湘教版（2019）必修 第一册2.3 一元二次不等式导学案

这是一份湘教版（2019）必修 第一册2.3 一元二次不等式导学案，共9页。


2．3　一元二次不等式
2．3.1　一元二次不等式及其解法

新课程标准解读
核心素养
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集
数学抽象、数学运算
2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系
直观想象、数学建模



园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2.
[问题]　围成的这个矩形区域的边长应为多少米？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点一　一元二次不等式
1．把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式．
2．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a，b，c均为常数，a≠0)．

对一元二次不等式的再理解
(1)一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)；
(2)二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0.　　　　

下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有________．(填序号)
答案：②④
知识点二　一元二次不等式的解法
1．图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：
(1)化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；
(2)求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；
(3)由图象得出不等式的解集．
2．代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解．
当m0，则可得x>n或x
1．在通过图象获取解集时，注意不等式中的不等号方向、是否为严格不等关系及Δ＝0时的特殊情况．
2．当a＜0时，解不等式可以从两个方面入手：①画出对应图象进行直接判定(此时图象开口向下)；②两边同乘以－1，把a转化为－a再进行求解．　　　　

1．ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为R，则a，b，c应当满足的关系式？
提示：Δ＝b2－4ac<0.
2．ax2＋bx＋c<0(a<0)的解集为R，则a，b，c应当满足的关系式？
提示：Δ＝b2－4ac<0.

解下列一元二次不等式：
(1) x2－2x＋3>0；
(2)－x2－3x＋4>0；
(3)(x－a)(x－a＋1)<0.
答案：(1)R　(2){x|－4 知识点三　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式



Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个相异的实数根x1，2＝
有两个相等的实数根x1＝x2＝－
没有实数根





续表
判别式



Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象



二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点
有两个零点x1，2＝
有一个零点x＝－
无零点
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
(－∞，x1)∪(x2，＋∞)
∪

ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
(x1，x2)




1．函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围．
2．方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．　　　　

当Δ＝0时，不等式ax2＋bx＋c≥0(a>0)与ax2＋bx＋c≤0(a>0)的解集分别是什么？
提示：R，.

1．不等式x(x－2)>0的解集为________，不等式x(x－2)<0的解集为________．
答案：{x|x<0或x>2}　{x|0 2．已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1 答案：4


一元二次不等式的解法
[例1]　(链接教科书第51页例1、例2)解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3<0；
(2)－3x2＋6x≤2；
(3)4x2＋4x＋1>0；
(4)－x2＋6x－10>0.
[解]　(1)Δ＝49>0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝，
作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示．
由图可得原不等式的解集为.

(2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2＝，
作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为.
(3)∵Δ＝0，∴方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝－.作出函数y＝4x2＋4x＋1的图象如图③所示．
由图可得原不等式的解集为
.
(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，
∵Δ＝－4<0，
∴方程x2－6x＋10＝0无实根，
∴原不等式的解集为∅.

解形如ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)的一元二次不等式，一般可分为三步：
(1)确定对应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根；
(2)画出对应二次函数y＝ax2＋bx＋c的大致图象；
(3)由图象得出不等式的解集．
对于二次项系数是负数(即a<0)的一元二次不等式，可以先把二次项系数化为正数，再按上述步骤求解．　　　　
[跟踪训练]
解下列不等式：
(1)4x2－20x＜－25；
(2)(x－3)(x－7)＜0；
(3)－3x2＋5x－4＜0；
(4)x(1－x)≥x(2x－3)＋1.
解：(1)不等式可化为4x2－20x＋25＜0，由于Δ＝0，且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线，所以不等式的解集是∅.
(2)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7，且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线，故不等式的解集是{x|3＜x＜7}．
(3)不等式－3x2＋5x－4＜0可化为3x2－5x＋4＞0，由于判别式Δ＝25－48＝－23＜0，函数y＝3x2－5x＋4的图象开口向上，所以不等式的解集是R.
(4)不等式x(1－x)≥x(2x－3)＋1可化为3x2－4x＋1≤0.因为方程3x2－4x＋1＝0的两个根是，1，函数y＝3x2－4x＋1的图象开口向上，所以不等式的解集是

简单分式不等式的解法
[例2]　(链接教科书第53页例4)解下列不等式：
(1)<0；(2)≤1.
[解]　(1)<0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－2 ∴原不等式的解集为{x|－2 (2)∵≤1，
∴－1≤0，
∴≤0，
即≥0.
此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，解得x<或x≥4，
∴原不等式的解集为.

1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．　　　　
[跟踪训练]
解下列不等式：(1)≥0；(2)<3.
解：(1)根据商的符号法则，不等式≥0可转化成不等式组
解这个不等式组，可得x≤－1或x>3.
即原不等式的解集为{x|x≤－1，或x>3}．
(2)不等式<3可改写为－3<0，
即<0.
可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0，
解得－1 所以原不等式的解集为{x|－1
三个“二次”之间的关系
[例3]　(链接教科书第54页例6)已知关于x的不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为.
(1)求a，c的值；
(2) 解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.
[解]　(1)由题意知不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为和，
且a＜0，由根与系数的关系，得解得a＝－6，c＝－1.
(2)由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0，即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1，所以不等式的解集为.

一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤
(1)求解方法：由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集．
(2)求解步骤
第一步：审结论——明确解题方向：如要解cx2＋bx＋a<0，首先确定c的符号，最好能确定a，b，c的值；
第二步：审条件——挖掘题目信息：利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a，b，c的方程组，用a表示b，c；
第三步：建联系——找解题突破口：由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用a表示b，c→代入所求不等式→求解cx2＋bx＋a<0的解集．　　　　
[跟踪训练]
　关于x的不等式ax－b＞0的解集是{x|x＞1}，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是(　　)
A．{x|－1＜x＜3}　　　　 B．{x|1＜x＜3}
C．{x|x＜1或x＞3} D．{x|x＜－1或x＞3}
解析：选D　因为不等式ax－b＞0的解集是{x|x＞1}，所以a＞0，＝1，所以(ax＋b)(x－3)＞0等价于a(x＋1)(x－3)＞0，其解集应为{x|x＞3或x＜－1}，故选D.


一元二次不等式的实际应用
[例4]　(链接教科书第53页例5)(1)“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是(　　)
A．m> B．0 C．m>0 D．m>1
(2)若对任意实数x，关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0恒成立，则实数a的取值范围为________．
[解析]　(1)若不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>，因此当不等式x2－x＋m>0在R上恒成立时，必有m>0，但当m>0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m>0.
(2)①若a2－1＝0，则a＝±1，
当a＝1时，原不等式即为－1<0，解集为R.
当a＝－1时，原不等式即为2x－1<0，解集为，与题意不符．
②若a≠±1，则当时，不等式解集为R，解得－ 综上，实数a的取值范围是.
[答案]　(1)C　(2)

1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；
当a≠0时，
2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；
当a≠0时，
3．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．　　　　
[跟踪训练]
已知关于x的不等式(m2＋4m－5)x2－4(m－1)x＋3>0对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为________．
解析：(1)当m2＋4m－5＝0，即m＝1或m＝－5时，显然m＝1符合条件，m＝－5不符合条件；
(2)当m2＋4m－5≠0时，由二次函数对一切实数x恒为正数，
得解得1 综合(1)(2)得，实数m的取值范围为[1，19)．
答案：[1，19)

1．(多选)下列不等式是一元二次不等式的是(　　)
A．x2＋x＜－1 B．x2＋＋1＜0
C．x2＋＋1＜0 D．x2＋1＜0
解析：选AD　由于x2＋＋1＜0，x2＋＋1＜0不符合一元二次不等式的定义，只有x2＋x＜－1，x2＋1＜0是一元二次不等式，故选A、D.
2．不等式(x－1)2＜x＋5的解集为(　　)
A．{x|1＜x＜4} B．{x|－1＜x＜4}
C．{x|－4＜x＜1} D．{x|－1＜x＜3}
解析：选B　原不等式可化为x2－3x－4＜0，即(x＋1)(x－4)＜0，故其解集为{x|－1＜x＜4}．故选B.
3．不等式x＋>2的解集是(　　)
A．(－1，0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(0，1)
C．(－1，0)∪(0，1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：选A　取x＝－2，它不是不等式的解，排除B、D；取x＝2，它是不等式的解，排除C.
4．当1 解析：设y＝x2＋mx＋4，要使1 不等式x2＋mx＋4<0恒成立．
则有解得m≤－5.
答案：(－∞，－5]