高中数学湘教版（2019）必修 第一册2.3 一元二次不等式一等奖教案

2．3　一元二次不等式

2．3.1　一元二次不等式及其解法

教学设计

一、目标展示

二、情境导入

园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2.

[问题]　围成的这个矩形区域的边长应为多少米？

三、合作探究

知识点一　一元二次不等式

1．把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式．

2．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a，b，c均为常数，a≠0)．

对一元二次不等式的再理解

(1)一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)；

(2)二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0.　　　　

知识点二　一元二次不等式的解法

1．图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：

(1)化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；

(2)求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；

(3)由图象得出不等式的解集．

2．代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解．

当m<n时，若(x－m)(x－n)>0，则可得x>n或x<m；若(x－m)(x－n)<0，则可得m<x<n.

1．在通过图象获取解集时，注意不等式中的不等号方向、是否为严格不等关系及Δ＝0时的特殊情况．

2．当a＜0时，解不等式可以从两个方面入手：①画出对应图象进行直接判定(此时图象开口向下)；②两边同乘以－1，把a转化为－a再进行求解．　　　　

1．ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为R，则a，b，c应当满足的关系式？

2．ax2＋bx＋c<0(a<0)的解集为R，则a，b，c应当满足的关系式？

知识点三　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

1．函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围．

2．方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．　　　　

当Δ＝0时，不等式ax2＋bx＋c≥0(a>0)与ax2＋bx＋c≤0(a>0)的解集分别是什么？

四、精讲点拨  

题型一  一元二次不等式的解法

[例1]　(链接教科书第51页例1、例2)解下列不等式：

(1)2x2＋5x－3<0；

(2)－3x2＋6x≤2；

(3)4x2＋4x＋1>0；

(4)－x2＋6x－10>0.

题型二   简单分式不等式的解法

 [例2]　(链接教科书第53页例4)解下列不等式：

(1)<0；(2)≤1.

题型三   三个“二次”之间的关系

 [例3]　(链接教科书第54页例6)已知关于x的不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为.

(1)求a，c的值；

(2) 解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.

题型四   一元二次不等式的实际应用

[例4]　(链接教科书第53页例5)(1)“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是(　　)

A．m>               B．0<m<1              C．m>0         D．m>1

(2)若对任意实数x，关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0恒成立，则实数a的取值范围为__

五、达标检测

1．(多选)下列不等式是一元二次不等式的是(　　)

A．x2＋x＜－1  B．x2＋＋1＜0

C．x2＋＋1＜0  D．x2＋1＜0

2．不等式(x－1)2＜x＋5的解集为(　　)

A．{x|1＜x＜4}  B．{x|－1＜x＜4}

C．{x|－4＜x＜1}  D．{x|－1＜x＜3}

3．不等式x＋>2的解集是(　　)

A．(－1，0)∪(1，＋∞)

B．(－∞，－1)∪(0，1)

C．(－1，0)∪(0，1)

D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

4．当1<x<2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．

六、课堂小结

1. 三个“二次”的关系；

2．一元二次不等式的解法；

3. 不等式恒成立问题的基本策略

课后作业

教后反思