数学必修 第一册2.3 一元二次不等式学案设计

2．3.2　一元二次不等式的应用

题型1　一元二次不等式的应用

例1　汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．

在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问：甲、乙两车有无超速现象？

例2　某地方政府为地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税，已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府征收附加税率为t%时，则每年减少t万件．

(1)将税金收入表示为征收附加税率的函数；

(2)在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？

方法归纳

  解不等式应用题的四步骤

  (1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．

  (2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系．

  (3)求：解不等式．

  (4)答：回答实际问题．

  特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．

跟踪训练1　某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x(百台)，其总成本为p万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入y满足y＝

  假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：

  (1)要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？

  (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？

题型2　一元二次不等式与基本不等式的综合应用

例3　某单位有员工1 000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(x∈N*)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(a－0.8x%)万元(a>0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.4x%.

(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？

(2)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？

方法归纳

解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答．

跟踪训练2　近年来，某西部乡村农产品加工合作社每年消耗电费24万元．为了节能环保，决定修建一个可使用16年的沼气发电池，并入该合作社的电网．修建沼气发电池的费用(单位：万元)与沼气发电池的容积x(单位：米3)成正比，比例系数为0.12.为了保证正常用电，修建后采用沼气能和电能互补的供电模式用电．设在此模式下，修建后该合作社每年消耗的电费C(单位：万元)与修建的沼气发电池的容积x(单位：米3)之间的函数关系为C(x)＝(x≥0，k为常数)．记该合作社修建此沼气发电池的费用与16年所消耗的电费之和为F(单位：万元)．

(1)解释C(0)的实际意义，并写出F关于x的函数关系；

(2)该合作社应修建多大容积的沼气发电池，可使F最小，并求出最小值．

(3)要使F不超过140万元，求x的取值范围．

课堂十分钟

1．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是(　　)

A．100台    B．120台

C．150台    D．180台

2．以每秒a m的速度从地面垂直向上发射子弹，t s后的高度x m可由x＝at－4.9t2确定，已知5 s后子弹高245 m，子弹保持在245 m以上(含245 m)高度的时间为(　　)

A．4 s     B．5 s

C．6 s     D．7 s

3．某种杂志原以每本3元的价格销售，可以售出10万本．根据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少1 000本．设每本杂志的定价为x元，要使得提价后的销售总收入不低于42万元，则x应满足(　　)

A．6≤x≤7    B．5≤x≤7

C．5≤x≤6    D．4≤x≤6

4.

如图所示，某学校要在长为8米，宽为6米的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为x米，中间植草坪．为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则x的取值范围为________．

5．你能用一根长为100 m的绳子围成一个面积大于600 m2的矩形吗？

一元二次方程根的分布

研究一元二次方程根的分布时，可通过作图分析根的取值情况，注意数形结合思想的应用．

二次方程根的分布问题既可以转化为方程的根，借助判别式和根与系数的关系解决，也可以转化为二次函数，利用图象列关于参数的不等式(组)解决，但无论哪种转化，都要注意转化的等价性．

例1　已知方程x2＋2mx－m＋12＝0的两根都大于2，求实数m的取值范围．

解析：解法一　设y＝x2＋2mx－m＋12，则

即

∴－＜m≤－4.

故实数m的取值范围为.

解法二　设方程x2＋2mx－m＋12＝0的两根为x1，x2.

由题意知即

解得－＜m≤－4.

∴实数m的取值范围为{m|－＜m≤－4}．

例2　关于x的方程(a＋1)x2＋(4a＋2)x＋1－3a＝0有两个异号的实根，且负根的绝对值较大，求实数a的取值范围．

解析：设方程的两个根分别为x1，x2，

由题意知，实数a满足条件：

即解得a＜－1或a＞.

2．3.2　一元二次不等式的应用

题型探究·课堂解透

例1　解析：由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2>12，即x2＋10x－1 200>0，解得x>30或x<－40(不合实际意义，舍去)，这表明甲车的车速超过30 km/h.但根据题意刹车距离略超过12 m，由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.

对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10，即x2＋10x－2 000>0，解得x>40或x<－50(不合实际意义，舍去)，这表明乙车的车速超过40 km/h，超过规定限速．

例2　解析：(1)当征收附加税率为t%时，每年的销售量为万件，每件产品的征收附加税金为(250×t%)元，设税金收入为y万元，则所求函数关系为y＝250×t%×＝100t－4t2.

(2)由题意可知，y＝100t－4t2≥600，

即t2－25t＋150≤0，解得10≤t≤15，

即税率应控制在10%到15%之间．

跟踪训练1　解析：(1)依题意得p＝x＋3，设利润函数为z，则

z＝y－p，所以z＝

要使工厂有盈利，则有z>0，

因为z>0⇒或⇒或⇒或

则3＜x≤7或7＜x＜10.5，即3＜x＜10.5，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1 050台的范围内．

(2)当3＜x≤7时，z＝－0.5(x－6)2＋4.5，故当x＝6时，z有最大值4.5，而当x＞7时，z＜10.5－7＝3.5，所以当工厂生产600台产品时盈利最大．

例3　解析：(1)由题意，得10(1 000－x)(1＋0.4x%)≥10×1 000，

即x2－750x≤0，又x>0，所以0<x≤750.

即最多调整出750名员工从事第三产业．

(2)从事第三产业的员工创造的年利润为10x万元，

从事原来产业的员工的年总利润为10(1 000－x)万元，

则10x≤10(1 000－x)，

所以ax－≤1 000＋4x－x－x2，

所以ax≤＋1 000＋3x，

即a≤＋3在x∈(0，750]时恒成立，因为≥2＝4，当且仅当＝，

即x＝500时等号成立，

∴a≤7，

又a>0，

∴0<a≤7，

∴a的取值范围为(0，7].

跟踪训练2　解析：(1)C(0)的实际意义是修建这种沼气发电池的面积为0时的用电费用，

即未修建沼气发电池时，该合作社每年消耗的电费；

由题意可得，C(0)＝＝24，则k＝1 200；

所以该合作社修建此沼气发电池的费用与16年所消耗的电费之和为

F＝16×＋0.12x＝＋0.12x，x≥0；

(2)由(1)得，F＝＋0.12x＝＋0.12(x＋50)－6

≥2－6＝90，

当且仅当＝0.12(x＋50)，即x＝350时，等号成立，

即该合作社应修建容积为350立方米的沼气发电池时，

可使F最小，且最小值为90万元；

(3)为使F不超过140万元，只需F＝＋0.12x≤140，

整理得3x2－3 350x＋305 000≤0，

则(3x－3 050)(x－100)≤0，解得100≤x≤，

即x的取值范围是.

[课堂十分钟]

1．解析：y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，即x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)．故选C.

答案：C

2．解析：因为5 s后子弹高245 m，所以有245＝a·5－4.9×52⇒a＝73.5，

即x＝73.5t－4.9t2，

由题意可知：x＝73.5t－4.9t2≥245，解得5≤t≤10，子弹保持在245 m以上(含245 m)高度的时间为10－5＝5.

答案：B

3．解析：提价后杂志的定价设为x元，则提价后的销售量为： 10－×0.1万本，

因为销售的总收入不低于42万元，

列不等式为：x≥42，

即(x－6)(x－7)≤0，即6≤x≤7.

答案：A

4．解析：设花卉带宽度为x米(0<x<3), 则中间草坪的长为8－2x米，宽为6－2x米，

根据题意可得(8－2x)·(6－2x)>×8×6，

整理得：x2－7x＋6>0，

即(x－6)(x－1)>0，

解得0<x<1或x>6，

x>6不合题意，舍去，

故所求花卉带宽度的范围为0<x<1.

答案：0<x<1

5．解析：设围成的矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50－x) m，且0＜x＜50.由题意，得围成矩形的面积S＝x(50－x)＞600，即x2－50x＋600＜0，解得20＜x＜30.

所以，当矩形一边的长在(20，30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形．