，设，然后根据①得到的关系，进而判断②，然后结合基本不等式判断③，最后根据菱形的对角线互相垂直判断④.

【详解】对①，因为平面AEFG分别与平面、平面、平面、平面交于，易知平面∥平面，则，而平面∥平面，则，所以四边形AEFG是平行四边形.①正确；

以A为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，记点G在平面上的投影点为点H，点F,G在平面上的投影点分别为点I,J.设，其中，则，，所以，由①，，则

.

易得，，所以，②错误；

，当且仅当时取“=”，③正确；

，令，即， 则此时，平行四边形AEFG是菱形，而此时，所以菱形的面积，当时，.④正确.

故答案为：①③④.

四、解答题

14．（2021·吉林油田高级中学高二开学考试）已知空间中三点的坐标分别为，，，且，．

(1)求向量与夹角的余弦值；

(2)若与互相垂直，求实数的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求得向量与的坐标，根据向量的夹角公式即可求得答案；

（2）表示出与的坐标，根据与互相垂直可得关于k的方程，即可求得答案.

（1），，

所以．

（2）因为，，且与互相垂直，

所以，解得．

15．（2022·全国·高二课时练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．

问题：如图，在正方体，中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系．已知点的坐标为，为棱上的动点，为棱上的动点，______，则是否存在点，，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标可得向量的坐标，由向量的坐标运算可计算模长以及数量积，进而可求解.

【详解】方案一：选条件①．

假设存在满足题意的点，．由题意，知正方体的棱长为2，则，，，，，所以．设，，则，，，所以，．

因为，所以，即．

因为，，所以，所以．又，

所以，故存在点，，满足，此时．

方案二：选条件②．

假设存在满足题意的点，．由题意，知正方体的棱长为2，则，，，，，所以．

设，，则，，，

所以，．因为，且，

所以，解得．又，所以，

故存在点，，满足，此时．

方案三：选条件③．假设存在满足题意的点，．由题意，知正方体的棱长为2，

则，，，，所以，．

设，，则．因为，

所以与不共线，所以，即，

则，

故不存在点，满足．

16．（2022·全国·高二专题练习）四棱锥中， ，，侧面为等边三角形，，.建系求点的坐标.

【答案】

【分析】以为坐标原点，过作轴垂直平面建立如图所示的空间直角坐标系，作出在底面上的投影，设，由勾股定理建立两个方程可求出，，即可写出点的坐标.

【详解】以为坐标原点，过作轴垂直平面建立如图所示的空间直角坐标系，

所以，

作出在底面上的投影，则由四棱锥，

，，侧面为等边三角形，

取的中点，连接，则点一定在上，

又，，

所以在中，设，

所以，则①，

在中，，则②，

由①②解得：，，故.

17．（2022·全国·高二专题练习）已知：，，，求：

(1)；

(2)与所成角的余弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据，求出，由求出，得出答案；

（2）利用空间向量的坐标运算和夹角公式可得出答案.

(1)，，解得，

故

又因为，所以，即，解得，

故

(2)由(1)可得

设向量与所成的角为，，

则．